(共17张PPT)
随机事件
25.1.1
第二十四章 圆
1
2
3
4
5
6
7
8
B
答 案 呈 现
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习题链接
D
C
A
D
C
C
D
9
10
【2020·通辽】下列事件中是不可能事件的是( )
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖
C．水中捞月 D．百步穿杨
1
C
【2020·沈阳】下列事件中，是必然事件的是( )
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
2
A
【2020·武汉】两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( )
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
3
B
“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是( )
A．确定性事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．不确定性事件
4
D
【2020·徐州】抛掷一枚质地均匀的硬币2 000次，正面朝上的次数最有可能为( )
A．500 B．800 C．1 000 D．1 200
5
C
【2020·安顺】下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是( )
6
D
7
【2019·资阳】在一个布袋中装有红、白两种颜色的球，它们除颜色外没有任何其他区别，其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀，若从袋中随机取出一个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是( )
A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
D
在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是( )
A．李东夺冠的可能性较小
B．李东和他的对手比赛10局时，他一定赢8局
C．李东夺冠的可能性较大
D．李东肯定会赢
8
C
【点拨】本题易对随机事件发生的可能性大小理解不透彻而致错，李东夺冠的可能性是80%表示李东有可能夺冠，且夺冠的可能性较大．
已知关于x的二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a，设事件A：“x＜0时，y随x的增大而减小”，事件B：“二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴有两个交点”．
(1)小聪说A是必然事件，请你说明其中的道理；
9
解：∵y＝3x2－12x＋12＋2a＝3(x－2)2＋2a，且3>0，
∴当x<2时，y随x的增大而减小．
∵x<0是x<2的一部分，
∴x<0时y随x的增大而减小，即A是必然事件．
(2)小明说B是随机事件，请你说明其中的道理．
解：∵Δ＝(－12)2－4×3×(12＋2a)＝－24a，
∴当a>0时，－24a<0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴没有交点；
当a＝0时，－24a＝0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴只有一个交点；
当a<0时，－24a>0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴有两个交点．故B是随机事件．
【2020·南通】某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．
10
请用所学概率知识解决下列问题：
(1)写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果．
解：所有可能结果如下：甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲，共6种．
(2)两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
解：一样大．理由如下：由(1)可知张先生坐到甲车有两种可能：乙、丙、甲，丙、乙、甲，
李先生坐到甲车有两种可能：甲、乙、丙，甲、丙、乙，
所以两人坐到甲车的可能性一样大．期末达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．一元二次方程x(x－3)＝4的解是( )
A．x＝1 B．x＝4 C．x1＝－1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4
3．抛物线y＝－－3的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
4．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为x尺，则可列方程为( )
A．(x＋2)2＝(x－4)2＋x2 B．(x＋4)2＝x2＋(x－2)2
C．x2＝(x－4)2＋(x－2)2 D．(x＋4)2＝(x＋2)2＋x2
5．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是( )
A．36° B．33°
C．30° D．27°
6．一个不透明的袋子中有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球(黑球与白球除颜色外，其他均相同)，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋子中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋子中有白球( )
A．18个 B．28个 C．36个 D．42个
7．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，O为BC的中点，以O为圆心作半圆O交BC于点M，N，半圆O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则半圆O的半径和∠MND的度数分别为( )
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( )
A．5 B. C．5 D．5
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a＋b＝0；(2)9a＋c＞3b；(3)8a＋7b＋2c＞0；(4)若点A(－3，y1)，点B，点C在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；(5)若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2，其中正确的有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是________．
12．在平面直角坐标系中，点(－3，2)关于原点对称的点的坐标是________．
13．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 018＝0的两个实数根，则m2＋
3m＋n＝________．
14．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝________．
15．如图，五一期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入，从C或D出口离开的概率是________．
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O分斜边AB为BO∶OA＝1∶.将△BOC绕C点沿顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC＝________．
17．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的叶状阴影图案的面积为________．
18．如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，若这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm.
19．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为________．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(4，0)，且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，点P的坐标为________．
三、解答题(21题8分，22，23题每题6分，26题10分，27题12分，其余每题9分，共60分)
21．选择适当的方法解下列方程：
(1)x2－2x－143＝0; (2)5x＋2＝3x2.
22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1.
(1)求证：2a＋b＝0；
(2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．
23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π)．
24．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个三位数为“伞数”．现从1，2，3，4这4个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数．
(1)请用画树状图的方法求所有可能得到的三位数；
(2)甲、乙两人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏规则公平吗？试说明理由．
25．如图，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以点O为圆心，OB为半径作圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD.
(1)猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
(2)试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；
(3)已知AC＝6，求扇形OBC所围成圆锥的底面圆的半径r.
26．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
A方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
B方案：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
27．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x轴相交于O，A两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
答案
一、1．C 2．C 3．B 4．C
5．A 点拨：连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°.∴∠BDC＝90°－∠BCD＝90°－54°＝36°.∴∠A＝∠BDC＝36°.
6．B
7．C 点拨：∵正方形ODEF是由正方形OABC绕点O逆时针旋转40°得到的，∴∠AOC＝90°，∠COF＝40°，OA＝OF，∴∠AOF＝90°＋40°＝130°，
∴∠OFA＝＝25°.
8．A 9．D
10．B 点拨：∵－＝2，∴4a＋b＝0.故(1)正确．∵当x＝－3时，y＜0，
∴9a－3b＋c＜0，∴9a＋c＜3b.故(2)错误．由图象可知抛物线经过(－1，0)和(5，0)，∴解得∴8a＋7b＋2c＝8a－28a－
10a＝－30a.∵a＜0，∴8a＋7b＋2c＞0.故(3)正确．∵点A(－3，y1)，点B，点C在该函数图象上，且－2＝，2－＝，＜，∴点C离对称轴的距离近．∴y3＞y2.∵a＜0，－3＜－＜2，∴y1＜y2.
∴y1＜y2＜y3.故(4)错误．∵a＜0，∴(x＋1)(x－5)＝－＞0，即(x＋1)
(x－5)＞0，故x＜－1或x＞5，故(5)正确．∴正确的结论有3个，故选B.
二、11．0 12．(3，－2) 13．2 016
14．50° 15． 16．105°
17．2π－4 点拨：标注字母如图所示，连接AB，由题意得，阴影部分的面积＝2(S扇形OAB－S△AOB)＝2×(－×2×2)＝2π－4.
18．3 点拨：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设扇形的半径为r cm，
则×πr＝2π×1，解得r＝3.
19．2r 点拨：连接OD，OE.易知BD＝BE＝OD＝OE＝r.∵MN与⊙O相切于点P，且⊙O是△ABC的内切圆，∴MD＝MP，NP＝NE.∴△MBN的周长＝BM＋MP＋PN＋BN＝BM＋MD＋NE＋BN＝BD＋BE＝2r.
20．或
点拨：连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF.根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，此时EF最短．在Rt△AOC中，易知OC＝OA＝4，∴当D是AC的中点时，OD⊥AC.易得DF∥OC，DF＝
OC＝2，∴点P的纵坐标是2.∵A的坐标为(4，0)，且OA＝4OB，∴点B的坐标为(－1，0)．设过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，由点C的坐标为(0，4)，得－4a＝4，解得a＝－1，因此抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4，当y＝2时， x2－3x－2＝0，解得x＝.∴当线段EF的长度最短时，点P的坐标为或.
三、21．解：(1)原方程可化为x2－2x＋1＝143＋1，得(x－1)2＝144，
∴x－1＝±12，∴x1＝13，x2＝－11.
(2)原方程可化为3x2－5x－2＝0，
(3x＋1)(x－2)＝0，
得3x＋1＝0或x－2＝0，
∴x1＝－，x2＝2.
22．(1)证明：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1，
∴－＝1，即2a＝－b，
移项，得2a＋b＝0.
(2)解：把x＝4代入方程ax2＋bx－8＝0，得16a＋4b－8＝0 ①.
由(1)可知，2a＋b＝0 ②，
①②联立，解得
∴原方程为x2－2x－8＝0，
解得x1＝4，x2＝－2.
即方程的另一个根是x＝－2.
23．解：(1)如图．点A1的坐标为(2，－4)．
(2)如图．
(3)BC＝＝，所以C 点旋转到C2点所经过的路径长＝＝.
24．解：(1)根据题意画树状图如图：
由树状图可得，所有可能得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.
(2)这个游戏规则不公平．
理由如下：
组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个，
∴甲胜的概率为＝，
乙胜的概率为＝.
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．
25．解：(1)猜想：AC与⊙O相切．证明如下：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠ABC＝30°.
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°.
∴∠ACO＝∠ACB－∠OCB＝90°.
∴OC⊥AC.又OC是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．
(2)四边形BOCD为菱形．证明如下：
连接OD，
∵CD∥AB，
∴∠AOC＝∠OCD.
∵∠AOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°，
∴∠OCD＝60°.
又OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝OB.
∵CD∥OB，
∴四边形BOCD为平行四边形．
又OB＝OC，
∴四边形BOCD为菱形．
(3)在Rt△AOC中，AC＝6，∠A＝30°，
∴OA＝2OC.
∴OC2＋62＝(2OC)2.
解得OC＝2(负值舍去)．
由(2)得∠AOC＝60°，
∴∠COB＝120°.
根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，得＝2πr.解得r＝.
26．解：(1)由题意得，销售量为250－10(x－25)＝－10x＋500，
则w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000.
(2)w＝－10x2＋700x－10 000＝－10(x－35)2＋2 250.
∵－10＜0，
∴当x＝35时，w最大＝2 250.
故当销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大．
(3)A方案的最大利润更高，理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
∵函数w＝－10(x－35)2＋2 250的图象开口向下，对称轴为直线x＝35，
∴当x＝30时，w有最大值，此时wA最大＝2 000.
B方案中：故x的取值范围为45≤x≤49.
∵函数w＝－10(x－35)2＋ 2 250的图象开口向下，对称轴为直线x＝35，
∴当x＝45时，w有最大值，此时wB最大＝1 250.
∵wA最大＞wB最大，
∴A方案的最大利润更高．
27．解：(1)∵函数的图象与x轴相交于点O，
∴0＝k＋1.
∴k＝－1.
∴y＝x2－3x.
(2)设B点的坐标为(x0，y0)．
∵△AOB的面积等于6，
∴AO·|y0|＝6.
