人教版九年级上册数学22.1.1二次函数的概念与一般形式教学设计

《二次函数的概念与一般形式》教学设计
一、内容和内容解析
（一）内容
二次函数的概念，二次函数的一般形式．
（二）内容解析
二次函数在一次函数基础上“次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要．
针对一系列实际问题，建立函数，引导学生观察这些函数的共同特点，类比一次函数的定义从而归纳出二次函数的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体函数的共同特点，得出二次函数的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式也是对具体函数从自变量的“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足 “二次”的要求．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．能够表示简单变量间的二次函数关系，体会二次函数是刻画实际问题的重要数学模型，理解二次函数的概念和二次函数的一般形式；
2．经历、探索二次函数概念的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．
（二）目标解析
1．通过建立二次函数解决相关的实际问题，让学生体会到自变量相乘导致自变量的次数升高，继而产生二次函数，感受二次函数是重要的数学模型，体会学习的必要性；
2．将不同形式的二次函数统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善二次函数的概念．学生能够判断二次函数，准确的说出二次函数的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为二次函数的条件．
三、教学问题诊断分析
实际问题中等量关系的建立，学生会遇到一些问题，需要教师借助列表、图象等辅助工具直观地帮助分析问题，或者搭建问题串帮助学生理解题意．
培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出二次函数的概念，得出一般形式．
本课的教学重点应该放在形成二次函数概念的过程上，不能草草给出二次函数的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫．
本课的教学难点是二次函数的概念．
四、教学过程设计
（一）创设情境 引入新知
观察下列函数：（1） y = 2x+1 ；（2）；（3）．
其中一次函数有 ．
一次函数的定义： ．
一次函数的图象是： ．
请说出上面一次函数的图象所经过的象限和增减性．
师生活动：回忆函数的定义，图象和性质，并回顾一次函数的研究程序：定义图象和性质应用．
【设计意图】回忆一次函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用．同时引出新知，一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系，但是实际问题的变量之间关系都能用一次函数表示吗？
观察篮球运动的路线，本章教科书章前图喷泉水的流动弧线，探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？
阅读引言内容，探究正方体的表面积y和棱长x之间的数量关系，得到．
问题1　它是函数吗？如果是，你会给它命名吗？
师生活动：回忆函数的定义，观察新函数，分析此函数自变量的次数，尝试为新函数命名．
【设计意图】认识到二次函数是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在已有的知识的体系中合理地构建二次函数这一新知识．
问题2　这样的函数在其他实际问题中是否还存在呢？
师生活动：学生思考二次项产生的原因，激发学习新知的欲望．
【设计意图】数学来自于生活，实际问题的需要从而扩充新的知识，从一次函数顺利过渡到二次函数．
（二）合作交流 探究概念
给出课本问题1、问题2的两个实际问题，建立函数．
问题1 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
教师引导学生思考以下问题：
1．每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有___ 场，化简得__________，m与n的数量关系是_____________．
2．将n支球队看作是平面内的n个点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，共有 条线段，m与n的数量关系是______ _______．
问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
教师引导学生思考以下问题：
一年后的产量为 ．
再过一年后的产量为 ．
即两年后的产量为 ，展开整理得， ．
由此，我们可以列出y与x的数量关系是____________．
师生活动：学生将实际问题中的语言转化成数学符号语言，寻找等量关系，学习建模．将列得的函数化简整理．
【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次式产生的根源将更加明晰．
问题3 这些变量之间的关系是函数吗？
师生活动：对照函数的概念判断这些变量之间的关系是否是函数．“对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应”是检验函数的唯一标准．
【设计意图】一次函数、二次函数是在函数的前提下研究．
问题4 这些函数有什么共同点？它们是什么函数？
共同点：（1）等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式 ；（2）等式的右边可统一为“”的形式．
师生活动：观察本课得出的一些函数，思考它们的共性，类比一次函数的概念，同学们尝试给出二次函数的定义，并且概括出二次函数的一般形式．
1．二次函数的概念：
一般地，形如的函数叫做二次函数，其中x是自变量，是常数．
2．二次函数的一般形式是．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．?
【注意】①函数中，是必要条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任何实数．
②定义是关于x的二次整式（切不可把当成二次函数）．

【设计意图】让学生自己给出定义就是对所学一次函数的定义的类比，对比一次函数也容易理解．
（三）辨析应用，加深理解
问题5 下列哪些函数是二次函数？
例1 下列函数中，哪些是关于x的二次函数？如果是二次函数，指出a，b，c的值．
（1） ； （2） ； （3）；
（4） ； （5）．
答案：（1）（3）．
师生活动：用概念指导辨析，函数（3）、（4）、（5）同学们可能会产生争议，（3）帮助学生明确右边是关于x的二次整式，（4）对条件加深认识；（5）体会化为一般形式的必要性，对条件加深认识．
【设计意图】从正反两个方面进行概念辨析，关注二次函数的本质，帮助学生进一步巩固概念，深化对二次函数的认识．
例2 k为何值时，函数是二次函数？
答案：．
师生活动：根据函数概念，确定字母系数的取值范围．
【设计意图】字母系数二次函数，通过辨析函数的二次式，抓住二次函数的本质，深化理解．
（四）巩固概念，学以致用
巩固练习：教科书29页练习，对练习2增加三个问题：（1）指出y是x的什么函数;（2）当矩形绿地的长和宽各增加5m时，求扩充后的绿地面积;（3）当扩充后绿地面积是1200m2时，问矩形绿地的长和宽各增加了多少米？
【设计意图】巩固性练习，检验二次函数概念的掌握情况，同时回顾函数值的求法和解一元二次方程，了解一元二次方程是二次函数的特殊情况，实现把旧知识主动与新知建构，并理解新旧知识的差异性与共同性．
（五）归纳小结，反思提高
谈对二次函数概念的认识，为什么要求二次项系数不为零，二次函数与一元二次方程的关系．
（六）布置作业：教科书习题22．1复习巩固：第1，2，12题．
五、目标检测设计
1．下列函数是二次函数的有（ ）
A． B． C． D．

【设计意图】考查对二次函数概念的理解．紧扣定义中的两个特征：①；②是整式（二次三项式）．
2．如果函数是y关于x的二次函数，求k的值．
【设计意图】考查自变量的二次和的条件．
3．已知与成正比例，并且当时，，求：
（1）函数与的函数关系式；
（2）当时，函数的值；
（3）当时，的值．

【设计意图】考查对二次函数一般式和函数值的掌握情况．