第四章图形的相似 单元测试训练卷 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

北师版九年级数学上册
第四章　图形的相似
单元测试训练卷
一、选择题（共8小题，4*8=32）
1. 下列说法正确的是(　　)
A．若＝，则a＝b B．若－x＝4y，则x＝－2y
C．若ax＝bx，则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b
2. 已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比为(　　)
A．3：4 B．2：3
C．3：5 D．1：2
3. 如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB:FG＝2:3，则下列结论正确的是(　　)
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
4. 如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则必须具备的条件可以是(　　)
A.＝ B.＝
C．CD2＝AD·DB D．AC2＝AD·AB
5. 宽与长的比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )
A.矩形ABFE B．矩形EFCD
C.矩形EFGH D．矩形DCGH
6. 如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高是(　　)
A．17.5 m B．17 m
C．16.5 m D．18 m
7. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若＝2，则的值为( )
A． B．
C． D．
8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )
A．1.25尺 B．57.5尺
C．6.25尺 D．56.5尺
二．填空题（共6小题，4*6=24）
9．若1，2，3，x是成比例线段，则x＝_________.
10. 如图，E为 ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝__ __．
,
11. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为________.
12. 主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走__________米才最理想．
13. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__ __米．
14. 如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且＝，若点A(－1，0)，点C(，1)，则A′C′＝_______.
三．解答题（共5小题， 44分）
15．(6分) 如图，在△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA.求证：ED·AB＝AD·BD.
16．(8分) 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场上的旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶端A在同一直线上．已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m ，求旗杆的高度．
17．(8分) )如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，AB＝8，BD＝12，CD＝18.
(1)求证：△ABD∽△BDC；
(2)若△ABD的面积为40，求四边形ABCD的面积．
18．(10分) 如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与△ABC的外角∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.
(1)求∠PAQ的度数；
(2)若点M为PQ的中点，连接AM，求证：PM2＝CM·BM.
19．(12分) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.
(1)如图①，当＝时，求的值；
(2)如图②，当＝时，求AF与OA的比值(用含m的代数式表示)；
(3)如图③，当＝时，过点F作FG⊥BC于点G，探索EG与BG的数量关系(用含m的代数式表示)，并说明理由．
参考答案
1-4AABD 5-8DABB
9．6
10．3∶5
11．
12．18－6
13．22.5
14．
15．证明：∵AD是中线，∴BD＝CD.又CD2＝BE·BA，∴BD2＝BE·BA，即＝，又∠B＝∠B，∴△BED∽△BDA，∴＝，∴ED·AB＝AD·BD.
16．解：∵∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，∴△DEF∽△DCA.∴＝.∵DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，DC＝20 m，∴＝.∴AC＝10 m.又∵CB＝DG＝1.5 m，∴AB＝AC＋CB＝10＋1.5＝11.5(m)．答：旗杆的高度为11.5 m.
17．解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.∵AB＝8，BD＝12，CD＝18，∴＝＝，∴△ABD∽△BDC
(2)∵△ABD∽△BDC，＝，∴＝()2＝.又∵△ABD的面积为40，∴S△BDC＝90，∴四边形ABCD的面积为40＋90＝130
18．解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝∠BAC.∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝∠CAD.
∴∠PAC＋∠CAQ＝∠BAC＋∠CAD＝(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.
(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°.∵M是PQ的中点，∴PM＝AM.∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠CAM＝∠B.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM. ∴＝.∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.
19．解：(1)∵＝，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△CEF∽△ADF，∴＝，∴＝＝，＝＝　
(2)设EC＝1，则BE＝m，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝m＋1，∴△CEF∽△ADF，∴＝＝，∴＝，∵＝，∴AC＝2OA，∴＝，∴＝　
(3)结论：＝()2，理由：设EC＝1，则BE＝m，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝m＋1，∴△CEF∽△ADF，∴＝＝＝，∵FG⊥BC，∴FG∥CD，∴＝＝，①∵FG∥AB，∴＝＝，②由①×②，可得×＝×，即＝()2