当x2－3x＝0时，即x(x－3)＝0，解得x＝0或x＝3.
∴AO＝3.
∴|y0|＝4，即|x20－3x0|＝4.
∴＝或＝－(舍去)．
解得x0＝4或x0＝－1(舍去)．
当x0＝4时，y0＝x20－3x0＝4，
∴点B的坐标为(4，4)．
(3)假设存在点P.设符合条件的点P的坐标为(x1，x21－3x1)．
∵点B的坐标为(4，4)，
∴∠BOA＝45°，BO＝＝4.
当∠POB＝90°时，易得点P在直线y＝－x上，
∴x21－3x1＝－x1.
解得x1＝2或x1＝0(舍去)．
∴x21－3x1＝－2.
∴在抛物线上存在点P，使∠POB＝90°，且点P的坐标为(2，－2)．
∴OP＝＝2.
∴△POB的面积为PO·BO＝2×4＝8.
1第二十五章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列事件中，属于随机事件的是( )
A．|－|>|－8|
B．抛一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上
C．地球自转的同时也在绕太阳公转
D．袋中只有五个黄球，摸出一个球是白球
2．抛掷一枚质地均匀的硬币2 000次，正面朝上的次数最有可能为( )
A．500 B．800
C．1 000 D．1 200
3．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是( )
A. B. C. D.
4．若在“正三角形”“平行四边形”“菱形”“正五边形”“正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
5．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF，GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，向 ABCD内部投掷飞镖(每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等)恰好落在阴影区域的概率为( )
A. B. C. D.
(第5题) (第8题)
6．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中球的个数n为( )
A．20 B．24 C．28 D．30
7．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次将朝上一面的点数记为x，抛第二次将朝上一面的点数记为y，则点(x，y)落在直线y＝－x＋5上的概率为( )
A. B. C. D.
8. 如图，五一期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从C或D出口离开的概率是( )
A. B. C. D.
9．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( )
A. B. C. D.
10．从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a2＋b2>19的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共24分)
11．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，这名球员投篮一次投中的概率约为________(精确到0.1)．
投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500
投中次数m 28 60 78 104 120 153 250
投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.48 0.51 0.50
12.从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任取三条作边，能构成三角形的概率为________．
13. 在m2□6m□9的“□”中任意填上“＋”或“－”，所得的代数式为完全平方式的概率为________．
14．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是________．
(第14题) (第18题)
15．经过某十字路口的汽车，可直行，也可左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是________．
16．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，随机从这5瓶饮料中取2瓶，则至少有1瓶过保质期的饮料的概率为________．
17．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是________．
18．如图，有两个转盘A，B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A，B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是________．
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分 )
19．小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜(指针指在分界线时重转)，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图法或列表法说明理由．
20.一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球、8个黑球、7个红球．
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
21．将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出1个盒子，求2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．
22．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙口袋中摸出一个小球，记下数字为n.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果．
(2)若m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解，则小明获胜；若m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
23．某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图(图①和图②)．
(1)请你求出该班的总人数，并补全条形统计图(注：在所补小矩形上方标出人数)．
(2)在该班团支部4人中，有1人选修排球、2人选修羽毛球、1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的2人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？
24．某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9(单位：元)三种．从中随机拿出一个球，已知P(一次拿到8元球)＝.
(1)求这4个球价格的众数．
(2)若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．
①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由．
②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法(如下表)求乙组两次都拿到8元球的概率．
又拿先拿
答案
一、1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D
7．C 8.B 9.D 10.D
二、11.0.5 12. 13. 14.
15. 16. 17.
18．80° 【点拨】设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x.
根据题意，得x＝，解得x＝.
∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为360°×＝80°.
三、19.解：这个游戏对双方公平．
理由：如图所示．
一共有6种等可能的结果，和小于4的有3种，
∴P(和小于4)＝＝.
∴这个游戏对双方公平．
20．解：(1)袋中共有20个球，其中黄球有5个，所以从袋中摸出一个球是黄球的概率为＝.
(2)设从袋中取出黑球的个数为x.
由题意得＝，解得x＝2.
经检验x＝2是方程的解且符合题意，即从袋中取出黑球的个数为2.
21．解：(1)搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能的结果，所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为.
(2)共有6种等可能的结果，分别为AB，AC，BA，BC，CA，CB，其中2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，即AB，BA，BC，CB.
所以2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率为＝.
22．解：(1)画树状图如图所示．
(2)∵m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解，
∴m＝2，n＝3或m＝3，n＝2或m＝n＝2或m＝n＝3.
由树状图得，共有12种等可能的结果，m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解的结果有4种，m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解的结果有2种，
∴小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，
∴小明获胜的概率大．
23．解：(1)该班的总人数为12÷24%＝50，
足球科目人数为50×14%＝7.
补全条形统计图如图所示．
(2)记选修排球的学生为A、选修羽毛球的学生为B1，B2，选修乒乓球的学生为C，则列举所有结果如下：
AB1，AB2，AC，B1B2，B1C，B2C，
共有6种等可能的结果，其中有1人选修排球、1人选修羽毛球的占2种，
所以恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率为＝.
24．解：(1)∵P(一次拿到8元球)＝，∴8元球的个数为4×＝2(个)．按照从小到大的顺序排列为7元、8元、8元、9元，
∴这4个球价格的众数为8元．
(2)①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同．理由如下：
原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7元、8元、8元、9元，
∴原来4个球价格的中位数为＝8(元)，
所剩的3个球价格为8元、8元、9元．
∴所剩的3个球价格的中位数为8元．
∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同．
②列表如下：
又拿先拿 8 8 9
8 8，8 8，8 8，9
8 8，8 8，8 8，9
9 9，8 9，8 9，9
共有9种等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4种，
∴乙组两次都拿到8元球的概率为.
1(共30张PPT)
25.1 随机事件与概率
第2课时 概率
第25章 概率初步
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1
2
3
4
A
5
大小的数值
A
6
7
8
9
A
C
(1)1 (2)0 (3)0＜P(A)＜1
(4)1；0
10
B
C
③④
11
12
13
见习题
14
见习题
答案显示
见习题
B
15
见习题
1．一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性____________，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．
大小的数值
2．(中考·衡阳)已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是( )
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁发球的比赛规则是公平的
A
3．(2020·常德)下列说法正确的是( )
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
C
4．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝____.当A为必然事件时，P(A)＝1；当A为不可能事件时，P(A)＝______．
0
5．(2020·衢州)如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在“Ⅱ”所示区域内的概率是( )
A
6．(2020·金华)如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是( )
A
7．(2020·株洲)一个不透明的盒子中装有4个形状、大小、质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数－1，0，2和3.从中随机地摸取一个小球，则这个小球上所标数是正数的概率为( )
C
*8.(教材P140T4变式)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是( )
B
9．(1)必然事件A的概率为P(A)＝________.
(2)不可能事件A的概率为P(A)＝________.
(3)随机事件A的概率为P(A)：______________.
(4)随机事件的概率的规律：事件发生的可能性越大，它的概率越接近________；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近________．
1
0
0＜P(A)＜1
1
0
10．下列事件：①太阳绕着地球转；
②小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯；
③地球上海洋面积大于陆地面积；
④将油滴入水中，油会浮在水面上．
其中概率为1的事件是________(填序号)．
③④
11．(2020·天门)下列说法正确的是( )
A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择抽样调查
B．方差是刻画数据波动程度的量
C．购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1
【答案】B
【点拨】为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，即普查，不宜选择抽样调查，因此选项A错误；
方差是刻画数据波动程度的量，反映数据的离散程度，因此选项B正确；
购买一张体育彩票中奖，是可能的，只是可能性较小，是随机事件，因此选项C错误；
掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，因此选项D错误．
12．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P(A)＝
有一块边长为30 cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．
(1)在飞镖游戏板上画有半径为5 cm的一个圆(如图)，求飞镖落在圆内的概率；
解：∵半径为5 cm的圆的面积为π×52＝25π(cm2)，边长为30 cm的正方形ABCD的面积为302＝900(cm2)，
∴P(飞镖落在圆内)＝
(2)飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
解：如图所示．
由图可得当点O落在以AB为直径的半圆形内时，△OAB为钝角三角形．
∵S半圆形＝
∴P(△OAB为钝角三角形)＝
13．(2020·雅安)从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩(满分为120分)，制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分(含80分，不含90分)的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
(1)求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
解：∵成绩在80～90分(含80分，不含90分)的学生有3人，占抽查人数的15%，
∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20.
则成绩在100～110分的学生人数m＝20－(2＋3＋7＋3)＝5.
(2)在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
解：这名学生成绩为优秀的概率为
(3)若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．
解：估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300× ＝120.
14．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两条直角边长分别为a, b．斜边长为c.如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN.
(1)若Rt△ABC的两直角边长之比均为2∶3 .现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？
解：∵Rt△ABC的两直角边长之比均为2∶3，
∴设b＝2k , a＝3k.
由勾股定理得 a2＋b2＝c2，∴c＝ k.
∴针尖落在四个直角三角形区域的概率是
(2)若正方形EFMN的边长为8，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．
解：∵正方形EFMN的边长为8，即c＝8，
∵Rt△ABC的周长为18.
∴a＋b＋c＝18.
∴a＋b＝10.
∴Rt△ABC的面积为 ab＝ [(a＋b)2－(a2＋b2)]＝9.
15．(中考·百色)密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2，…，9.小黄同学是9月份中旬出生，用生日“月份＋日期”设置密码： 9××．
小张同学要破解其密码．
(1)第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是________．
1或2
(2)请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；
解：所有可能的密码是911，912，913，914，915，916，917，918，919，920，
其中能被3整除的有912，915，918.
∴密码数能被3整除的概率为 .
(3)小张同学是6月份出生，根据(1)(2)的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数．
[注：每个月的上旬是1号(用 01表示)到10号；中旬是11号到20号；下旬是21号到30号或31号]
【思路点拨】根据概率的定义，利用公式计算，注意列举时不要重复和遗漏．
解：∵小张同学是6月份出生，6月份只有30天，
∴第一个转轮设置的数字是6；第二个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第三个转轮设置的数字可能是0，1，2，…，9(第二个转轮设置的数字是0时，第三个转轮设置的数字不能是0；第二个转轮设置的数字是3时，第三个转轮设置的数字只能是0)．
∴9＋10＋10＋1＝30.
