2021-2022学年北师大版七年级数学上册第三章整式及其加减培优试题（Word版，附答案解析）

第三章 整式及其加减培优试
一．选择题（共10小题）
1．下列说法中错误的是（　　）
A．多项式x2y2+y﹣2是四次三项式
B．绝对值等于本身的数是非负数
C．“a、b的平方和”写成代数式为a2+b2
D．若|a|＝|b|，则a＝b
2．若单项式am+1b2与﹣a3bn的和是单项式，则mn值是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．若x2+3x＝﹣1，则2019﹣2x2﹣6x的值为（　　）
A．2017 B．2019 C．2020 D．2021
4．某企业今年1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了15%，3月份比2月份增加了5%，则3月份的产值为（　　）
A．（a+15%）（a﹣5%）万元 B．（a﹣15%）（a+5%）万元
C．a（1+15%）（1﹣5%）万元 D．a（1﹣15%）（1+5%）万元
5．电子跳蚤在数轴上的点K0处，第一步从K0向右跳1个单位到K1，第二步由K1向左跳2个单位到K2，第三步由K2向右跳3个单位到K3，第四步由K3向左跳4个单位到K4，…按以上规律跳了50步时电子跳蚤落在数轴上的点K50处，若K50所表示的数是﹣26.5，则电子跳蚤的初始位置点K0所表示的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．1.5
6．按如图所示的运算程序，能使输出结果为1的是（　　）
A．x＝0，y＝1 B．x＝﹣1，y＝0 C．x＝1，y＝0 D．x＝1，y＝1
7．已知无论x，y取什么值，多项式（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，则m+n等于（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
8．当x＝4时，多项式ax7+bx5+cx3﹣3的值为﹣4，则当x＝﹣4时，该多项式的值为（　　）
A．4 B．﹣3 C．﹣2 D．答案不确定
9．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
10．若（3x+1）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f＝（　　）
A．1024 B．﹣1024 C．32 D．﹣32
二．填空题（共8小题）
11．单项式﹣的系数是 　 　，次数是 　 　；的系数是 　 　，次数是 　 　．
12．若2xny3与﹣是同类项，则m+n＝　 　．
13．已知x2﹣5x﹣6＝0，则10x﹣2x2﹣5＝　 　．
14．若多项式3x2﹣kxy﹣5与12xy﹣y2+3的和中不含xy项，则k的值是　 　．
15．已知a表示一个一位数，b表示一个两位数，把a放到b的左边组成一个三位数，则这个三位数可以表示为　 　．
16．甲、乙两个港口之间的海上行程为skm，一艘轮船以akm/h的航速从甲港顺水航行到达乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为　 　h．
17．仔细观察，探索规律：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，
……
则32020+32019+32018+…+32+3＝　 　．
18．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2021﹣a2020+a2019﹣a2018+…+a1的值为　 　．
三．解答题（共7小题）
19．若多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，求mn的值．
20．多项式（ax2﹣3x+1）﹣（5﹣3x+2x2）的值与x无关，求a的值．
21．先观察下列等式，再完成题后问题：
＝﹣；＝﹣；＝﹣……
（1）请你猜想：＝　 　．
（2）若a，b为有理数，且|a﹣1|+|b﹣2|＝0，求：+++…+的值．
22．如图，两个形状大小相同的长方形ABCD和长方形AEFG，点E在AB边上，AB＝a，BC＝b，且a＞b＞0．
（1）分别连接BD，DF，BF，试比较△ABD与△DFG的面积大小，并说明理由．
（2）用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积．
（3）当a+b＝10，ab＝20．求图中阴影部分的面积．
23．某中学召开运动会，七年级某班要中性笔和笔记本作为奖品，已知笔记本每本定价10元，中性笔每支定价2元，某商店开展促销活动，可以向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一个笔记本赠送一支中性笔；
方案二：笔记本和中性笔都按定价的90%付款．
现某班要购买笔记本20个，中性笔x支（x＞20，且x为整数）．
（1）若该班按方案一购买，需付款 　 　元（用含x的式子表示）；
（2）若该班按方案二购买，需付款 　 　元（用含x的式子表示）；
（3）当x＝80时，按以上方案购买，哪种方案更划算？请通过计算说明理由．
24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如表所示是该市自来水收费价格价目表．
价目表
每月用水量 单价
不超出6m3的部分 2元/m3
超出6m3但不超出10m3的部分 4元/m3
超出10m3的部分 8元/m3
注：水费按月结算
