人教版九年级上册数学24.2.2直线和圆的位置关系教学设计

《直线和圆的位置关系》教学设计
一、内容和内容解析
1．内容
直线和圆的位置关系．
2．内容解析
学生在前面已学习了“点和圆的位置关系”，学习中紧紧抓住位置关系与数量关系的等价关系来进行研究．本节课“直线和圆的位置关系”的学习，从知识体系上看，它既是点和圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、性质定理、圆和圆的位置关系的基础．从数学思想方法的层面上看，它运用运动变化的观点揭示了图形的生成过程，知识的发生过程以及相关知识间的内在联系；渗透了数形结合、分类讨论、类比、转化等数学思想方法，对学生思维品质的发展有十分重要的作用．因此，“直线和圆的位置关系”在《圆》一章中起着承上启下的作用，是《圆》一章中十分重要的内容．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：探索并了解直线和圆的三种位置关系，并能利用圆心到直线的距离与半径的关系判别直线和圆的位置关系．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）理解直线和圆相交、相切、相离等概念；
（2）理解直线和圆相交、相切、相离的判定方法及其性质．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：能够类比点和圆的位置关系，结合具体实例自主探究直线和圆的位置关系．从几何特征上，根据直线和圆的公共点的个数，识别其位置关系．
达成目标（2）的标志是：不仅能根据直线和圆公共点的个数判断直线和圆的位置关系，而且能根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定直线和圆的位置关系，并且掌握它们之间的等价关系．
三、教学问题诊断分析
通过现实生活中直线和圆的位置关系的实例，及学生动手操作探索直线和圆的位置关系，学生从两个图形的公共点的个数上，不难发现直线和圆存在三种位置关系．当直线和圆有两个公共点时，定义为直线和圆相交；当直线和圆只有一个公共点时，定义为直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，定义为直线和圆相离．其中相交与相离两个概念比较容易理解，相切的位置关系学生理解起来有一定困难，需要教师不断强化概念．类比点和圆的位置关系，可以从数量关系——点到圆心的距离与半径的大小关系进行刻画．是否直线和圆也存在能够刻画其位置关系的数量关系呢？教学中，教师要启发引导学生，尝试从数量关系的角度对直线和圆位置关系进行探究，即从圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线和圆的位置关系，而若直线和圆的位置关系确定则相应的其数量关系也随之确定．对于数量关系比较明显的问题，学生比较容易进行判定，但当与其他知识进行综合时，则对学生来说有一定的难度．
基于以上分析，本节课的教学难点是：直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用．
四、教学过程设计
1．复习提问，知识回顾
问题1 点和圆有几种位置关系？如何用数量关系刻画它们的位置关系？
师生活动：教师提出问题，学生回顾点和圆的三种位置关系，可以从点到圆心的距离与半径的大小关系说明它们的位置关系．教师借助信息技术演示一个点在与一个圆作相对运动时，所呈现出来的三种位置关系和数量关系．
【设计意图】 通过提问帮助学生复习点和圆的位置关系的相关知识，既加深了学生对点和圆位置关系的认识，为接下来研究直线和圆的位置关系提供方法和思路．
2．创设情境，引入新知
问题2 大家见过日出吗？如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，那么在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有哪些位置关系呢？你能用手中的钥匙扣模拟一下这个过程吗？
师生活动：学生根据生活经验，思考太阳跃出地平线升起的过程，然后在画有一条直线的纸上移动钥匙扣．学生观察钥匙扣与直线的位置由远到近，再由近到远的过程，体会直线和圆的不同位置状态．
【设计意图】 创设问题情境，营造探索问题的氛围，让学生感受到数学就在我们身边．
问题3　教师提问学生，在你移动钥匙扣的过程中，它与直线的公共点的个数会发生变化吗？你能归纳一下它们的位置关系吗？
师生活动：教师提出问题让学生思考，学生观察后会发现在移动的过程中，钥匙扣与直线的公共点的个数会发生变化，从两个公共点，到一个公共点再到没有公共点．如图1所示．
图1
以下由教师向学生说明：在数学中，对于直线和圆的位置关系，根据两个图形的几何特征我们有以下定义：
（1）直线和圆没有公共点，称为直线和圆相离．
（2）直线和圆只有一个公共点，称直线和圆相切，此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点．
（3）直线和圆有两个公共点，称为直线和圆相交．此时这条直线叫做圆的割线．教师要强调在相切关系中，直线和圆公共点的个数有且只有一个．
【设计意图】通过学生动手操作，从数学的角度，发现直线和圆存在三种位置关系，可以用直线与圆公共点的个数加以区分，培养学生观察能力及归纳与分类的意识．
问题4 直线和圆的三种不同的位置关系除了可以由直线和圆的公共点的个数决定，还可以由什么来决定呢？你能类比点和圆的位置关系进行说明吗
师生活动：教师提出问题，启发引导学生尝试从数量角度来刻画直线和圆的位置关系．师生回顾在点和圆的位置关系中，可以用圆心和点的距离与半径的大小关系进行判断，其中圆心、半径和点是三个关键因素．那么在直线和圆的位置关系中，关键因素是什么？学生回答是圆心、半径和直线．以直线和圆没有公共点为例，此时直线上的所有点都在圆外，圆心与直线上的所有点的距离都大于半径，而圆心与直线上所有点的距离中，有没有最小距离呢？显然学生会想到垂线段最短．教师抓住这一解题思路，因势利导，使学生想到可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来刻画直线和圆的位置关系．教师指导学生画出图形，如图2所示．
图2
教师利用信息技术工具的测量功能，同时测量圆的半径r，及圆心到直线的距离d，利用动态变化的图形，加深学生的理解．最后，师生共同对直线和圆的位置关系，归纳如下：
直线和圆相离；
直线和圆相切；
直线和圆相交．