∴用小张生日设置的密码的所有可能个数为30.(也可以直接根据6月份只有30天，有30个不同的数，得出设置的密码的所有可能个数为30)(共15张PPT)
概率
25.1.2
第二十四章 圆
目标一 概率及其求法
1
2
3
4
5
6
7
8
D
答 案 呈 现
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习题链接
A
A
C
C
B
1
A
【2020·常德】下列说法正确的是( )
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
2
C
【2020·恩施州】“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．
小明任意选取一个，选到甜粽的概率是( )
3
D
【2020·金华】如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是( )
4
A
5
C
6
B
【点拨】本题易对概率的意义理解不透而致错，概率是一个常数，不会受重复试验结果的影响．
7
甲、乙两个不透明的袋子中有红、白两种仅颜色不同的小球．甲袋中，红球个数是白球个数的2倍，乙袋中红球个数是白球个数的3倍．
(1)随机从甲袋中摸出一个球，求摸出红球的概率；
(3)在(2)的基础上，将乙袋中的球全部倒入甲袋中后，随机从甲袋中摸出一个球，求摸出红球的概率．
【2020·雅安】从某校九年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩(满分为120分)，制成如图的统计直方图．已知成绩在80～90分(含80分，不含90分)的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
(1)求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
8
解：∵成绩在80～90分(含80分，不含90分)的学生有3人，占抽查人数的15%，
∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20(人)．
则成绩在100～110分的学生人数m＝20－(2＋3＋7＋3)＝5.
(2)在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩 为优秀的概率；
(3)若该校九年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校九年级数学成绩为优秀的人数．(共25张PPT)
25．1 随机事件与概率
第二十五章 概率初步
第1课时 随机事件
4
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答案显示
6
7
1
2
3
5
B
D
D
D
D
A
(4)；(3)(6)；(1)
8
D
提示：点击 进入习题
答案显示
10
11
12
9
见习题
13
见习题
见习题
见习题
C
1．【2019·武汉】不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是( )
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
B
2．【中考·沈阳】“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是( )
A．确定性事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．不确定性事件
D
3．【2019·长沙】下列事件中，是必然事件的是( )
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
D
4．【2018·襄阳】下列语句所描述的事件是随机事件的是( )
A．任意画一个四边形，其内角和为180°
B．经过任意两点画一条直线
C．任意画一个菱形，是中心对称图形
D．过平面内任意三点画一个圆
D
*5.【2019·广安】下列说法正确的是( )
A．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
D．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是1.5
【点拨】根据必然事件、抽样调查、众数、中位数以及方差的概念进行判断即可．
A
6．下列6个事件中：
(1)掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上．
(2)随意翻开一本400页的书，正好翻到第200页．
(3)天上下雨，地上潮湿．
(4)小明能长到10米高．
(5)买奖券中特等奖．
(6)掷一枚骰子(6个面上分别标有1，2，3，4，5，6)一次得到的点数小于8.
其中不可能事件为________________；必然事件为____________；随机事件中，发生可能性最大的是________(将序号填入题中的横线上)．
(4)
(3)(6)
(1)
7．下列说法中正确的是( )
A．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生
B．不可能事件在一次试验中也可能发生
C．可能性很小的事件在一次试验中一定会发生
D．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生
D
8．【2019·资阳】在一个布袋中装有红、白两种颜色的球，它们除颜色外没有任何其他区别，其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀，若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是( )
A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
D
9．在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是( )
A．李东夺冠的可能性较小
B．李东和他的对手比赛10局时，他一定赢8局
C．李东夺冠的可能性较大
D．李东肯定会赢
【点拨】本题易对随机事件发生的可能性大小理解不透彻而致错，李东夺冠的可能性是80%表示李东有可能夺冠，且夺冠的可能性较大．
【答案】C
10．把下列事件划分为两类，并说出划分标准．
①向空中抛一块石头，石头会飞向太空；
②甲、乙两名同学在进行羽毛球比赛，甲获胜；
③从一副扑克牌中随意抽取一张牌，这张牌正好是红桃；
④黑暗中从一大串钥匙中随意选中一把，并用它打开了大门；
⑤两个负数的商小于0；
⑥在你们班中，任意选出一名同学，该同学是男生；
⑦明天的太阳从西方升起．
解：按事件名称划分为不可能事件：①⑤⑦；随机事件：②③④⑥.按事件的确定性划分为确定性事件：①⑤⑦；不确定性事件：②③④⑥.
11．一个不透明的口袋里装有5个红球，3个白球，2个绿球，这些球的形状和大小完全相同，小明从中任意摸出一个球．
(1)你认为小明摸到的球很可能是什么颜色？为什么？
解：红色，因为红球最多．
(2)摸到三种颜色球的可能性一样吗？
(3)如果想让小明摸到红球和白球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案．
解：不一样．
【点拨】题答案不唯一，合理即可．
解：取2个红球出来，或放2个白球进去．
12．有A1，A2，A3三个舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形变化，其变化规律是：
一个舞蹈演员A1跳舞，面对观众作队形变化的情况有1种，即A1；
二个舞蹈演员A1，A2跳舞，面对观众作队形变化的情况有2种(1×2)，即A1A2，A2A1；
三个舞蹈演员A1，A2，A3跳舞，面对观众作队形变化的情况有6种(1×2×3)，即A1A2A3，A1A3A2，A2A1A3，A2A3A1，A3A1A2，A3A2A1.
请你猜测：
(1)四个舞蹈演员A1，A2，A3，A4跳舞，面对观众作队形变化的情况有几种？请你列出这四个舞蹈演员跳舞时演员A1和A2相邻的所有情况，并计算演员A1和A2相邻的可能性是多少？
【点拨】本题运用从特殊到一般的思想，先根据已知条件，推算前面较简单的几项，观察并猜想它们的变化规律，假设一个规律，代入后面的项进行验证，得出一般性的规律．
(2)n个舞蹈演员跳舞，面对观众作队形变化的情况有多少种？
【点拨】本题运用从特殊到一般的思想，先根据已知条件，推算前面较简单的几项，观察并猜想它们的变化规律，假设一个规律，代入后面的项进行验证，得出一般性的规律．
解：n个舞蹈演员跳舞，面对观众作队形变化的情况有1×2×3×…×n种．
13．某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校
2 000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查(每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目)，并将调查结果绘制成如下
两幅不完整的统
计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生共有________名，并补全条形统计图；
100
补全条形统计图如图所示．
(2)在扇形统计图中，m＝________，n＝________，表示区域C的圆心角是________；
(3)小明是被问卷调查的学生，那么他参加哪项活动的可能性最大？
30
解：由扇形统计图可知，参加跳绳的学生所占百分比最大，故小明参加跳绳的可能性最大．
10
144°(共15张PPT)
概率
25.1.2
第二十四章 圆
目标二 几何图形的概率
1
2
3
4
5
6
7
8
D
答 案 呈 现
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习题链接
A
B
A
B
③④
9
【2020·苏州】一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在灰色区域的概率是________．
1
2
A
3
D
正方形ABCD的边长为4，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为( )
4
A
5
B
【点拨】根据菱形的判定定理可推出平行四边形ABCD是菱形的有①③，故选B.
下列事件：①太阳绕着地球转；②小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯；③地球上海洋面积大于陆地面积；④将油滴入水中，油会浮在水面上．其中概率为1的事件是__________．
6
③④
7
【2020·天门】下列说法正确的是( )
A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择
抽样调查
B．方差是刻画数据波动程度的量
C．购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1
B
8
(2)飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角
形的概率．
9
在一个不透明袋中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
(1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随 机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A.
请完成下列表格：
【点拨】若事件A为必然事件，则袋中应全为黑球，∴m＝4.
若事件A为随机事件，则袋中有红球，
∵m＞1，∴m＝2或3.
4
2或3(共26张PPT)
25.3 用频率估计概率
第25章 概率初步
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
C
5
p
频率
6
7
8
9
0.9
A
见习题
10
B
B
见习题
B
11
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见习题
1．在大量重复试验下，随机事件A发生的频率 (这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定到某个常数p，于是我们用p表示事件A发生的概率，即P(A)＝________.
p
2．(2020·盘锦)为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1 000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm x<160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170 cm的概率是( )
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
C
3．(2020·营口)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1 000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是( )
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
B
*4.(2020·邵阳)如图①，平整的地面上有一个不规则的图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少？他采用了以下办法，用一个长为5 m、宽为4 m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(小球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )
A．6 m2 B．7 m2
C．8 m2 D．9 m2
【点拨】设不规则图案的面积为x m2.
由已知得，长方形的面积为20 m2，
∴小球落在不规则图案的概率为 .
由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35.
综上有 ＝0.35，解得x＝7.
【答案】B
5．求一个随机事件概率的基本方法可以是：通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的________去估计它的概率．
频率
6．(2020·新疆)表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
0.9
移植的棵数n 200 500 800 2 000 12 000
成活的棵数m 187 446 730 1 790 10 836
成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为______(精确到0.1)．
7．(2020·徐州)在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是( )
A．5 B．10
C．12 D．15
A
8．(中考·南通)在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值大约为( )
A．12 B．15
C．18 D．21
B
9．(2020·台州)某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表(数据分组包含左端值，不包含右端值)．
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
解：“直播”教学方式学生的参与度更高．
理由：“直播”教学方式学生的参与度在0.6及以上的人数为28人，“录播”教学方式学生的参与度在0.6及以上的人数为20人，参与度在0.6及以上的“直播”人数多于“录播”人数，
所以“直播”教学方式学生的参与度更高．
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一名学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
解：12÷40＝0.3.
故估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是0.3.
(3)该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1∶3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
10．(2020·泰州)一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1 000 1 600 2 000
摸到白球
的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球
的频率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是________(精确到0.01)．由此估计出红球有________个．
0.33
2
(2)现从该袋中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球、1个红球的概率.
