浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试卷

2012学年第一学期“温州八校”期初联考
数学（理科）试卷 2012.9
注意事项：
本科目试卷分试题卷和答题卷。考生须按规定用笔在答题卷上作答。答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、姓名、学号；
2. 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：如果事件互斥，那么 棱柱的体积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 棱台的体积公式球的表面积公式
其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，
球的体积公式 表示棱台的高
其中表示球的半径
选择题部分（共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．设集合A =， 则( ▲ )
A． B． C． D．
2．已知复数为实数，则实数m的值为（ ▲ ）
A. 2　　　　 B. －２ 　　 C.　　　　　 D．
阅读右图的程序框图, 若输出的值等于, 那么在程序框图中的判
断框内应填写的条件是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．设, 那么“”是“”的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 ( ▲ )
A．27 B．30 C．33 D．36
6．平面内有条直线，最多可将平面分成个区域，则的表达式为（ ▲ ）
A． B． C． D．
X 0 1 3
P 0.2 0.2 y
7．已知随机变量X的分布列如右表，则=（ ▲ ）
A．0.4 B．1.2 C． 1.6 D．2
8．设动圆与y轴相切且与圆:相外切, 则动圆圆心的轨迹方程为（ ▲ ）
A． B． C．或 D．或
9．设满足约束条件 ，若恒成立，则实数的最大值为 ( ▲ )
A． B． C．4 D．1
10．已知函数若关于的函数有8个不同的零点， 则实数的取值范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.
填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．的展开式中项的系数是 ▲ .
12．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，
则由图形中的数据，可知其中位数为 ▲ .
13．已知是圆(为圆心）上的两点，,
则= ▲
14．设中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线，离心率为，且过点（5,4），则其焦距为 ▲
15．在二面角中，且已知 , , 则二面角的余弦值为 ▲
16．已知函数，若恒成立，则实数的最小正值为▲
17．某停车场有一排编号为1至7的七个停车空位，现有2辆不同的货车与2辆不同的客车同时停入，每个车位最多停一辆车，若同类车不停放在相邻的车位上，则共有 ▲ 种不同的停车方案。
解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）在锐角中，角所对边分别为，已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若 , 求的值.
19．（本题满分14分）等差数列的首项为，公差，前项和为
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若对任意正整数均成立，求的取值范围。
20．（本题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，
，，
（Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本题满分15分）已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，为椭圆上一点， 且满足
（为坐标原点）。当 时，求实数的值．
22．（本题满分15分）已知函数（）
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，设，若存在,，使，
求实数的取值范围。为自然对数的底数，
2012学年第一学期“温州八校”期初联考
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共5０分）
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
答案 B D A A B C C C B D
二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）
11．--4 12． 13 13． 2 14． 15． 16． 17．440
三、解答题（本大题共5小题，共72分）
18.（本题满分14分）
（Ⅰ）在锐角中，由可得, ………………………3分
则 …………………………5分
= …………………………7分
（Ⅱ）由得, …………………………10分
又由余弦定理得,可解得 …………………………14分
19. （本题满分14分）
（Ⅰ）由条件得， ………………………3分
解得 ………………………5分
（Ⅱ）由，代人得 ………………………7分
整理，变量分离得： ………………9分
当时，上式成立 …………………………10分
当时， …………………………11分
取到最小值， …………………………12分
…………………………………… 14分
20．（本小题满分１4分）
（I）平面平面； …………………1分
证明：由题意得且
又，则 …………………………3分
则平面, ………………5分
故平面平面 ………………7分
（Ⅱ）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立
空间直角坐标系如右图示，则,, 可得, 9分
平面ABCD的单位法向量为， ……………………………………11分
设直线PC与平面ABCD所成角为，则 13分
则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分
解法2：由（I）知平面，∵面
∴平面ABCD⊥平面PAB, …………………………9分
在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，
则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角， …………………………11分
在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,
又
∴ …………………………13分
在Rt△PEC中.………………14分
21．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意知； ………………2分
又因为，所以，． ………………4分
故椭圆的方程为． ………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为，，，，
由得． ……………………7分
，． ……………………9分
，．又由，得，
……………………11分
可得． ……………………12分
又由，得，则，． ……………………13分
故，即． ……………………14分
得，，即 ……………………15分
22．（本题满分15分）
解：（Ⅰ），。 ………………1分
令
当时，,的减区间为，增区间为（。……2分
当时，
所以当时，在区间上单调递减。 ………………4分
当时，，
，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减， ……………………7分
所以当时，的减区间为，增区间为（。
当时，的减区间为。
当时，的减区间为，
增区间为。 ……………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值为， ………10分
令，得
时，，单调递减，
时，，单调递增， ……………………12分
所以在上的最小值为， ……………………13分
由题意可知，解得 ………………14分
所以 ……………………15分