2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1 椭圆 课后尖子生培优练（Word含答案解析）

3.1椭圆课后尖子生培优练--2021--2022学年人教A（2019）版高二上学期第三章圆锥曲线的方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)
3．已知点分别是椭圆的左 右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于
A． B． C． D．
4．椭圆两焦点为 ，在椭圆上，若的面积的最大值为12，则椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆C：的左 右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：x21的焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．|PF1|+|PF2|＝2
B．△PF1F2面积的最大值是
C．椭圆C的离心率为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
8．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为
A． B． C． D．
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二、多选题
9．关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A．长轴长为 B．焦距为
C．离心率为 D．左顶点的坐标为
10．已知椭圆的焦距为4，则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长是短轴长的倍
C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为
11．已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率
C． D．的面积的最大值是4
12．(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． < D．
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三、填空题
13．已知过点的椭圆C的焦点分别为，，则椭圆C的标准方程是___________.
14．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.
15．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则________．
16．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________.
评卷人得分
四、解答题
17．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于 两点，求中点的坐标．
18．在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程.
（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.
19．椭圆E与有共同的焦点，且经过点
（1）求椭圆E的标准方程和离心率；
（2）设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求的最大值.
20．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
21．如图，设点在轴上，且关于原点对称．点满足，且的面积为．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）以为焦点，且过点的椭圆记为．设是上一点，且，求的取值范围．
22．已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【解】根据方程可得，且焦点在x轴，
又，所以，
所以焦点坐标为，.
故选：B
2．D
【解】
因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆，
所以 ，即 ，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
3．B
【解】
椭圆
则，所以，
则
由余弦定理可知
代入化简可得，
则，
故选：B.
4．B
【解】
由题意，当点在短轴端点时，的面积的最大值为12，
可得，解得，又，
故
故椭圆的方程为
故选：B
5．A
【解】
设线段的中点，，
所以，解得，
又点在圆上，
则，即.
故选：A
6．D
【解】因为椭圆C：的左 右顶点分别为，，
因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，
又该圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，
因此，即，所以离心率为.
故选：D.
7．D
【解】由题意可知，椭圆C：x21的焦点在y轴上，长半轴长a，短半轴长，
设，，则，设，
对于选项A：|PF1|+|PF2|＝，故A错误；
对于选项B：因为△PF1F2面积为，故B错误；
对于选项C：椭圆的离心率e，故C错误；
对于选项D：以线段F1F2为直径的圆的圆心为原点O(0,0)，半径，
故原点O(0,0)到直线的距离，
从而以线段F1F2为直径的圆与直线x+y0相切，故D正确．
故选：D．
8．B
【解】
如下图，F为月球的球心，月球半径为：×3476＝1738，
依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，
　　　　｜BF｜＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138，
a＝1988，
a＋c＝2138，
c＝2138－1988＝150，
椭圆的离心率为：，
选B.
9．BCD
【解】
椭圆的焦点在轴上，，.
对于A选项，该椭圆的长轴长为，A错误；
对于B选项，该椭圆的焦距为，B对；
对于C选项，该椭圆的离心率为，C对；
对于D选项，该椭圆的左顶点坐标为，D对.
故选：BCD.
10．BC
解析因为，所以，所以焦点在轴上，故A错误；
又因为焦距为，所以，所以，所以，
所以长轴长，短轴长，所以，故B正确；
因为，所以离心率，故C正确；
因为椭圆方程，取一个焦点，设椭圆上的点，
所以，
又因为，当时取最大值，所以，故D错误；
故选：BC.
11．BD
【解】,∴,,
焦距，，当M为短轴的端点时的面积的取得最大值，是,
故选：BD.
12．BD
【解】观察图形可知，即A不正确；，即B正确；
由， 知，，即，从而,即： ,即D正确，C不正确．
故选：BD
13．
【解】由题意，，所以,
所以椭圆方程为．
故答案为：．
14．
【解】设动圆的圆心为，半径为R，
因为动圆与圆外切，与圆内切，
所以，
所以，
所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为，
故答案为：
15．3
【解】
设，由椭圆的定义可得，
又由，可得，
可得，即，
所以的面积为，
又因为的面积为9，即，解得.
故答案为：
16．
解：如图所示：
设椭圆的下焦点为，
，
，，
又，
即，
，
又，
当且仅当，，共线且在线段上时等号成立，
，
，
，
的最大值为.
故答案为：.
17．【解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆定义知，
，
所以，所以，
所求椭圆标准方程为．
（2）设直线与椭圆的交点为，，
联立方程，得，
得，．
设的中点坐标为，则，，
所以中点坐标为．
18．解：（1）由己知得
由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，焦距长，长轴长的椭圆.
所以，
所以曲线的方程是.
（2）由得.
，
因为直线与曲线有公共点，
所以，即，
解得，或.
故实数的取值范围是.
19．【解】（1）由，可得，
设椭圆E的标准方程：，且经过点.
，解得，
所以椭圆E的标准方程：，
.
（2）由（1）可知：，，
设 （为参数），
则 ，，
所以
，（）
当时，取得最大值，即的最大值为.
20．【解】（1）因为椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3,所以，所以
所以椭圆C的方程为
（2）设
由可得，所以
所以线段AB的中点坐标为
21．【解】（Ⅰ）如图所示：
设，
则直线的方程为，直线的方程为．
由 解得
所以．
故的面积．
所以，
解得．
所以点的坐标为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
所以， ．
设以为焦点且过点的椭圆方程为．
则，又，
所以椭圆的方程为．
所以， 即．
因为，所以．
所以．
所以的取值范围是．
22．【解】
（1）由得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.
所以直线斜率存在，设直线的方程为.
设、，
由得，
所以，.
因为，
所以，
即，整理得
化简得，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.