解：画树状图如图所示．
由图可知，共有6种等可能的结果，
其中恰好摸到1个白球、1个红球的结果有4种，
所以从该袋中一次摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的概率为
11．(2019·天门)为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高(单位：cm)，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
(1)填空：样本容量为________，a＝________；
(2)把频数分布直方图补充完整；
解：补全频数分布直方图如图所示．
100
30
(3)若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160 cm的概率．
解：样本中身高低于160 cm的频率为 ＝0.45，所以从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160 cm的概率为0.45.(共26张PPT)
25．3 用频率估计概率
第二十五章 概率初步
4
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6
7
1
2
3
5
0.92
C
D
D
D
100
C
8
见习题
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10
9
见习题
见习题
1．为了保障人民群众的身体健康，在预防新型冠状病毒期间，有关部门对一批口罩进行质量抽检，结果如下：
从这批口罩中，任意抽取的一个口罩是优等品的概率的估计值是________．(精确到0.01)
0.92
2．【中考·宜昌】在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法来估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次，50次，100次，200次，其中试验相对科学的是( )
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
D
3．【2019·泰州】小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表：
若抛掷硬币的次数为1 000，则“正面朝上”的频数最接近( )
A．200 B．300 C．500 D．800
C
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
*4.【2019·绍兴】为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下：
根据以上结果，抽查该地区1名九年级男生，估计他的身高不低于180 cm的概率是( )
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
组别(cm) x<160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 5 38 42 15
【点拨】先计算出样本中身高不低于180 cm的频率，然后根据用频率估计概率求解．
【答案】D
5．【2018·永州】在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其他都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒子中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒子中，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是________．
100
6．【2019·襄阳】下列说法错误的是( )
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
C
*7.【2018·玉林】某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图，则符合这一结果的试验可能是( )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【点拨】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案．
【答案】D
错解：A
诊断：用频率估计概率时，要注意试验的次数越多，事件发生的频率就会越接近这个事件发生的概率，试验的次数太少易受偶然性因素影响，此时的频率不能用来估计概率．
正解：D
9．【2019·西藏】某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次研究中，一共调查了________名学生；若该校共有
1 500名学生，估计全校爱好运动的学生共有________名；
(2)补全条形统计图，并计算阅读部分的圆心角是________；
100
600
补全条形统计图如图所示．
108°
(3)在全校学生中随机选出1名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是________．
10．【2019·福建】某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2 000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修还需向维修人员支付工时费500元；
如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修需支付维修服务费5 000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表：
维修次数 8 9 10 11 12
频数(台数) 10 20 30 30 10
(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
(2)试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次还是11次维修服务？
解：购买10次时，
某台机器
使用期内
维修次数 8 9 10 11 12
该台机器
的维修费
用/元 24 000 24 500 25 000 30 000 35 000
购买11次时，
某台机器
使用期内
维修次数 8 9 10 11 12
该台机器
的维修费
用/元 26 000 26 500 27 000 27 500 32 500(共31张PPT)
25.2 用列举法求概率
第1课时 用枚举法和列表法求概率
第25章 概率初步
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1
2
3
4
C
5
有限；相等
A
6
7
8
9
两；多
B
C
10
C
A
A
D
11
12
13
见习题
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见习题
见习题
1．在一次试验中，如果可能出现的结果只有________个，且各种结果出现的可能性大小________，那么可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．
有限
相等
2．(2020·丹东)四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机地摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是( )
C
3．(2020·湘西州)从长度分别为1 cm，3 cm，5 cm，6 cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为( )
A
4．(2020·东营)如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯泡L1，L2同时发光的概率为( )
D
*5.(2020·长沙)一个不透明袋子中装有1个红球、2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是( )
A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球
C．第一次摸出的球是红球的概率是
D．两次摸出的球都是红球的概率是
【点拨】A.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项符合题意；
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球，故本选项不符合题意；
C．∵不透明袋子中装有1个红球、2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是 ，故本选项不符合题意；
D．共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球只有1种，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项不符合题意．
【答案】A
6．列表法求概率：当一次试验涉及______个因素，并且可能出现的结果数目较________时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法．
两
多
7．(2020·鸡西)现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是( )
B
8．(2020·北京)不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是( )
C
9．(2019·德州)甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张分别标有数 ， ，1的卡片，乙中有三张分别标有数1，2，3的卡片，卡片除所标数外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数记为a，从乙中任取一张卡片，将其数记为b.若a，b能使关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜，则乙获胜的概率为( )
C
*10.(中考·泰安)在－2，－1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则抛物线y＝(x－m)2＋n的顶点在坐标轴上的概率为( )
【点拨】列表如下：
由表格可知共有20种等可能的结果，其中顶点在坐标轴上的有8种，所以顶点在坐标轴上的概率为
【答案】A
11．(2020·广州)为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲、乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄(单位：岁)如下：
甲社区 67 68 73 75 76 78 80 82 83 84 85 85 90 92 95
乙社区 66 69 72 74 75 78 80 81 85 85 88 89 91 96 98
根据以上信息解答下列问题：
(1)求甲社区老人年龄的中位数和众数；
解：甲社区老人年龄的中位数是82岁；甲社区15名老人年龄出现次数最多的是85岁，因此众数是85岁．
解：年龄在70岁以下的4名老人，甲社区有2人，乙社区有2人．
从4人中任取2人，所有可能出现的结果如下表：
(2)现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．
共有12种等可能的结果，其中“来自同一个社区”的结果有4种，
所以P(来自同一个社区)＝
12．(2020·宜昌)宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A，B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点．两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图所示．
(1)若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门，请说明理由．
解：这个部门是C部门．
理由：因为
所以选中C部门的可能性大．
(2)设选中C部门游三峡大坝的概率为P1，选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概率为P2，请判断P1，P2的大小关系，并说明理由．
解：P1＝P2.理由如下：
列表表示所有可能出现的结果如下(将部门转盘平均分成4份，C部门占两份分别用C1，C2表示)：
A B C1 C2
三峡大坝(D) AD BD C1D C2D
清江画廊(E) AE BE C1E C2E
三峡人家(F) AF BF C1F C2F
共有12种等可能的结果，其中“C部门游三峡大坝”的结果有2种，“B部门游清江画廊或者三峡人家”的结果也有2种，
所以
因此，P1＝P2.
13．(2020·山西)2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压、城际高速铁路和城市轨道交通、5G基站建设、工业互联网、大数据中心、人工智能、新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域(5G基站建设、工业互联网、大数据中心、人工智能、新能源汽车充电桩)总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．
【思路点拨】先根据统计图读取信息，再利用列表法计算概率．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是________亿元．
300
(2)甲、乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么．
解：甲更关注在线职位的增长率，在“新基建”五大细分领域中，2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高；
乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在2020年预计投资规模最大．
(3)小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片(除编号和内容外，其余完全相同)，将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，请用列表法求抽到的两张卡片恰好是编号为W(5G基站建设)和R(人工智能)的概率．
解：列表如下：
由表可知，共有20种等可能的结果，其中抽到“W”和“R”的结果有2种，
所以抽到的两张卡片恰好是编号为W(5G基站建设)和R(人工智能)的概率为第二十五章达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列语句所描述的事件是随机事件的是( )
A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线
C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆
2．小明将6本书分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们送给6个好朋友．这些书中有3本小说，2本科普读物和1本英语小词典．小明的1个好朋友从6个礼盒中随机取1个，恰好取到小说的概率是( )
A. B. C. D.
3．如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘
1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
4．小明在做一道正确答案是2的计算题时，由于运算符号(“＋”“－”“×”或“÷”)被墨迹污染，看见的算式是“4■2”，那么小明还能做对的概率是( )
A. B. C. D.
5．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图，则符合这一结果的试验可能是( )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
6．从长度分别为1 cm，3 cm，5 cm，7 cm的四条线段中任取三条作为边，能构成三角形的概率为( )
A. B. C. D.
7．义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名这两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( )
A. B. C. D.
8．如图，“五一”期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入，从C或D出口离开的概率是( )
A. B. C. D.
9．如图，在一个长方形内有对角线长分别为2和3的菱形、边长为1的正六边形和半径为1的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是( )
A．落在菱形内 B．落在圆内 C．落在正六边形内 D．一样大
10．同时抛掷A，B两个均匀的小正方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设两个正方体朝上一面的数字分别为x，y，并以此确定点P(x，y)，那么点P满足在抛物线y＝－x2＋3x上的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共30分)
11．用“必然事件”“不可能事件”“随机事件”填空：
(1)明天要下雨．________；(2)小明身高3.5 m．________；(3)两直线平行，同位角相等．________．
12．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是________．
13．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其他都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒子中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒子中，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是________．
14．在四边形ABCD中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC.在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是________．
15．已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形．现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则＝________．
16．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
黑棋子数量/枚 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3
根据以上数据，估算袋子中的白棋子数量为________枚．
17．如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是________．
18．点P的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P(a，b)在平面直角坐标系中的第二象限内的概率是________．
19．一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是________．
20．从－1，0，1，2这四个数中随机选取一个数，记为a，那么使一次函数y＝2x＋a的图象与x轴，y轴围成的三角形面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为________．
三、解答题(21题10分，22～24题每题12分，25题14分，共60分)
21．在一次大规模的统计中发现英文文献中字母E使用的频率在0.105附近，而字母J使用的频率大约为0.001，如果这次统计是可信的，那么下列说法正确吗？试说明理由 .
(1)在英文文献中字母E出现的概率在10.5%左右，字母J出现的概率在0.1%左右；
(2)如果再去统计一篇约含200个字母的英文文献，那么字母E出现的概率一定会非常接近10.5%.
22．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球、8个黑球、7个红球．
(1)求从袋中摸出1个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出1个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
23．“端午节”是我国的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动．为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
(1)用列表法或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况．
(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
24．某市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温(单位：℃)，整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)该市5月1日至8日中午12时气温的平均数是________℃，中位数是________℃；
(2)求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
(3)现从该市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20 ℃的概率．
25．从一副52张(没有大王、小王)的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下表中部分数据：
(1)将上表补充完整．
(2)从上表中可以估计出现方块的概率是________(精确到0.01)．
(3)从这副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，若摸出的两张牌的牌面数字之和等于3，则甲方赢；若摸出的两张牌的牌面数字之和等于4，则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？请你用概率知识(列表法或画树状图法)加以分析说明．
答案
一、1.D 2.B 3.D 4.D 5.D 6.C
7．B 8.B 9.B
10．A 【点拨】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
共有36种等可能的情况，点P(x，y)在抛物线y＝－x2＋3x上的情况有(1，2)，(2，2)，共2种．
∴点P在抛物线y＝－x2＋3x上的概率为＝.故选A.
二、11.(1)随机事件 (2)不可能事件
(3)必然事件
12. 13.100 14.
15. 【点拨】设⊙O的半径为1，则AD＝，故S⊙O＝π，阴影部分的面积为π××2＋×－π＝2，则P1＝，P2＝，故＝.