（1）填空：若某户居民2月份用水4m3，则2月份应收水费　 　元；若该户居民3月份用水8m3，则3月份应收水费　 　元；
（2）若该户居民4月份用水量am3（a在6至10m3之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为6m3，水费12元；另外一部分用水量为　 　m3，此部分应收水费　 　元；则4月份总共应收水费　 　元．（用a的整式表示并化简）
（3）若该户居民5月份用水xm3（x＞10），求该户居民5月份共交水费多少元？（用x的整式表示并化简）
25．已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
（1）a＝　 　，b＝　 　，线段AB＝　 　；
（2）若数轴上有一点C，使得AC＝BC，点M为AB的中点，求MC的长；
（3）有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE＝GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列说法中错误的是（　　）
A．多项式x2y2+y﹣2是四次三项式
B．绝对值等于本身的数是非负数
C．“a、b的平方和”写成代数式为a2+b2
D．若|a|＝|b|，则a＝b
【解答】解：多项式x2y2+y﹣2是四次三项式，故A正确，不符合题意；
绝对值等于本身的数是非负数，故B正确，不符合题意；
“a、b的平方和”写成代数式为a2+b2，故C正确，不符合题意；
若|a|＝|b|，则a＝±b，故D错误，符合题意．
故选：D．
2．若单项式am+1b2与﹣a3bn的和是单项式，则mn值是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵单项式am+1b2与﹣a3bn的和是单项式，
∴am+1b2与﹣a3bn是同类项，
∴m+1＝3，n＝2，
解得m＝2，n＝2，
∴mn＝22＝4．
故选：B．
3．若x2+3x＝﹣1，则2019﹣2x2﹣6x的值为（　　）
A．2017 B．2019 C．2020 D．2021
【解答】解：∵2019﹣2x2﹣6x＝2019﹣（2x2+6x）＝2019﹣2（x2+3x），
又∵x2+3x＝﹣1，
∴2019﹣2x2﹣6x＝2019﹣2×（﹣1）＝2019+2＝2021，
故选：D．
4．某企业今年1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了15%，3月份比2月份增加了5%，则3月份的产值为（　　）
A．（a+15%）（a﹣5%）万元 B．（a﹣15%）（a+5%）万元
C．a（1+15%）（1﹣5%）万元 D．a（1﹣15%）（1+5%）万元
【解答】解：∵今年1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了15%，
∴2月份的产值为a（1﹣15%）万元，
∵3月份比2月份增加了5%，
∴3月份的产值为a（1﹣15%）（1+5%）万元．
故选：D．
5．电子跳蚤在数轴上的点K0处，第一步从K0向右跳1个单位到K1，第二步由K1向左跳2个单位到K2，第三步由K2向右跳3个单位到K3，第四步由K3向左跳4个单位到K4，…按以上规律跳了50步时电子跳蚤落在数轴上的点K50处，若K50所表示的数是﹣26.5，则电子跳蚤的初始位置点K0所表示的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．1.5
【解答】解：设电子跳蚤落在数轴上的某点K0＝a，规定向左为负，向右为正．
根据题意，得：a+1﹣2+3﹣4+…﹣50＝﹣26.5，
a+（﹣2+1）+…+（﹣50+49）＝﹣26.5，
a﹣25＝﹣26.5，
解得：a＝﹣1.5．
即电子跳蚤的初始位置点K0表示的数是﹣1.5，
故选：C．
6．按如图所示的运算程序，能使输出结果为1的是（　　）
A．x＝0，y＝1 B．x＝﹣1，y＝0 C．x＝1，y＝0 D．x＝1，y＝1
【解答】解：当x＝0，y＝1时，2x﹣y＝﹣1，故选项A输出的结果不为1；
当x＝﹣1，y＝0时，2x﹣y＝﹣2，故选项B输出的结果不为1；
当x＝1，y＝0时，2x+y＝2，故选项C输出的结果不为1；
当x＝1，y＝1时，2x﹣y＝1，故选项D输出的结果为1．
故选：D．
7．已知无论x，y取什么值，多项式（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，则m+n等于（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【解答】解：（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）
＝2x2﹣my+12﹣nx2﹣3y+6
＝（2﹣n）x2+（﹣m﹣3）y+18，
∵无论x，y取什么值，多项式（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，
∴，得，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：D．
8．当x＝4时，多项式ax7+bx5+cx3﹣3的值为﹣4，则当x＝﹣4时，该多项式的值为（　　）
A．4 B．﹣3 C．﹣2 D．答案不确定
【解答】解：方法1：当x＝4时，
ax7+bx5+cx3﹣3
＝16384a+1024b+64c﹣3
＝﹣4，
所以16384a+1024b+64c＝﹣1，
当x＝﹣4时，
ax7+bx5+cx3﹣3
＝﹣16384a﹣1024b﹣64c﹣3
＝﹣（16384a+1024b+64c）﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
