贵州省晴隆一中2013届高三上学期8月月考文科数学试题

贵州省晴隆一中2013届高三上学期8月月考文科数学试题
I 卷
一、选择题
1．集合，，则下列关系中，正确的是( )
A． ；B.；C. ；D.
【答案】D
2．已知，则的表达式为（ ）
B． C． D．
【答案】A
3．下列四个函数中，在区间（0，1）上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．对实数，定义运算“”：设函数若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
5．如果函数在区间（-∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6．下列四个函数中，在区间，上是减函数的是( )
. . . .
【答案】B
7．关于函数：①；②是奇函数；③上单调递增；④方程总有四个不同的解，其中正确的是 ( ）
A．仅②④ B．仅②③ C．仅①② D．仅③④
【答案】C
8．设偶函数对任意，都有，且当时，,则 ( )
A． 10 B. C． D．
【答案】B
9．若对任意的，函数满足，则= ( ）
A．1 B．-1 C．2012 D．-2012
【答案】C
10．函数的图象是（ ）
【答案】D
11．函数y=的定义域是（ ）
A．（3，+∞） B．3,+∞) C．(4, +∞) D．4,+∞)
【答案】D
12．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1
【答案】C
II卷
二、填空题
13．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0(x1≠x2)，有>0.则f(－2)，f(1)，f(3)从小到大的顺序是________．
【答案】f(3)14．定义在R上的函数，若对任意不等实数满足，且对于任意的，不等式成立.又函数的图象关于点（1，0）对称，则当时，的取值范围为
【答案】
15．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形与圆的面积之和最小，则正方形的周长应为________．
【答案】
16．若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)
三、解答题
17．已知函数，若存在，则称是函数的一个不动点，设
(Ⅰ）求函数的不动点；
(Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点、（假设），求使
恒成立的常数的值；
【答案】（Ⅰ）设函数
(Ⅱ）由（Ⅰ）可知
可知使恒成立的常数.
18．已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ）求的值；
(Ⅱ）解关于的不等式.
【答案】（Ⅰ）因为是奇函数，所以，解得b=1，
又由，解得a=2.
(Ⅱ） 由（Ⅰ）知
由上式易知在（－∞，+∞）上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数在R上是减函数).
又因是奇函数，从而不等式等价于
因是减函数，由上式推得 ，
即解不等式可得
19．已知函数
(I)当，且时，求的值.
(II)是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）因为时，，所以在区间上单调递增，因为时，，所以在区间（0，1）上单调递减.
所以当，且时有，，
所以，故；
(2）不存在. 因为当时，在区间上单调递增，
所以的值域为；
而，
所以在区间上的值域不是.
故不存在实数，使得函数的定义域、值域都是
(也可构造方程，方程无解，从而得出结论.）
20．已知：函数.
(1) 若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式；
(2) 在(1)的条件下，求证：；
(3）设，证明对任意的，.
【答案】（1）∵
由得 ∴.
当，即时，,故；
当，即时，，故.
∴
(2）∵当时，，∴函数在上为减函数；
当时，，∴函数在上为增函数，
∴当时，取最小值，,
故.
(3）∵当时，抛物线开口向上，对称轴为，
∴函数在上为增函数，
(或由得，∴函数在上为增函数）
不妨设，由得
∴
令，
∵抛物线开口向上，对称轴为，且
∴函数在上单调递增，∴对任意的，
有，即
21．设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)＝loga．(1)讨论函数f(x)在区间(－∞，－5)内的单调性，并给予证明；(2)设g(x)＝1＋loga(x－3)，如果方程f(x)＝g(x)有实根，求实数a的取值范围．
【答案】 (1)设x1＜x2＜－5，则－
＝·10·(x2－x1)＞0.
若a＞1，则f(x2)－f(x1)＞0.
∴f(x2)＞f(x1)，此时f(x)在(－∞，－5)内是增函数；
若0＜a＜1，则f(x2)－f(x1)＜0，
∴f(x2)＜f(x1)，此时f(x)在(－∞，－5)内是减函数．
(2)由g(x)＝1＋loga(x－3)及f(x)＝g(x)得
1＋loga(x－3)＝loga a＝．
由 x＞5.
令h(x)＝，则h(x)＞0.
由＝＝(x－5)＋＋12
≥4＋12，
当且仅当 x＝5＋2时等号成立．
∴0＜h(x)≤．
故所求a的取值范围是0＜a≤．
22．已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，
(Ⅰ）求函数在上的解析式； (Ⅱ）判断在上的单调性；
(Ⅲ）当取何值时，方程在上有实数解？
【答案】（Ⅰ）∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)=0.
设x∈(－1,0), 则－x∈(0,1)，
(Ⅱ）设,
∵，∴，
∴
∴f(x)在（0，1）上为减函数.
(Ⅲ）∵f(x)在（0，1）上为减函数，
∴
方程上有实数解.