2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3抛物线尖子生培优练（Word含答案解析）

3.3抛物线尖子生培优练--2021--2022学年人教A（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C． D．
2．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（ ）
A．6 B． C．7 D．
3．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
5．已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作于点，则（ ）
A．5 B．4 C． D．
6．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
8．抛物线y2＝2px（p0）的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，PAl，垂足为A，若直线AF的斜率为，＝4，则抛物线方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝x C．y2＝8x D．y2＝x
评卷人得分
二、多选题
9．已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为 B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为 D．点M到原点O的距离为
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
11．以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
评卷人得分
三、填空题
13．已知抛物线：，点在上，点的坐标为，若，则的焦点坐标为___________.
14．边长为的等边三角形的一个顶点在原点，另外两个顶点在抛物线上，点在抛物线上，则线段的中点到抛物线的准线的距离为___________.
15．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是__．
16．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.如图所示，沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则___________.
评卷人得分
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点与双曲线的右焦点重合.
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线：与抛物线交于A，B两点，，求k的值.
18．已知抛物线与直线相交于、两点.
（1）求证：；
（2）当的面积等于时，求的值.
19．已知抛物线的焦点为.
（1）求.
（2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
20．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线交抛物线于点，再从条件①的中点为；②的中点为，这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．已知抛物线．
（Ⅰ）写出抛物线C的准线方程，并求抛物线C的焦点到准线的距离；
（Ⅱ）过点且斜率存在的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于点M．
（i）求点M的坐标；
（ⅱ）求与面积之和的最小值．
22．已知抛物线：，焦点为，准线与轴交于点.若点在上，横坐标为2，且满足：.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线交轴于点，过点做直线，与抛物线有两个交点，（其中，点在第一象限）.若，当时，求的取值范围
答案与提示：
评卷人得分
一、单选题
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C． D．
【答案】C
解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.
故选：C．
2．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【答案】A
【解】
设点，
因为抛物线方程为x2=8y，
所以其准线方程为，
又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，
由抛物线的定义得：，
交点，
所以点P的纵坐标为6，
故选：A
3．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解】
由点在抛物线上得，
设，由直线过定点得，
解得（舍去），，
所以．
故选：C．
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】C
【解】
由抛物线定义知：，
∴，
故选：C
5．已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作于点，则（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【解】
由点，知准线的方程为，焦点，
于是有抛物线的方程为，因为，所以，
代入抛物线方程解得，从而，
故选：A.
6．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解】
由题意得抛物线的焦点坐标为，
则双曲线C的焦点在x轴上，且．
∵渐近线方程为，∴，即，
则，则，
故双曲线C的方程为．
故选：A．
7．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
【答案】B
【解】
如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．
故选：B．
8．抛物线y2＝2px（p0）的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，PAl，垂足为A，若直线AF的斜率为，＝4，则抛物线方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝x C．y2＝8x D．y2＝x
【答案】A
【解】
∵直线AF的斜率为，
∵抛物线的定义知，∴△PAF为等边三角形，∴，
∴在Rt△AKF中，，∴抛物线方程为．
故选：A
评卷人得分
二、多选题
9．已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为 B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为 D．点M到原点O的距离为
【答案】ABD
【解】
由抛物线C：，得其准线l的方程为，A正确；
由抛物线的定义可知，又因为四边形MQPF为矩形，所以四边形MQPF为正方形，B正确；
所以，点M的坐标为，所以，C错误，D正确．
故选：ABD．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解】
对A，由抛物线的定义知A正确；
对B，∵，∴，B正确；
对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；
对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.
故选：ABD．
11．以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解】
设抛物线方程为或（），
依题意得，代入或得，
∴，，
∴抛物线方程为或.
故选：CD.
12．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
【答案】BC
【解】
由抛物线方程为，
焦点坐标，准线方程为，A错B对；
直线的斜率为，
直线的方程为，
当时，，
，
，为垂足，
点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知，D错.
故选:BC.
评卷人得分
三、填空题
13．已知抛物线：，点在上，点的坐标为，若，则的焦点坐标为___________.
【答案】
【解】
因为在上，所以，
又因为，所以，
所以该抛物线方程为：，因此的焦点坐标为：，
故答案为：
14．边长为的等边三角形的一个顶点在原点，另外两个顶点在抛物线上，点在抛物线上，则线段的中点到抛物线的准线的距离为___________.
【答案】1
解：设边长为的等边三角形的另外两个顶点分别为，点位于第一象限，则，
将代入，
得，解得，
所以点到准线的距离为，
点到准线的距离为，
所以线段的中点到抛物线的准线的距离为.
故答案为：1.
15．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是__．
【答案】y2＝﹣8x
【详解】
设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化简可得 y2＝﹣8x.
故答案为：y2＝﹣8x．
16．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.如图所示，沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则___________.
【答案】4
【解】
依题意可知点为该抛物线的焦点，
则有，得.
故答案为：4
评卷人得分
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点与双曲线的右焦点重合.
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线：与抛物线交于A，B两点，，求k的值.
解：双曲线方程即：，
则，∴，右焦点坐标为，
则抛物线的焦点坐标为，其标准方程为.
（2）
解：联立直线方程与抛物线方程可得：，
设，，则，，
易知直线恒过定点，即直线恒过抛物线的焦点，
由抛物线的弦长公式可得：，∴，
即：，∴，∴.
18．已知抛物线与直线相交于、两点.
（1）求证：；
（2）当的面积等于时，求的值.
证明：设、；
直线过定点，，，
由、、共线，
∴，
又，∴，
∴，
∴，
解：，则，得，
则，
∴，
.
19．已知抛物线的焦点为.
（1）求.
（2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
【解】（1），则由抛物线性质得，
∴，∴，
即的标准方程是.
（2）由题意得，抛物线的焦点为，
∴的方程为，，，
，
，，
∴.
综上所述，线段的长度为16.
20．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线交抛物线于点，再从条件①的中点为；②的中点为，这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解】
（1）将点代入抛物线，得
∴
∴，
∴，准线方程为；
（2）选择条件①
设，
∴
∴
∴直线的斜率为
∴直线的方程：
∴点到直线的距离：，
∴；
选择条件②
设，
∴
∴
∴直线的斜率为
∴直线的方程：
∴点到直线的距离：，
∴.
21．已知抛物线．
（Ⅰ）写出抛物线C的准线方程，并求抛物线C的焦点到准线的距离；
（Ⅱ）过点且斜率存在的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于点M．
（i）求点M的坐标；
（ⅱ）求与面积之和的最小值．
【解】
（Ⅰ）由题意，，所以准线方程是，抛物线的焦点到准线的距离为1．
（Ⅱ）（）令，则，且令，
令：，由，得，
所以，，
则直线的方程为，
当时，，所以，又，所以，即．
（），，
则，当且仅当，即时，等号成立．
所以面积之和的最小值为．
22．已知抛物线：，焦点为，准线与轴交于点.若点在上，横坐标为2，且满足：.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线交轴于点，过点做直线，与抛物线有两个交点，（其中，点在第一象限）.若，当时，求的取值范围.
【解】
（1）由已知可得，，，
∵，
∴，
∵，∴，
∴抛物线的方程为.
（2）由（1）得，，易求得.
由题意得，直线的斜率存在且不为0，
可设直线的方程为，
联立方程组
整理得，，.
设点，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，∴，
设在边上的高为，在边上的高为，
.
∴的取值范围是
.
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