方法2：当x＝4时，
ax7+bx5+cx3﹣3
＝27a+25b+23c﹣3
＝﹣4，
所以27a+25b+23c＝﹣1，
当x＝﹣4时，
ax7+bx5+cx3﹣3
＝﹣27a﹣25b﹣23c﹣3
＝﹣（27a+25b+23c）﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
故选：C．
9．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
【解答】解：由图形可知，
，
，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选：B．
10．若（3x+1）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f＝（　　）
A．1024 B．﹣1024 C．32 D．﹣32
【解答】解：令x＝1，则（3x+1）5
＝45
＝1024．
∴a+b+c+d+e+f＝1024．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．单项式﹣的系数是 　﹣　，次数是 　3　；的系数是 　﹣　，次数是 　2　．
【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，次数是3；
﹣的系数是﹣，次数是2．
故选：﹣，3，﹣，2．
12．若2xny3与﹣是同类项，则m+n＝　0　．
【解答】解：由同类项的定义可知n＝2，1﹣2m＝3，
解得m＝﹣1，
则m+n＝﹣1+1＝0．
故答案为：0．
13．已知x2﹣5x﹣6＝0，则10x﹣2x2﹣5＝　﹣17　．
【解答】解：∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴x2﹣5x＝6．
∴x﹣2x2﹣5
＝﹣2（x2﹣5x）﹣5
＝﹣2×6﹣5
＝﹣12﹣5
＝﹣17．
故答案为：﹣17．
14．若多项式3x2﹣kxy﹣5与12xy﹣y2+3的和中不含xy项，则k的值是　8　．
【解答】解：（3x2﹣kxy﹣5）+（12xy﹣y2+3）
＝3x2﹣kxy﹣5+12xy﹣y2+3
＝3x2+（﹣k+12）xy﹣y2﹣2，
∵多项式3x2﹣kxy﹣5与12xy﹣y2+3的和中不含xy项，
∴﹣k+12＝0，
解得k＝8，
故答案为：8．
15．已知a表示一个一位数，b表示一个两位数，把a放到b的左边组成一个三位数，则这个三位数可以表示为　100a+b　．
【解答】解：这个三位数可以表示为100a+b．
故答案是：100a+b．
16．甲、乙两个港口之间的海上行程为skm，一艘轮船以akm/h的航速从甲港顺水航行到达乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为　　h．
【解答】解：∵甲港顺水以akm/h的航速航行到乙港，已知水流的速度为xkm/h，
∴逆水航行的速度为（a﹣2x）km/h，
∴返回时的时间为：h．
故答案是：．
17．仔细观察，探索规律：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，
……
则32020+32019+32018+…+32+3＝　　．
【解答】解：32020+32019+32018+…+32+3
＝（32020+32019+32018+…+32+3+1）﹣1
＝﹣1，
＝，
故答案为：．
18．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2021﹣a2020+a2019﹣a2018+…+a1的值为　1　．
【解答】解：令x＝0，则（x+1）2021＝a0＝1，
令x＝﹣1，则（x+1）2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+...+a2020﹣a2021＝0，
即（a0﹣a1）+（a2﹣a3）+...+（a2020﹣a2021）＝0，
等式两边同乘﹣1，得（a1﹣a0）+（a3﹣a2）+...+（a2021﹣a2020）＝0，
运用加法交换律，得（a2021﹣a2020）+（a2019﹣a2018）+...+（a1﹣a0）＝0，
即 a2021﹣a2020+a2019﹣a2018+...+a1﹣a0＝0，
∴a2021﹣a2020+a2019﹣a2018+...+a1＝a0＝1，
故答案为1．
三．解答题（共7小题）
19．若多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，求mn的值．
【解答】解：∵多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
∴n﹣2＝0，1+|m﹣n|＝3，
∴n＝2，|m﹣n|＝2，
∴m﹣n＝2或n﹣m＝2，
∴m＝4或m＝0，
∴mn＝0或8．
20．多项式（ax2﹣3x+1）﹣（5﹣3x+2x2）的值与x无关，求a的值．
【解答】解：原式＝ax2﹣3x+1﹣5+3x﹣2x2
＝（a﹣2）x2﹣4，
由题意可知：a﹣2＝0，
∴a＝2．
21．先观察下列等式，再完成题后问题：
＝﹣；＝﹣；＝﹣……
（1）请你猜想：＝　﹣　．
（2）若a，b为有理数，且|a﹣1|+|b﹣2|＝0，求：+++…+的值．
【解答】解：（1）由数字变化规律可以得出＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）∵|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