16．40 【点拨】估计摸出黑棋子的概率为＝，棋子总数为10÷＝50(枚)．
所以白棋子的数量＝50－10＝40(枚)．
17. 18. 19.
20. 【点拨】∵一次函数y＝2x＋a的图象与x轴，y轴分别交于点，(0，a)，∴一次函数y＝2x＋a的图象与x轴，y轴围成的三角形的面积为×|a|＝，∴＝，解得a＝±1.当a＝1时，不等式组的解集为－1≤x≤－1，即x＝－1，∴该不等式组有解．当a＝－1时，不等式组无解，∴当a＝1时，符合要求，故所求概率为.
三、21.解：(1)正确，理由：当试验次数很大时可以用频率估计概率．
(2)不正确，理由：当试验次数不够大时，频率不一定接近概率．
22．解：(1)从袋中摸出1个球是黄球的概率为＝.
(2)设取出x个黑球，由题意得＝，解得x＝2.经检验x＝2是方程的解且符合题意，即从袋中取出黑球的个数为2.
23．解：(1)用列表法得出所有可能的结果如下：
乙甲 石头 剪刀 布
石头 (石头，石头) (石头，剪刀) (石头，布)
剪刀 (剪刀，石头) (剪刀，剪刀) (剪刀，布)
布 (布，石头) (布，剪刀) (布，布)
或用画树状图法得出所有可能的结果如图：
(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平，
理由如下：由(1)知P(甲获胜)＝＝，P(乙获胜)＝＝.
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)．
∴裁判员的这种做法对甲、乙双方公平．
24．解：(1)21；21.5
(2)因为低于20 ℃的天数有3天，所以扇形统计图中扇形A的圆心角的度数为360°×＝135°.
(3)将该市5月1日至5日的5天中午12时的气温依次记为A1，A2，A3，A4，A5，
随机抽取2天中午12时的气温，共有(A1A2)，(A1A3)，(A1A4)，(A1A5)，(A2A3)，(A2A4)，(A2A5)，(A3A4)，(A3A5)，(A4A5)10种不同的取法，
其中抽到2天中午12时的气温均低于20 ℃的有(A1A2)，(A1A4)，(A2A4)3种不同的取法，
因此恰好抽到2天中午12时的气温均低于20 ℃的概率为.
25．解：(1)30；0.250
(2)0.25
(3)列表如下：
所有等可能的结果有9种，其中甲方赢的结果有2种，乙方赢的结果有3种，∴P(甲方赢)＝，
P(乙方赢)＝＝，
∴P(乙方赢)＞P(甲方赢)．
∴这个游戏对双方是不公平的，有利于乙方．
1(共15张PPT)
用树状图法求概率
25.2.2
第二十四章 圆
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答 案 呈 现
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【2020·镇江】智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“ ”有刚毅的含义，符号“ ”有愉快的含义．符号中的“ ”表示“阴”，“ ”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
(1)所有这些三行符号共有________种；
8
(2)若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
【2020·通辽】甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7.从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图法求：
(1)取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
6
(2)取出的3个小球上全是奇数的概率．
7
【2020·盐城】生活在数字时代的我们，很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
(1)用画树状图的方法，求图③可表示不同信息的总个数．(图中标号1，2表示两个不同位置的小方格，下同)
解：画树状图如图所示．
共有4种等可能的结果，
∴题图③可表示不同信息的总个数为4.
(2)图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为________．
16
(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共有492人，则n的最小值为________．
3
【点拨】由题图②得：当n＝1时，21＝2；
由题图④得：当n＝2时，22×22＝16；
∴当n＝3时，23×23×23＝512.
∵16<492<512，∴n的最小值为3.(共18张PPT)
用概率判断游戏规则的公平性
25.2.3
第二十四章 圆
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答 案 呈 现
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【2020·德阳】为了加强学生垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.及格；D.不及格．根据
调查统计结果，绘制了如下
所示的不完整的统计表．
请结合统计表，回答下列问题：
(1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值．
解：本次参与调查的学生人数为20÷5%＝400(人)，
m＝400×45%＝180.
∵400－20－60－180＝140，
∴n＝140÷400×100%＝35%.
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5 600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数．
(3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用画树状图法或列表法说明这个游戏规则是否公平．
2
【2019·黄石】将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片(注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为n，组成一数对(m，n)．
(1)请写出(m，n)所有可能出现的结果．
解：(m，n)所有可能出现的结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)．
(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
3
【2020·昆明】如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果．
解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有9种不同结果，即(2，1)，(2，3)，(2，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(6，1)，(6，3)，(6，5)．
(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
解：列出得到的两数字之和的所有可能的结果如下：
4
【2020·赤峰】如图①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图②，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈，丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面的数字是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得的数字为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；
若第二次掷得的数字为4，就从圈C继续逆
时针连续跳4个边长，落到圈A.
(1)丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为________．
(2)丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．(共14张PPT)
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第25章 概率初步
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见习题
见习题
1．(2020·沈阳)下列事件中，是必然事件的是( )
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
A
2．(2019·武汉)不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是( )
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
B
3．(2020·苏州)一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是________．
4．(2020·徐州)小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀)．
(1)小红的爸爸被分到B组的概率是________；
(2)某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少(请用画树状图或列表的方法写出分析过程)
解：(选取方法不唯一)用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
小红爸爸
王老师 A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
C (A，C) (B，C) (C，C)
共有9种等可能出现的结果，其中他和小红爸爸被分到同一组的有3种结果，
所以P(他和小红爸爸被分到同一组)＝
5．(2019·绍兴)为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下：
D
组别/cm x<160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 5 38 42 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180 cm的概率是( )
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
6．一个均匀的正方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图如图所示，抛掷这个正方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面的数字的2倍的概率是( )
C
7．一个口袋中放有红球、白球和黑球若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别，已知红球比黑球多1个，比白球少3个．
(1)小王通过大量重复试验(每次取1个球，放回搅匀后再取第2个)发现，取出黑球的频率稳定在 左右，请你估计口袋中黑球的个数；
解：设口袋中红球有x个，则黑球有(x－1)个，白球有(x＋3)个，共有球x＋(x－1)＋(x＋3)＝3x＋2(个)．
根据题意，得 ，解得x＝6.经检验，x＝6是原方程的解且符合题意．
所以x－1＝5.
所以估计口袋中有5个黑球．
(2)若小王取出的第1个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从口袋中余下的球中再任意取出1个球，取出红球的概率是多少？
解：6＋5＋6＋3＝20(个)．
口袋中共有20个球，小王取出第1个球后不放回，还剩下19个球，红球仍是6个，所以小王从口袋中余下的球中再任意取出1个球是红球的概率是 .(共19张PPT)
阶段核心归类专训
概率与其他知识的综合应用类型
第二十五章 概率初步
4
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见习题
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见习题
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1．【2019·甘肃】在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙口袋中任意摸出一个小球，记下数字为n.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果；
解：画树状图如图所示：
(2)若m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
2．【2018·扬州】4张相同的卡片上分别写有数－1，－3，4，6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
(1)从中任意抽取1张，抽到的数是奇数的概率是________；
(2)从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数记作一次函数y＝kx＋b中的k；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数记作一次函数y＝kx＋b中的b.利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．
解：画树状图如图：
3．【2019·孝感】一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数－2，－1，0，1，它们除了数不同外，其他完全相同．
(1)随机从袋子中摸出一个小球，
摸出的小球上面标的数为正
数的概率是________．
(2)小聪从袋子中随机摸出一个小球，记下数作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数作为点M的纵坐标，如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，C(1，0)，D(0，1)，请用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD内(含边界)的概率．
解：列表如下：
－2 －1 0 1
－2 (－2，－2) (－1，－2) (0，－2) (1，－2)
－1 (－2，－1) (－1，－1) (0，－1) (1，－1)
0 (－2，0) (－1，0) (0，0) (1，0)
1 (－2，1) (－1，1) (0，1) (1，1)
4．【2019·黄冈】某校开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查(每人必选且只能选一类)，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
(1)本次随机调查了多少名学生？
(2)补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
解：30÷15%＝200(名)．答：本次随机调查了200名学生．
补全条形统计图如图．
(3)若该校共有1 200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
(4)学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树状图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．(书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示)
解：列表得：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC (共28张PPT)
25．1 随机事件与概率
第二十五章 概率初步
第2课时 概 率
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(1)1(2)0
(3)0＜P(A)＜1
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1．【中考·佛山】掷一枚有正反面的均匀硬币，正确的说法是( )
A．正面一定朝上
B．反面一定朝上
C．正面朝上比反面朝上的概率大
D．正面朝上和反面朝上的概率都是0.5
【点拨】本事件是随机事件，正面朝上和反面朝上的概率都为0.5，故选D.
D
2．【2019·天门】下列说法正确的是( )
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为s2甲＝3，s2乙＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
C
3．【2019·沈阳】下列说法正确的是( )
A．若甲、乙两组数据的平均数相同，s2甲＝0.1，
s2乙＝0.04，则乙组数据较稳定
B．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨
C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D．早上的太阳从西方升起是必然事件
A
4．(1)必然事件A的概率：P(A)＝________.
(2)不可能事件A的概率：P(A)＝________.
(3)随机事件A的概率P(A)的取值范围：__________.
1
0
0＜P(A)＜1
5．【中考·百色】必然事件的概率是( )
A．－1 B．0 C．0.5 D．1
【点拨】必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0且小于1.故选D.
D
A
A
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C
D
【点拨】根据菱形的判定定理可推出平行四边形ABCD是菱形的有①③，故选B.
【答案】B
12．【2018·南充】下列说法正确的是( )
A．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查
B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件
C．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨
D．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1
【点拨】本题易对概率的含义理解不透彻而致错，明天的降水概率为95%意味着明天有可能会下雨，只是可能性比较大而已．
【答案】A
13．甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5，0.1，0.9，它们各与下面的哪句话相配？
(1)发生的可能性很大，但不一定发生；
(2)发生的可能性很小；
(3)发生与不发生的可能性一样．
解：发生的可能性很大，但不一定发生，0.9.
发生的可能性很小，0.1.
发生与不发生的可能性一样，0.5.
