江西省赣州市潭口高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版含答案）

潭口高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考
数学
一、单选题
1.函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知全集U={0，1，2，3，4}，A={1，2，3}，B={2，4}，则 U（A∪ B）=（ ）
A. {2} B. {0} C. {2，3，4} D. {1，2，3，4}
3.函数f（x）=2kx ， g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2
4.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 , 的部分图象如图所示,则 ( )
A. 3 B. C. 1 D.
6.已知奇函数f(x)的定义域为 且 是f(x)的导函数.若对任意 都有 则满足 的θ的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.若函数有两个零点， 其中， 那么在两个函数值中 ( )
A. 只有一个小于1 B. 至少有一个小于1 C. 都小于1 D. 可能都大于1
8.若函数在区间内单调递增，则a取值范围是( )
A. [， 1) B. [， 1) C. D. (1，)
二、多选题
9.若函数 的定义域为 且为奇函数，则 可能的值为（ ）
A. -1 B. 1 C. D. 3
10.设函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 恒有 ，已知当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 3是函数 的周期 B. 函数 在 上递减，在 上递增
C. 函数 的最大值为 ，最小值为0 D. 当 时，
11.在平面直角坐标系中，曲线 上任意点 与两个定点 和点 连线的斜率之和等于2，则关于曲线 的结论正确的有（ ）
A. 曲线 是轴对称图形 B. 曲线 上所有的点都在圆 外
C. 曲线 是中心对称图形 D. 曲线 上所有点的横坐标 满足
12.已知 ， 均为正实数，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
三、填空题
13.函数y= 的定义域为 ．
14.已知函数 ，给出下列四个命题：
① 是函数 的一个周期； ②函数 的图象关于原点对称；
③函数 的图象过点 ； ④函数 为 上的单调函数.
其中所有真命题的序号是 .
15.已知函数 （其中 ），其图象如图所示，则 ________．
16.已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式f（y﹣3）+f（ ）=0恒成立，则 的取值范围是________．
四、解答题
17.化简与求值：
（1）；
（2）．
18.已知函数f（x）=x|x﹣2a|+a2﹣4a（a∈R）． （Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在[﹣3，0]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有3个不相等的实根x1 ， x2 ， x3 ， 求 + + 的取值范围．
19.已知函数 ．
（1）.判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）.利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．
20.暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.
（1）写出夏令营每位同学需交费用 （单位：元）与夏令营人数 之间的函数关系式；
（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？
21.若函数 的定义域为 ，集合 ，若存在非零实数使得任意 都有 ，且 ，则称 为 上的 增长函数.
（1）已知函数 ，函数 ，判断 和 是否为区间 上的 增长函数，并说明理由；
（2）已知函数 ，且 是区间 上的 增长函数，求正整数 的最小值；
（3）请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i）得分计入总分)
（i）如果对任意正有理数 ， 都是 上的 增长函数，判断 是否一定为 上的单调递增函数，并说明理由；
（ii）如果 是定义域为 的奇函数，当 时， ，且 为 上的 增长函数，求实数 的取值范围.
22.在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， ， 三点满足 .
（1）求 值；
（2）已知 若 的最小值为 ，求 的最大值.
答案部分
一、单选题
1.【答案】 C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】 A
5.【答案】 A
6.【答案】 D
7.【答案】 B
8.【答案】 B
二、多选题
9.【答案】 B,D
10.【答案】 A,B
11.【答案】 B,C
12.【答案】 A,D
三、填空题
13.【答案】 （2，3）∪（3，+∞）
14.【答案】 ①②③
15.【答案】
16.【答案】
四、解答题
17.【答案】 （1）解： ＝3﹣2 3 ；
（2）解：
.
18.【答案】解：（Ⅰ）∵a=﹣1， ∴f（x）=x|x+2|+5= ，
x∈[﹣2，0]时，4≤f（x）≤5，
x∈[﹣3，﹣2]时，2≤f（x）≤5，
∴f（x）min=f（﹣3）=2，f（x）max=f（0）=5；
（Ⅱ）∵f（x）= ，
①若a＞0，∵方程f（x）=0有3个不相等的实根，
故x＜2a时，方程f（x）=﹣x2+2ax+a2﹣4a=0有2个不相等的实根，
x≥2a时，方程f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4a=0有1个不相等的实根，
∴ ，解得：2＜a＜4，
不妨设x1＜x2＜x3 ， 则x1+x2=2a，x1x2=﹣a2+4a，x3=a+2 ，
∴ + + = + =﹣ ＞ ，
∴ + + 的范围是（ ，+∞），
②若a＜0，当x＞2a时，方程f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4a=0的判别式小于0，
不符合题意；
③a=0时，显然不和题意，
故 + + 的范围是（ ，+∞）
19.【答案】 （1）解：f（x）为奇函数．证明如下：
∵2x+1≠0，
∴f（x）的定义域为R，
又∵ ，
∴f（x）为奇函数
（2）解： ，
任取x1、x2∈R，设x1＜x2 ，
∵ = = ，
∵ ，∴ ，又 , ，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在其定义域R上是增函数
20.【答案】 （1）解：由题意可知每人需交费 关于人数 的函数：
（2）解：旅行社收入为 ，则 ，
即 ，
当 时， 为增函数，
所以 ，
当 时， 为开口向下的二次函数，
对称轴 ，所以在对称轴处取得最大值， .
综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元
21.【答案】 （1）解： 是；因为 ， ；
不是，反例：当 时， .
（2）解：由题意得， 对 恒成立
等价于 ，即 对 恒成立
因为 ，所以 是关于 的一次函数且单调递增，于是只需 ，
解得 ，所以满足题意的最小正整数 为9.
（3）解：（i）不是
构造 ，则对任意正有理数 ，
若 ，则 ，因此 ；
若 ，则 ，因此 .
因此 是 上的 -增长函数，但 不是增函数.
（ii）由题意知
已知任意 ， ，
因为 在 上递减，所以 不能同时在区间 上，
因此
注意到 在 上非负，在 上非正
若 ，当 时， ，此时 ，矛盾
因此 ，即 .
当 时，下证 为 上的 -增长函数：
①当 ， 显然成立
②当 时， ，此时 ， ，
③当 时，
因此 为 上的 -增长函数
综上，为使得 为 上的 -增长函数 的取值范围是 .
22.【答案】 （1）解：由题意知 三点满足 ，
可得 ，所以 ，即
即 ，则 ，所以
（2）解：由题意，函数
因为 ，所以 ，
当 时， 取得最小值 ，
当 时，当 时， 取得最小值 ，
当 时，当 时， 取得最小值 ，
综上所述， ，可得函数 的最大值为1，
即 的最大值为1