教师强调，这种等价关系，既是直线和圆位置关系的判定同时又是性质，因此也可以作为定义使用．然后师生共同完成表格，对所学内容进行小结归纳：
直线和圆的位置关系 相离 相切 相交
公共点的个数 0 1 2
公共点的名称 无 切点 交点
直线名称 无 切线 割线
圆心到直线距离 与半径的关系

【设计意图】类比点和圆的位置关系的数量刻画，探索直线和圆的位置关系的等价条件；使学生能从几何特征及代数特性两个方面刻画直线和圆的位置关系，培养学生多角度认识问题的能力；通过表格及时小结，可以帮助学生辨析直线和圆三种位置关系的不同．
3．例题示范，学会应用
例 如图3, 已知Rt△ABC的斜边，直角边．
(1)以为圆心，半径分别为2cm，4cm的两个圆与直线有怎样的位置关系？
(2)以B为圆心，半径为多长时，与圆相切？
图3
师生活动 教师引导学生共同分析，判定圆与的位置关系，关键是能够判断半径r与点B到AC的距离之间的大小关系． 而由已知条件（Rt△ABC），易知圆心B到直线AC的距离（不变），即的长（由勾股定理可求），然后可根据的长度与进行比较，进而确定圆与的位置关系；第2问则反过来，已知直线和圆的位置关系，判断圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系，从而求出圆的半径．最后教师板书求解过程，以规范学生解题格式．
【设计意图】通过例题讲解，使学生能由数量关系分析位置关系，又能由位置关系分析数量关系．
4．巩固新知，学以致用
练习1　判断题：
（1）直线和圆有公共点，则称直线和圆相交． 　　 （ ）
（2）若圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆一定有两个公共点．　（ ）
（3）若圆心到直线上的一点的距离等于半径，则直线和圆相切．　 　 （ ）
（4）若圆心到直线上任意一点的距离都大于半径，则直线和圆相离． （ ）
练习 2　教科书第96页练习．
师生活动：教师出示练习，学生思考后，由基础较弱的学生回答判断题，对于出现的误判，可由能力较强的同学予以纠正，并说明理由．其中（３）具有较强的迷惑性，教师应反复强调点与点之间的距离和点与直线的距离的区别，抓住定义的核心词，以帮助学生正确理解概念．
【设计意图】通过判断题，快速检验学生对直线和圆三种位置关系的掌握情况；课本练习意在通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线和圆的位置关系．
5．归纳小结，反思提高
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
（1）直线和圆的三种位置关系是什么？
（2）识别直线和圆的位置关系的方法有哪些？你认为有哪些值得注意的问题？
（3）这节课我们学到了解决数学问题的哪些方法？运用了哪些数学思想？
【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——直线和圆的三种位置关系，并体会分类讨论、数形结合思想与类比的学习方法．
6．布置作业
教科书习题24．2第2题．
五、目标检测设计
1．已知直线l与相切，点O到直线l的距离为6cm,则的直径是 cm．
【设计意图】考查学生对直线和圆相切性质的掌握．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则以C为圆心，以4．5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是______．
【设计意图】 考查学生由圆心到直线的距离与半径的数量关系判断直线和圆的位置关系的掌握．
3．如图4，已知∠AOB=30°，M为OA边上一点，以M为圆心，r为半径作⊙M．点M在OA边上运动, 当OM=6时，恰有⊙M与OB相切，求⊙M的半径r的长．
图4
【设计意图】综合考查学生对相切的代数定义的理解及含特殊角的直角三角形的性质的运用．