14．【2018·百色】密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2，…，9.小黄同学是9月份中旬出生，用生日“月份＋日期”设置密码：9××.小张同学要破解其密码：
(1)第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是________．
1或2
(2)请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；
(3)小张同学是6月份出生，根据(1)(2)的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数．
解：小张同学是6月份出生，6月份只有30天，
∴第一个转轮设置的数字是6，第二个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第三个转轮设置的数字可能是0，1，2，…，9(第二个转轮设置的数字是0时，第三个转轮设置的数字不能是0；第二个转轮设置的数字是3时，第三个转轮设置的数字只能是0)．
∴9＋10＋10＋1＝30，
∴用小张生日设置的密码的所有可能个数为30(也可以直接根据6月份只有30天，有30个不同的数，得出设置的密码的所有可能个数为30)．
15．【2019·吉林】如图，甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．
16．【2019·泸州】某市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温(单位：℃)，整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)该市5月1日至8日中午12时气温的平均数是________℃，中位数是________℃；
21
21.5
(2)求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
(3)现从该市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20 ℃的概率．(共31张PPT)
25．2 用列举法求概率
第二十五章 概率初步
第1课时 用列表法求概率
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见习题
见习题
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见习题
1．【2019·娄底】如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是________．
【答案】D
A
4．【2019·重庆】一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是________．
D
A
C
【答案】C
A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
C (A，C) (B，C) (C，C)
【点拨】共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，满足a2＋b2＞19的有4种结果，故选D.
D
B
12．【2019·宁夏】为了创建文明城市，增强学生的环保意识，随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．
(1)求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
(2)为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
解：列表如下：
A C F G
A CA FA GA
C AC FC GC
F AF CF GF
G AG CG FG
13．【2019·徐州】如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均标有数字，分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
(1)请将所有可能出现的结果填入下表：
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(2)积为9的概率为________；积为偶数的概率为________；
(3)从1～12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是(1)中所填数的概率为________．
14．【2019·广元】如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：a.白开水，b.瓶装矿泉水，c.碳酸饮料，d.非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题．
(1)这个班级有多少名同学？并补全条形统计图．
解：这个班级有15÷30%＝50(名)同学．
补全条形统计图如图．
(2)若该班同学每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶，价格如下表)，则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
(3)为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部(其中有2名班长记为A，B，其余3名记为C，D，E)中随机抽取2名班委干部担任良好习惯监督员，求出恰好抽到2名班长的概率．(共17张PPT)
全章热门考点整合应用
第二十五章 概率初步
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C
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见习题
见习题
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见习题
1．【2018·包头】下列事件中，属于不可能事件的是( )
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
C
2．【2018·长沙】下列说法正确的是( )
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说：“明天的降水概率为40%”，表明明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
C
B
4．【2019·南京】某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每名学生选择两天参加活动．
(1)甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
解：画树状图如图所示：
(2)乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是________．
5．小军和小刚两名同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下表：
朝上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 7 9 6 8 20 10
(1)计算2点朝上的频率和5点朝上的频率；
(3)小刚说：“如果掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小刚的这一说法正确吗？为什么？
解：小刚的说法不正确，因为随机事件的发生具有随机性，所以出现6点朝上的次数不一定是100次．
【答案】C
7．一个口袋中放有红球、白球和黑球若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别，已知红球比黑球多1个，比白球少3个．
(1)小王通过大量重复试验(每次取1个球，放回搅匀后再取第二个)发现，取出黑球的频率稳定在 左右，请你估计口袋中黑球的个数；
(2)若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从口袋中余下的球中再任意取出1个球，取出红球的概率是多少？(共29张PPT)
素质品鉴
概率及其应用
集训课堂
第二十四章 圆
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答 案 呈 现
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【2019·长沙】下列事件中，是必然事件的是( )
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
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2
C
【2019·泰州】小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表：
若抛掷硬币的次数为1 000，则“正面朝上”的频数最接近( )
A．200 B．300 C．500 D．800
3
C
【2020·泰州】如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
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A
【2020·鸡西】现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是( )
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B
【中考·孝感】下列说法正确的是( )
A．了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查
B．甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，s2甲>s2乙，则甲的成绩比乙稳定
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从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”，其中发生的可能性最大的事件是________(填序号)．
②
10
【2020·广西北部湾经济区】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是________(结果保留小数点后一位)．
0.8
11
某市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进、E口出的概率是________．
12
【中考·贵阳】袋子中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋子中红球约有________个．
3
13
如图，在圆形靶中，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD，且∠BAC＝30°，则射击到靶中阴影部分的概率是________．
14
有七张正面分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的卡片，它们除了数不同外其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数为a，则使关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a(a－3)＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的函数y＝x2－(a2＋1)x－a＋2的图象不经过点(1，0)的概率是________．
15
(10分)一个不透明的口袋里装有5个红球，3个白球，2个绿球，这些球的形状和大小完全相同，小明从中任意摸出一个球．
(1)你认为小明摸到的球很可能是什么颜色？为什么？
解：红色，因为红球最多．
(2)摸到三种颜色球的可能性一样吗？
解：不一样．
(3)如果想让小明摸到红球和白球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案．
【点拨】答案不唯一，合理即可．
解：取2个红球出来，或放2个相同的白球进去．
16
(10分)【2020·江西】某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
(1)若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为________；
(2)若随机抽取两名同学，请用列表法或画树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
17
(12分)【2020·青岛】小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮
去观看．这个游戏对双方公平吗？
请说明理由．
18
(14分)小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用(使用“求助”可让主持人去掉其中一道题的一个错误选项)．
(1)如果小明第一道题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？
(2)如果小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图法或列表法求小明能顺利过关的概率．
解：分别用A，B，C表示第一道题的3个选项，a，b，c表示第二道题剩下的3个选项．画树状图如下：
(3)请你从概率的角度分析，建议小明在第几道题使用”求助”才能使他过关的概率更大．(共20张PPT)
用频率估计概率
25.3
第二十四章 圆
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A
答 案 呈 现
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B
0.9；4.7
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【2020·营口】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是( )
A．0.90 B．0.82
C．0.85 D．0.84
B
【2020·邵阳】如图①所示，平整的地面上有一个不规则的图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采用了以下办法：用一个长为5 m，宽为4 m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )
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B
A．6 m2 B．7 m2
C．8 m2 D．9 m2
【2020·徐州】在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是( )
A．5 B．10
C．12 D．15
3
A
【2020·新疆】表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
4
0.9
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为______．(精确到0.1)
【2020·呼和浩特】公司以3元/kg的成本价购进10 000 kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12 000元利润，在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，下面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为________(精确到0.1)；从而可大约估计每千克柑橘的实际售价为________元时(精确到0.1)，可获得12 000元利润．
5
0.9
4.7
下列说法合理的是( )
A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B．掷一枚普通的正六面体骰子，出现6点朝上的概率
是的意思是每掷6次就有1次掷得6点朝上
C．某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖
D．在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51
6
D
错解：A
诊断：用频率估计概率时，要注意试验的次数越多，事件发生的频率就会越接近这个事件发生的概率，试验的次数太少易受偶然性因素影响，此时的频率不能用来估计概率．
7
【2020·泰州】一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是________(精确到0.01)，由此估计出红球有________个；
(2)现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球、1个红球的概率．
0.33
2
【2020·台州】某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表(数据分组包含左端值，不包含右端值)．
8
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
解：“直播”教学方式学生的参与度更高．
理由：“直播”参与度在0.6及以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6及以上的人数为20人，参与度在0.6及以上的“直播”人数多于“录播”人数，
所以“直播”教学方式学生的参与度更高．
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一名学生，估计该
学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
解：12÷40＝0.3＝30%.
故估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%.
(3)该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？(共19张PPT)
25.2 用列举法求概率
第3课时 利用概率判断游戏规则的公平性
第25章 概率初步
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见习题
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见习题
1．(2020·德阳)为了加强学生垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.及格；D.不及格．根据调查统计结果，绘制了如下不完整的统计表．请结合统计表，回答下列问题：
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级 百分比 人数
A.优秀 5% 20
B.良好 60
C.及格 45% m
D.不及格 n
(1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值．
解：本次参与调查的学生人数为20÷5%＝400(人)，m＝400×45%＝180.
∵400－20－60－180＝140(人)，
∴n＝140÷400×100%＝35%.
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5 600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数．
解： 5 600 × ＝1 120(人)，
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1 120人．
(3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用画树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
解：画树状图如图所示．
共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴P(小明参加)＝
∴这个游戏规则不公平．
2．(2019·通辽)如图，有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是________．
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则如下：先由小明随机摸出一张，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图)说明理由(纸牌用A，B，C，D表示)．若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
解：游戏不公平．理由如下：
列表如下：
A B C D
A (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C)
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即(A，C)，(C，A)，
∴P(两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)＝
∴游戏不公平．
修改规则如下：若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形(或若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形)，则小明获胜，否则小亮获胜．
3．(2020·青岛)小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平
吗？请说明理由．
解：这个游戏公平．理由如下：
列表表示所有可能出现的结果如下：
共有6种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有3种，配不成紫色的有3种，
∴
∴这个游戏公平．
4．(2020·赤峰)如图①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图②，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈，丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；
若第二次掷得点数为4，就从圈C
继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A.
(1)丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为________．
(2)丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．
解：这个游戏规则不公平．理由如下：
画树状图如图所示．
共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果有5种，
所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率为 .
因为
所以这个游戏规则不公平．(共17张PPT)
25．2 用列举法求概率
第二十五章 概率初步
第3课时 利用概率判断
游戏规则的公平性
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．【2019·云南】甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其他差异)，从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x，y表示．若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜．
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
解：画树状图如图所示：
共有16种等可能的结果．
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
2．【2019·黄石】将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片(注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为n，组成一数对(m，n)．
(1)请写出(m，n)所有可能出现的结果；
解：(m，n)所有可能出现的结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)．
(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
3．如图，可以自由转动的转盘被3等分，指针指向每个扇形内的机会均等．
(1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为________；
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
4．五一假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
(1)若去D地的车票数量占全部车票的10%，请求出去D地车票的数量，并补全统计图；
解：设去D地的车票有x张，
则x＝(x＋20＋40＋30)×10%，
解得x＝10，即去D地的车票
有10张，补全统计图如图所示．
(2)在(1)的前提下，若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？
(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定这张车票的归属，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李．试用列表法或树状图法分析这个规则公平吗？
列表如下：
小李
小王 1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)(共12张PPT)
阶段方法专训 概率应用的四种求法
第25章 概率初步
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见习题
见习题
见习题
0.8
1．(2019·吉林)如图，甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．
解：由题易知共有4种等可能的结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，
故取出的扇子和手绢都是红色的概率为 .