∴a＝1，b＝2，
故原式＝+++…+＝1﹣+…+﹣＝1﹣＝．
22．如图，两个形状大小相同的长方形ABCD和长方形AEFG，点E在AB边上，AB＝a，BC＝b，且a＞b＞0．
（1）分别连接BD，DF，BF，试比较△ABD与△DFG的面积大小，并说明理由．
（2）用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积．
（3）当a+b＝10，ab＝20．求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）S△ABD＞S△DFG，理由如下：
∵S△ABD＝AB AD＝ab，
S△DFG＝DG FG＝（a﹣b） b＝ab﹣b2＜ab，
∵a＞b＞0，
∴S△ABD＞S△DFG．
（2）如图，延长BC，GF交于I，
S阴影＝S ABIG﹣S△ABD﹣S△DFG﹣S△BIF，
∴S阴影＝a2﹣ab﹣ b （a﹣b）﹣ a （a﹣b）＝a2+b2﹣ab；
∴阴影部分的面积用代数式表示为：a2+b2﹣ab；
（3）当a+b＝10，ab＝20时，a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝20．
23．某中学召开运动会，七年级某班要中性笔和笔记本作为奖品，已知笔记本每本定价10元，中性笔每支定价2元，某商店开展促销活动，可以向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一个笔记本赠送一支中性笔；
方案二：笔记本和中性笔都按定价的90%付款．
现某班要购买笔记本20个，中性笔x支（x＞20，且x为整数）．
（1）若该班按方案一购买，需付款 　2x+160　元（用含x的式子表示）；
（2）若该班按方案二购买，需付款 　1.8x+180　元（用含x的式子表示）；
（3）当x＝80时，按以上方案购买，哪种方案更划算？请通过计算说明理由．
【解答】解：（1）客户按方案①购买，需付款10×20+2（x﹣20）＝2x+160，
客户按方案②购买，需付款10×20×90%+x×2×90%＝1.8x+180，
故答案为：2x+160，1.8x+180；
（2）当x＝80时，
2x+160＝2×80+160＝320，
1.8x+180＝1.8×80+180＝324，
∵324＞320，
∴按方案①购买较为合算．
24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如表所示是该市自来水收费价格价目表．
价目表
每月用水量 单价
不超出6m3的部分 2元/m3
超出6m3但不超出10m3的部分 4元/m3
超出10m3的部分 8元/m3
注：水费按月结算
（1）填空：若某户居民2月份用水4m3，则2月份应收水费　8　元；若该户居民3月份用水8m3，则3月份应收水费　20　元；
（2）若该户居民4月份用水量am3（a在6至10m3之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为6m3，水费12元；另外一部分用水量为　（a﹣6）　m3，此部分应收水费　4（a﹣6）　元；则4月份总共应收水费　（4a﹣12）　元．（用a的整式表示并化简）
（3）若该户居民5月份用水xm3（x＞10），求该户居民5月份共交水费多少元？（用x的整式表示并化简）
【解答】解：（1）2×4＝8（元）；
2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．
故2月份应收水费8元；3月份应收水费20元；
故答案为：8；20；
（2）若该户居民4月份用水量am3（a在6至10m3之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为6m3，水费12元；另外一部分用水量为（a﹣6）m3，此部分应收水费4（a﹣6）元；则4月份总共应收水费12+4（a﹣6）＝（4a﹣12）元．
故答案为：（a﹣6），4（a﹣6），（4a﹣12）；
（3）2×6+（10﹣6）×4+（x﹣10）×8
＝12+16+8x﹣80
＝（8x﹣52）（元）．
答：该户居民5月份共交水费（8x﹣52）元．
25．已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
（1）a＝　﹣10　，b＝　20　，线段AB＝　30　；
（2）若数轴上有一点C，使得AC＝BC，点M为AB的中点，求MC的长；
（3）有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE＝GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．
【解答】解：（1）由题意知：a+10＝0，b＝20，
∴a＝﹣10，
∴AB的距离为20﹣（﹣10）＝30；
故答案为﹣10，20，30；
（2）分两种情况：
①当点C在AB之间时，如图1，
∵AC＝BC，AB＝30，
∴AC＝18，
∵M是AB的中点，
∴AM＝15，
∴CM＝18﹣15＝3；
②当点C在点B的右侧时，如图2，
∵AC＝BC，AB＝30，
∴AC＝90，
∵AM＝15，
∴CM＝90﹣15＝75；
综上，CM的长是3或75；
（3）由题意得：点G表示的数为：﹣10+t，点H表示的数为：20+t，
∵t＜30，AB＝30，
∴点G在线段AB之间，
∵D为BG的中点，
∴点D表示的数为：＝5+t，
∵F是DH的中点，
∴点F表示的数为：＝，
∵BG＝20﹣（﹣10+t）＝30﹣t，
∵EG＝BG，
∴EG＝＝10﹣t，
∴点E表示的数为：﹣10+t+10﹣t＝t，
∴DE+DF
＝（5+t）﹣t+﹣（5+t）
＝