2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2双曲线 尖子生培优练（Word含答案解析）

3.2双曲线尖子生培优练--2021--2022学年人教A（2019）版高二上学期第三章圆锥曲线的方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（ ）.
A． B． C． D．
2．已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（ ）
A．1或13 B．1 C．13 D．9
3．若双曲线（，）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为为C右支上的点，且，则的面积等于（ ）
A．192 B．96 C．48 D．102
5．已知，分别是双曲线的左右焦点，过点向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若的内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线和直线至多只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．{-1，1}
8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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二、多选题
9．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
10．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若曲线C是椭圆，则其长轴长为 B．若，则曲线C表示双曲线
C．曲线C可能表示一个圆 D．若，则曲线C中过焦点的最短弦长为
11．关于、的方程，（其中）对应的曲线可能是（ ）
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．圆
12．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的点，若，且，则（ ）
A．离心率为 B．渐近线方程为
C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为
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三、填空题
13．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为__________．
14．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则=_________．
15．点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为7，则___________.
16．双曲线是等轴双曲线，点为其右支上一动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为______.
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四、解答题
17．在①，且的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为，②的焦距为6，③上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题．
问题：已知双曲线，______，求的方程．
18．双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交曲线左支于，两点，是以为直角顶点的直角三角形，且，若该双曲线的离心率为，求.
19．已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为,
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.
20．已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1．
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
21．已知椭圆M的焦点与双曲线N：的顶点重合，且椭圆M短轴的端点到双曲线N渐近线的距离为3．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线l与椭圆M交于A，B两点，若弦中点为，求直线的方程．
22．设双曲线的实轴长为.焦点到渐近线的距离为.
（1）求此双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于，两点.且在双曲线的右支上存在点，使得，求的值及点的坐标.
试卷第1页，共3页
第1页
参考答案
1．C
【解】
由双曲线：可知：，，
所以顶点坐标为，渐近线方程为，即，
所以顶点到其渐近线的距离等于，
故选：C.
2．C
【解】
根据双曲线定义可得，又，
所以或，
又，
解得，即，
又，
所以.
故选：C
3．A
【解】
由题意知，，所以，，
由，解得，
该双曲线的焦点在轴上，
所以渐近线方程为.
故选:A．
4．A
【解】
由双曲线可得：，，
所以，即，，，
所以，可得，
由双曲线的定义可得，
所以是等腰三角形，且，，
可得边上的高为，
所以的面积为，
故选：A.
5．C
【解】
设向渐近线做垂线，垂足为H，的内心为I，如图所示
因为，所以内心I在y轴上，
又内心I在以为直径的圆上，
所以，
连接，则，设，
则，
所以，而，
所以，所以，即，
又，
所以，即H为的中点，
又，，
所以，则，
由双曲线定义可得，所以，
在中，，
所以，即，
所以离心率.
故选：C
6．C
【解】
椭圆方程为：，其焦点坐标为，
设双曲线的方程为
椭圆与双曲线共同的焦点，①
一条渐近线方程是，②
解①②组成的方程组得，
所以双曲线方程为．
故选：C．
7．C
【解】
将双曲线和直线的方程联立，消去得：
∴当双曲线和直线至多只有一个公共点时，关于的方程有一个实数解或两个相等的实数解)或无解.
∴当，即时，双曲线和直线只有一个公共点；
当且即或时，双曲线和直线至多只有一个公共点.
∴实数的取值范围是
故选：C
8．B
【解】
由题设知：是钝角三角形，则为钝角且，
∵，，且，
∴，
在△中，，
∴，则，
∴，即.
故选：B.
9．BD
【解】
∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.
故选：BD
10．BD
解：由题意，若曲线C是椭圆，则，因为恒成立，所以椭圆的焦点在x轴上，所以其长轴长为，故A错误；
若，根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故B正确；
因为对任意的m恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故C错误；
若，则曲线C为椭圆，方程为，焦点坐标为，
若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为；
若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C的右焦点，方程为，与椭圆C的两个交点分别为，
由，可得，
则有
，
当时，上式不等式可取等号，即
综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为，故D正确；
故选：BD
11．ABCD
【解】
分以下几种情况讨论：
①当时，，，此时，方程表示焦点在轴上的双曲线；
②当时，，此时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
③当时，即当时，此时，方程表示的曲线为圆；
④当时，，此时，方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆.
故选：ABCD.
12．AC
【解】，且，又，所以，，，，
由双曲线定义得，所以，A正确；
，B错误；
设，则，的最小值为，C正确；
的最小值是，D错．
故选：AC．
13．
【解】因为双曲线的离心率为，
所以，
解得，
所以双曲线C的渐近线方程为，
故答案为：
14．或
【解】因为两条渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为或
则或，解得或
故答案为：或
15．22解：设双曲线的左焦点为，连接，则是的中位线，
到坐标原点的距离为7，
又由双曲线的定义，
得
故答案为22．
16．
【解】双曲线是等轴双曲线，则其渐近线为，直线与直线的距离为，所以等轴双曲线右支上点到直线的距离大于，即的最大值为．
故答案为：．
17．方案一 选择条件①．
因为，所以，，，所以，．
因为的左支上的点到右焦点的距离的最小值为，所以，
解得，故的方程为．
方案二 选择条件②．
因为的焦距为6，所以．
若，则，，，
所以，解得，则的方程为；
若，则，，，
所以，解得，
则的方程为．
综上，的方程为或．
方案三 选择条件③．
因为上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以，即．
若，则，所以，解得，则的方程为；
若，则，所以，解得，则的方程为．
综上，的方程为或．
18．【解】
如图所示：
设，
因为是以为直角顶点的直角三角形，且，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
解得，
所以，
因为，
即，
所以，
解得
19．解：（Ⅰ）由题意，得，
∴，即
∴所求双曲线的渐进线方程
（Ⅱ） 由（1）得当时, 双曲线的方程为.
设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
由得（判别式）,
∴,
∵点在圆上,∴，∴.
20．【解】
（1）由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
解得，且，
∴k的取值范围为．
（2）结合（1），设A(x1，y1)、B(x2，y2)．
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴，
即，
解得或，检验符合．
故实数k的值为0，，．
21．【解】
（1）设椭圆M的方程为，则，
双曲线N的渐近线方程为，
由题意可知，所以，于是，
所以椭圆M的方程为．
（2）显然直线l的斜率是存在的，设直线的斜率为k，
设A，B的坐标分别为，，
则，相减得，
整理得，
所以，
所以直线的方程为，即．
22．【解】（1）由实轴长为，得，
所以渐近线方程为，即或，
取渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
，又， ，
双曲线方程为:
（2）设，，，
则，，
由直线与双曲线方程联立，可得，
， ，
解得，，
，.