2．(2020·吉林)“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状
图或列表的方法，求小吉同学抽
出的两张卡片中含有A卡片的概率．
解：(选取方法不唯一)根据题意列表如下：
第一张
第二张 A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
C (A，C) (B，C) (C，C)
共有9种等可能的结果，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的结果有5种，
所以小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为 .
3．(2020·通辽)甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7.从三个口袋中各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：
(1)取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
解：(选取方法不唯一)画树状图如图所示．
共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果有5种，
所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率为 .
(2)取出的3个小球上全是奇数的概率．
解：由树状图可知，取出的3个小球上全是奇数的结果有2种，
所以取出的3个小球上全是奇数的概率为
4．(2020·广西北部湾经济区)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是________(结果保留小数点后一位)．
0.8(共27张PPT)
25.2 用列举法求概率
第2课时 用画树状图法求概率
第25章 概率初步
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见习题
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C
见习题
C
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见习题
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见习题
1．同时掷两枚质地均匀的硬币一次，两枚硬币都是正面朝上的概率是( )
D
2．(2020·临沂)从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是( )
C
3．(2020·新疆)四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为( )
C
*4.(2019·武汉)从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数解的概率为( )
C
*5.(中考·威海)甲、乙两人用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是( )
【答案】C
【点拨】如图，共有9种等可能的结果，数字之和为偶数的情况有5种，因此甲获胜的概率为 .
6．(2020·绍兴)如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是( )
C
7．(中考·荆门)在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球(记为第一次传球)，则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是( )
B
(1)所有这些三行符号共有________种；
(2)若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
8
解：根据题意画图如下：
共有8种等可能的结果，其中一个阴、两个阳的结果有3种，则“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是 .
9．(2020·攀枝花)刘雨泽和黎昕两名同学玩抽数字游戏．五张卡片上分别写有2，4，6，8，x这五个数字，其中两张卡片上的数字是相同的，从中随机抽出一张，已知P(抽到数字4的卡片)＝ .
(1)求这五张卡片上的数字的众数．
解：∵2，4，6，8，x这五个数字中，P(抽到数字4的卡片)＝ ，
∴数字4的卡片有两张，即x＝4.
∴这五个数字分别为2，4，4，6，8. ∴众数为4.
(2)若刘雨泽已抽走一张数字2的卡片，黎昕准备从剩余四张卡片中抽出一张．
①所剩的四张卡片上数字的中位数与原来五张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由．
解：不同．理由如下：
原来五个数字的中位数为4.
抽走数字2后，剩余数字为4，4，6，8，
则中位数为 ＝5.
∴前后两次的中位数不同．
②黎昕先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出一张，用列表法(或画树状图法)求黎昕两次都抽到数字4的概率．
解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中两次都抽到数字4的结果有4种，
∴黎昕两次都抽到数字4的概率为
10．(2020·锦州)A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
(1)从A盒里抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是________；
(2)从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．
解：画树状图如图所示．
共有9种等可能的结果，抽到的两张
卡片上标有的数字之和大于7的结果有3种，
所以抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率为
11．(2020·盐城)生活在数字时代的我们，很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
(1)用画树状图或列表的方法，求图③可表示不同信息的总个数(图中标号1，2表示两个不同位置的小方格，下同)．
解：画树状图如图所示．
共有4种等可能的结果，
∴题图③可表示不同信息的总个数为4.
(2)如图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为________．
【点拨】画树状图如图所示．
共有16种等可能的结果．
16
【点拨】由题图②得：当n＝1时，21＝2；
由题图④得：当n＝2时，22×22＝16，
∴当n＝3时，23×23×23＝512.
∵16<492<512，
∴n的最小值为3.
(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共有492人，则n的最小值为________．
3
12．(2019·江西)为庆祝新中国成立70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》(分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲)．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是________．
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率．
【思路点拨】画树状图列举出所有可能结果．
解：画树状图如图所示．
共有9种等可能的结果，八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率为(共23张PPT)
25.1 随机事件与概率
第1课时 随机事件
第25章 概率初步
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必然；不可能；随机；确定性
C
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有大小的；大小可能不同
D
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D
B
B
D
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见习题
14
见习题
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见习题
见习题
1．在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为________事件；有些事件必然不会发生，这样的事件称为________事件；有些事件可能发生，也可能不发生，这样的事件称为________事件．必然事件和不可能事件统称__________事件．
必然
不可能
随机
确定性
2．(2020·武汉)两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( )
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
B
3．(2019·广西北部湾经济区)下列事件为必然事件的是( )
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B
4．(2020·泰州)如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
B
5．(2020·通辽)下列事件中，是不可能事件的是( )
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖
C．水中捞月 D．百步穿杨
C
6．(2019·孝感)下列说法错误的是( )
A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件
B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大
D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式
C
7．一般地，随机事件发生的可能性是________________，
不同的随机事件发生的可能性_____________________．
有大小的
大小可能不同
8．(2020·安顺)下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是( )
D
9．(2019·资阳)在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别，其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是( )
A．4个 B．5个
C．不足4个 D．6个或6个以上
D
*10.投一个均匀的正六面体骰子(6个面上分别刻有1个点、2个点、…、6个点)，有下列说法：
①朝上一面的点数是奇数；②朝上一面的点数是整数；
③朝上一面的点数是3的倍数；
④朝上一面的点数是5的倍数．
将上述事件按可能性大小，从小到大排列为( )
A．①②③④ B．②①③④
C．④①③② D．④③①②
【点拨】因为正六面体骰子6个面上分别刻有1个点、2个点、…、6个点，所以朝上一面的点数是奇数的可能性是 ，朝上一面的点数是整数的可能性是1，朝上一面的点数是3的倍数的可能性是 ，朝上一面的点数是5的倍数的可能性是.所以按可能性大小，从小到大排列为④③①②.
【答案】D
11．已知关于x的二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a，设事件A：“x<0时，y随x的增大而减小”，事件B：“二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴有两个交点”．
(1)小聪说A是必然事件，请你说明其中的道理；
解：∵y＝3x2－12x＋12＋2a＝3(x－2)2＋2a，且3>0，
∴当x<2时，y随x的增大而减小．
∵x<0是x<2的一部分，
∴x<0时，y随x的增大而减小，即A是必然事件．
解： ∵(－12)2－4×3×(12＋2a)＝－24a，
∴当a>0时，－24a<0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴没有交点；
当a＝0时，－24a＝0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴只有一个交点；
当a<0时，－24a>0，此时二次函数y＝3x2－12x＋12＋2a的图象与x轴有两个交点，故B是随机事件．
(2)小明说B是随机事件，请你说明其中的道理．
12．(2020·南通)某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求(如图)．
请用所学概率知识解决下列问题：
(1)写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果．
解：所有可能结果如下：甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲，共6种．
(2)两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
解：一样大．理由如下：
由(1)可知张先生坐到甲车有两种可能：乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是
由(1)可知李先生坐到甲车有两种可能：甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是
所以两人坐到甲车的可能性一样大．
13．某次足球比赛分成8个小组，每个小组4个队，小组进行单循环比赛(每个队都与该小组的其他队比赛一场)，选出2个队进入16强．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．请问：
(1)每个小组共比赛多少场？
解：每个小组共比赛6场．
解：该队出线这一事件是随机事件．
(2)在小组比赛中，有一队比赛结束后积分为6分，该队出线这一事件是一个确定性事件还是一个随机事件？
14．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000 m的学校上学．一天，小明以80 m/min的速度出发去学校.5 min后，小明的爸爸发现小明忘了带数学书，于是，爸爸立即以100 m/min的速度去追赶小明，结果在途中追上了小明．试探究这个事件是什么事件？
【思路点拨】先列出方程求出爸爸追上小明所需要的时间，然后根据三种事件的定义进行判断．
解：是不可能事件．理由如下：
设小明的爸爸用x min追上小明．
根据题意，得80(x＋5)＝100x，解得x＝20.
此时80(x＋5)＝80×(20＋5)＝2 000>1 000，
说明这时小明已经到学校了，
故小明的爸爸没有在途中追上小明．
所以这个事件是不可能事件．(共17张PPT)
素养训练
概率与其他知识的综合应用类型
集训课堂
第二十四章 圆
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答 案 呈 现
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【2020·葫芦岛】某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有________人；
(2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
60
(3)通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
2
【中考·扬州】四张相同的卡片上分别写有数－1，－3，4，6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
(1)从中任意抽取一张，抽到的数是奇数的概率是______．
(2)从中任意抽取一张，并将所取卡片上的数记作一次函数y＝kx＋b中的k；再从余下的卡片中任意抽取一张，并将所取卡片上的数记作一次函数y＝kx＋b中的b.利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．
3
【2019·孝感】一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数－2，－1，0，1，它们除了数不同外，其他完全相同．
(1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的小球上面标的数为正数的概率是________．
(2)小聪从袋子中随机摸出一个小球，记下数作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数作为点M的纵坐标，如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，C(1，0)，D(0，1)，请用画树状图法或列表法，求点M落在四边形ABCD内(含边界)的概率．
4
【2019·甘肃】在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙口袋中任意摸出一个小球，记下数字为n.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果．
解：画树状图如图所示：
(2)若m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
解：∵m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解，
∴m＝2，n＝3或m＝3，n＝2.
由树状图得：共有12种等可能的结果，m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解的结果有2种，(共13张PPT)
用列表法求概率
25.2.1
第二十四章 圆
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C
答 案 呈 现
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C
A
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A
【2020·长沙】一个不透明袋子中装有1个红球、2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是( )
A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球
2
A
【2020·牡丹江】在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为( )
3
C
【2020·北京】不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是( )
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C
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D
【点拨】共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，满足a2＋b2＞19的有4种结果，故选D.
