贵州省望谟三中2013届高三上学期8月月考文科数学试题

贵州省望谟三中2013届高三上学期8月月考文科数学试题
I 卷
一、选择题
1．若与在区间1，2上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A． (0，1) B． (0，1
C． (-1,0）∪(0，1) D． (-1，0) ∪(0，1
【答案】B
2． 下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数； B．函数是偶函数
C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数
【答案】C
3．设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )
A．成正比，比例系数为C B． 成正比，比例系数为2C
C．成反比，比例系数为C D． 成反比，比例系数为2C
【答案】D
4．定义两种运算：a b＝，a b＝，则f(x)＝是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】A
5．设函数则（ ）
A．在区间内均有零点. B．在区间内均有零点.
C．在区间内均无零点. D．在区间内内均有零点.
【答案】D
6．已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>b>a
【答案】A
7．函数，的图象可能是下列图象中的 ( ）
【答案】C
8． 已知设函数，则的最大值为（ ）
A．1 B． 2 C． D．4
【答案】C
9． 已知映射,其中，对应法则若对实数，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是 ( ）
A． B． C． D．
【答案】B
10．在某种新型材料中的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( ）
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A. B．
C． D．
【答案】B
11．若函数为奇函数，则的值为（ ）
A． 2 B． 1 C． -1 D． 0
【答案】B
12．定义一种运算：，已知函数，那么函数的大致图象是（ ）
【答案】B
II卷
二、填空题
13．设，定义P※Q＝，则P※Q中元素的个数为 .
【答案】12
14．函数的定义域是 ．
【答案】
15．20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪测量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为 (精确到0．1，已知）．
【答案】4.3
16．定义在R上的函数，若对任意不等实数满足，且对于任意的，不等式成立.又函数的图象关于点（1，0）对称，则当时，的取值范围为 .
【答案】
三、解答题
17．已知函数定义域为，若对于任意的，，都有，且>0时，有>0.
⑴证明: 为奇函数;
⑵证明: 在上为单调递增函数;
⑶设=1,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）令，
令，，为奇函数
(2）
在上为单调递增函数;
(3）在上为单调递增函数，，使对所有恒成立,只要>1,即>0
令
18．如果函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f()＝f(x)－f(y)；
(2)已知f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．
【答案】(1)证明：∵f(x)＝f(·y)＝f()＋f(y)，
∴f()＝f(x)－f(y)．
(2)∵f(3)＝1，f(a)>f(a－1)＋2，
∴f(a)－f(a－1)>2.
∴f()>2＝f(3)＋f(3)＝f(9)．
∵f(x)是增函数，
∴>9.又a>0，a－1>0，∴1∴a的取值范围是119．函数g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)．
(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式；
(2)若g(x)在区间－1,3上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值．
【答案】(1)f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b.
∵－2,4分别是f(x)＝x2＋ax－b＝0的两实根，
∴a＝－(－2＋4)＝－2，b＝2×4＝8，
∴f(x)＝x2－2x－8.
(2)∵g(x)在区间－1,3上是单调递减函数，
∴g′(x)≤0即f(x)＝x2＋ax－b≤0在－1,3上恒成立．
∴
即
A点坐标为(－2,3)，
∴a2＋b2的最小值为13.
20．已知函数满足，其中，
(1）对于函数，当时，，求实数的集合；
(2）当时，的值恒为负数，求的取值范围.
【答案】令，则.
因为
所以是R上的奇函数；
当时，，是增函数，是增函数
所以是R上的增函数；
当时，是减函数，是减函数
所以是R上的增函数；
综上所述，且时，是R上的增函数。
(1）由有
解得
(2）因为是R上的增函数，所以也是R上的增函数
由得所以
要使的值恒为负数，只需，
即
解得
又，所以的取值范围是或1<
21．某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．
(Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；
(Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
【答案】（Ⅰ）依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以，
=
＝
=
　(Ⅱ）依题意得，，即，
可化简得，
可设，
又，可设是减函数，是增函数，
又
则时不等式成立，即4年
22．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的定义域；
(2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合．
【答案】(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，
∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，
h(－x)＝f(－x)－g(－x)
＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝g(x)－f(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数．
(3)由f(3)＝2，得a＝2.
此时h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
由h(x)>0即log2(1＋x)－log2(1－x)>0，
∴log2(1＋x)>log2(1－x)．
由1＋x>1－x>0，解得0故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0