有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是________．
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【点拨】本题是不放回试验，不可能抽到两张数字相同的卡片，所列表格里要排除掉数字相同的情况．
7
【2020·吉林】“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中
含有A卡片的概率．
【2020·丹东】在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
(1)从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概 率是________；
8
(2)若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用
列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的
概率．(共15张PPT)
全章热门考点整合应用
第二十五章 概率初步
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答 案 呈 现
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A
C
C
C
1
【中考·包头】下列事件中，属于不可能事件的是( )
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
C
2
【2019·广安】下列说法正确的是( )
A．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
D．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是1.5
A
3
【2020·黄冈】为了解学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每名学生从“优秀”“良好”“一般”“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共抽查了________人；
200
(2)将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数；
解：“不合格”的学生人数为200－40－80－60＝20(人)．
将条形统计图补充完整，
如图所示．
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
4
【2020·盘锦】为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1 000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170 cm的概率是( )
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
C
5
一个均匀的正方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图如图，抛掷这个正方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面的数字的2倍的概率是( )
C
6
一个口袋中放有红球、白球和黑球若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别，已知红球比黑球多1个，比白球少3个．
(1)小王通过大量重复试验(每次取一个球，放回搅匀
后再取第二个)发现，取出黑球的频率稳定在 左
右，请你估计口袋中黑球的个数．
(2)若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上， 闭上眼睛从口袋中余下的球中再任意取出一个球，取出红球的概率是多少？(共32张PPT)
25．2 用列举法求概率
第二十五章 概率初步
第2课时 用树状图法求概率
4
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D
D
B
见习题
A
D
D
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见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
D
A
【点拨】共有36种等可能的结果，其中使a2－4b≥0的有19种，故选D.
D
B
D
D
7．小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．规则如下：连续抛掷硬币三次，若三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；若两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；若两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．
(1)用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果．
解：根据题意画出如图所示的树状图：
(2)小刚任意挑选两球队的概率有多大？
(3)这个规则对两个球队是否公平？为什么？
8．【中考·成都】在四张编号为A，B，C，D的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张(不放回)，再从剩下的卡片中随机抽取一张．
(1)请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A，B，C，D表示)；
【点拨】本题易忽略“放回”与“不放回”这一过程而致错，第一次“放回”与“不放回”，直接影响第二次等可能的结果，若放回，则包含放回的卡片；若不放回，则不包含这张卡片．
解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果．
(2)我们知道，满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
【点拨】本题易忽略“放回”与“不放回”这一过程而致错，第一次“放回”与“不放回”，直接影响第二次等可能的结果，若放回，则包含放回的卡片；若不放回，则不包含这张卡片．
9．【2019·湘潭】从2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3＋1＋2”的高考选考方案，“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考．
(1)“1＋2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；(选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法)
解：“1＋2”的选考方案共有12种．所有可能的选法有“物、政、化”“物、政、地”“物、政、生”“物、化、地”“物、化、生”“物、地、生”“历、政、化”“历、政、地”“历、政、生”“历、化、地”“历、化、生”“历、地、生”．
(2)高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物，他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
解：画树状图如图：
(1)在飞镖游戏板上画有半径为5 cm的一个圆(如图①)，求飞镖落在圆内的概率；
(2)飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
解：如图，
11．【2019·南充】现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数－2，－1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数为负数的概率．
(2)先随机抽取一张卡片，其上的数作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数作为点A的纵坐标．试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y＝2x上的概率．
解：画树状图如图所示：
12．【中考·兰州】为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三名同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每个传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
(1)请利用画树状图法列举出三次传球的所有可能情况；
解：根据题意，画出树状图如图：
(2)求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
(3)三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？第二十五章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列事件中，是必然事件的是( )
A．将油滴入水中，油会浮在水面上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
2．小明将6本书分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们送给6个好朋友．这些书中有3本小说，2本科普读物和1本英语小词典．小明的1个好朋友从6个礼盒中随机取1个，恰好取到小说的概率是( )
A． B．
C． D．
3．小明在做一道正确答案是2的计算题时，由于运算符号(“＋”“－”“×”或“÷”)被墨迹污染，看见的算式是“4■2”，那么小明还能做对的概率是( )
A． B．
C． D．
4．如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动转盘，指针落在有阴影的区域内的概率为a(若指针落在分界线上，则重转)；如果投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为b.关于a，b大小的判断正确的是( )
A．a＞b
B．a＝b
C．a＜b
D．不能判断
5．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620.
其中合理的是( )
A．① B．② C．①② D．①③
6．从长度分别为1 cm，3 cm，5 cm，7 cm的四条线段中任取三条作为边，能构成三角形的概率为( )
A． B． C． D．
7．义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名这两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( )
A． B． C． D．
8．如图，一个小球从A点沿轨道下落，在每个交叉口向左或向右的机会均等，则小球最终落到H点的概率是( )
A． B． C． D．
9．如图，在一个长方形内有对角线长分别为2和3的菱形、边长为1的正六边形和半径为1的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是( )
A．落在菱形内 B．落在圆内 C．落在正六边形内 D．一样大
10．同时抛掷A，B两个均匀的小正方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设两个正方体朝上一面的数字分别为x，y，并以此确定点P(x，y)，那么点P满足在抛物线y＝－x2＋3x上的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共30分)
11．用“必然事件”“不可能事件”“随机事件”填空：(1)明天要下雨．__________；(2)小明身高3.5 m．____________；(3)两直线平行，同位角相等．____________．
12．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是________．
13．现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取1张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．
14．在四边形ABCD中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC.在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是________．
15．已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形．现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则＝________．
16．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
黑棋子数量/枚 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3
根据以上数据，估算袋子中的白棋子数量为________枚．
17．如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是________．
18．点P的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P(a，b)在平面直角坐标系中的第二象限内的概率是________．
19．张凯家购置了一辆新车，爸爸妈妈商议确定车牌号，前三位选定为8ZK后，对后两位数字意见有分歧，最后决定由毫不知情的张凯从如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数，续在8ZK之后，则选中的车牌号为8ZK86的概率是________．
20．从－1，0，1，2这四个数中随机选取一个数，记为a，那么使一次函数y＝2x＋a的图象与x轴，y轴围成的三角形面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为________．
三、解答题(21题8分，22～25题每题10分，26题12分，共60分)
21．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个球，其中红球4个，黑球6个．
(1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值 ________ ________
(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出
1个黑球的概率等于，求m的值．
22．在一次大规模的统计中发现英文文献中字母E使用的频率在0.105附近，而字母J使用的频率大约为0.001，如果这次统计是可信的，那么下列说法正确吗？试说明理由 .
(1)在英文文献中字母E出现的概率在10.5%左右，字母J出现的概率在0.1%左右；
(2)如果再去统计一篇约含200个字母的英文文献，那么字母E出现的概率一定会非常接近10.5%.
23．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球、8个黑球、7个红球．
(1)求从袋中摸出1个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出1个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
24．“端午节”是我国的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动．为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
(1)用列表法或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
25．在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行一分钟仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了如下的统计表和统计图(均不完整)．
分组 频数 频率
第一组(0≤x＜15) 3 0.15
第二组(15≤x＜30) 6 a
第三组(30≤x＜45) 7 0.35
第四组(45≤x≤60) b 0.20
请你根据图表中的信息完成下列问题：
(1)统计表中a＝________，b＝________，并将统计图补充完整；
(2)如果该校七年级共有女学生180人，请估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有多少人；
(3)已知第一组中只有一名甲班学生，第四组中只有一名乙班学生，老师随机从这两组中各选一名学生谈心得体会，所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
26．从一副52张(没有大王、小王)的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下表中部分数据：
试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100
出现方块的频率 0.275 0.225 0.250 0.250 0.245 0.263 0.243 0.253 0.250
(1)将上表补充完整；
(2)从上表中可以估计出现方块的概率是________(精确到0.01)．
(3)从这副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，若摸出的两张牌的牌面数字之和等于3，则甲方赢；若摸出的两张牌的牌面数字之和等于4，则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？请你用概率知识(列表法或画树状图法)加以分析说明．
答案
一、1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．C
7．B 8．B 9．B
10．A 点拨：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
共有36种等可能的情况，点P(x，y)在抛物线y＝－x2＋3x上的情况有(1，2)，(2，2)，共2种．
∴点P在抛物线y＝－x2＋3x上的概率为＝.故选A.
二、11．(1)随机事件 (2)不可能事件 (3)必然事件
12． 13．15
14．
15． 点拨：设⊙O的半径为1，则AD＝，故S⊙O＝π，阴影部分的面积为π××2＋×－π＝2，则P1＝，P2＝，故＝.
16．40 点拨：估计摸出黑棋子的概率为＝，棋子总数为10÷＝50(枚)．
所以白棋子的数量＝50－10＝40(枚)．
17． 18． 19．
20． 点拨：∵一次函数y＝2x＋a的图象与x轴，y轴分别交于点，(0，a)，∴一次函数y＝2x＋a的图象与x轴，y轴围成的三角形的面积为
×|a|＝，∴＝，解得a＝±1.当a＝1时，不等式组
的解集为－1≤x≤－1，即x＝－1，∴该不等式组有解．当a＝－1时，不等式组无解，∴当a＝1时，符合要求，故所求概率为.
三、21．解：(1)4；2，3
(2)根据题意得＝，解得m＝2，所以m的值为2.
22．解：(1)正确，理由：当试验次数很大时可以用频率估计概率．
(2)不正确，理由：当试验次数不够大时，频率不一定接近概率．
23．解：(1)从袋中摸出1个球是黄球的概率为＝.
(2)设取出x个黑球，由题意得＝，解得x＝2.经检验x＝2是方程的解且符合题意，即从袋中取出黑球的个数为2.
24．解：(1)用列表法得出所有可能的结果如下：
乙甲 石头 剪刀 布
石头 (石头，石头) (石头，剪刀) (石头，布)
剪刀 (剪刀，石头) (剪刀，剪刀) (剪刀，布)
布 (布，石头) (布，剪刀) (布，布)
或用画树状图法得出所有可能的结果如图：
(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平，
理由如下：由(1)知P(甲获胜)＝＝，P(乙获胜)＝＝.
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)．
∴裁判员的这种做法对甲、乙双方公平．
25．解：(1)0.30；4
补充完整统计图如图所示．
(2)180×(0.35＋0.20)＝99(人)．
∴估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有99人．
(3)由题意可画树状图如图：
由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中所选两人正好都是甲班学生的情况有3种，故P(所选两人正好都是甲班学生)＝＝.
26．解：(1)30；0.250 (2)0.25
(3)列表如下：
所有等可能的结果有9种，其中甲方赢的结果有2种，乙方赢的结果有3种，∴P(甲方赢)＝，P(乙方赢)＝＝，∴P(乙方赢)＞P(甲方赢)．
∴这个游戏对双方是不公平的，有利于乙方．
1
