湘教版初中数学九上第3章 图形的相似 基础过关演练
一、单选题
1．（2020·永州）如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
2．（2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴
∴ 的值为 .
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.
3．（2020·重庆B）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2.
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故答案为：C.
【分析】由相似三角形的面积之比=相似比的平方即可得出答案.
4．（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形 的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【答案】A
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图所示，四边形 的位似图形是四边形 ．
故答案为：A
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
5．（2020·甘肃）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中 为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意可知，a：b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24.
故答案为：A
【分析】根据a：b≈0.618，且b=2即可求解.
6．（2019·雅安）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由a：b＝3：4 知 ，
所以 ．
所以由 得到： ，
解得 ．
所以 ．
所以 ．
故答案为：A．
【分析】由a:b=3:4,可得b=,将其代入a+b=14,求出a、b的值即可.
7．（2018·义乌）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕 点旋转到 位置，已知 ， ，垂足分别为 ， ， ， ， ，则栏杆 端应下降的垂直距离 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴∠ABO=∠CDO，
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴ .
故答案为：C.
【分析】首先判断出△AOB∽△COD，根据相似三角形对应边成比例得出AO∶CO =AB∶CD，从而得出答案。
8．（2017·河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有改变
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
9．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）.
A．0.618 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值．
【解答】∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，
∴
∴．
故选B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
10．若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是( )
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【分析】∵2、3、4的最小公倍数是12，∴设2a=3b=4c=12k（k≠0）.
∴a=6k，b=4k，c=3k.
∴.
故选B.
二、填空题
11．（2020·湘潭）若 ，则 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由 可设 ， ，k是非零整数，
则 ．
故答案为： ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
12．（2017·吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为 m．
【答案】9
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵OD=4m，BD=14m，
∴OB=OD+BD=18m，
由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，
∴△OCD∽△OAB，
∴ = ，即 = ，解得AB=9，
即旗杆AB的高为9m．
故答案为：9．
【分析】构建相似三角形△OCD、△OAB，再由对应边成比例即可求出，注意AB的对应边是OB，而不是BD.
13．（2017·娄底）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）
【答案】5500
【知识点】比例线段
【解析】【解答】我国南北的实际距离大约是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），
故答案为：5500．
【分析】比例尺就是相似比，实际距离是图上距离的67000000倍，因此82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km）.
14．（2016·安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）
【答案】①③④
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，
∴AF= =8，
∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，
设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，
在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，
∴（6﹣x）2+22=x2，解得x= ，
∴ED= ，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，
∴∠2+∠3= ∠ABC=45°，所以①正确；
HF=BF﹣BH=10﹣6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，
∴y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D， = = ， = ，
∴ ≠ ，
∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；
∵S△ABG= 6 3=9，S△FGH= GH HF= ×3×4=6，
∴S△ABG= S△FGH，所以③正确；
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以④正确．
故答案为①③④．
【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD﹣AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22=x2，解得x= ，即ED= ；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和 ≠ ，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．
三、作图题
15．（2018·陕西）如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示，点P即为所求作的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】依据过直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图法：以点D为圆心，以大于点D到AM的距离的长度为半径画弧，弧与AM有两个交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点间的距离的一半的长度为半径，画弧，两弧在AM的同侧相较于一点，过这一点与D点做线，与AM的交点就是所求的点P。
16．（2016·陕西）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，AD为所作．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似．
四、解答题
17．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
【答案】【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，
∴，
解得：AC=10，
故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．
五、综合题
18．（2020九上·长沙期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
∵ = ，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠ADC，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴ = ，即 = ，
∴CD=3 ．
【知识点】圆内接四边形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCE=∠BAD，证明即可；（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
19．（2020九上·慈利期末）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）若AD=2，AB=3，求 的值．
【答案】（1）证明：∵AC 平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AC2=AB AD，
∴ = ，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵点 E 为 AB 的中点，
∴CE=AE= AB= ，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴ = = ，
∴ = ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到 CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明 = ，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
20．（2012·徐州）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m．
（1）△FDM∽△ ，△F1D1N∽△
（2）求电线杆AB的高度．
【答案】（1）FBG；F1BG
（2）解：根据题意，∵D1C1∥BA，
∴△F1D1N∽△F1BG．
∴ ．
∵DC∥BA，
∴△FDM∽△FBG．
∴ ．
∵D1N=DM，
∴ = ，
即 ．
∴GM=16m．
∵ ，
∴ ．
∴BG=13.5m．
∴AB=BG+GA=15（m）．
答：电线杆AB的高度为15m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）∵DC⊥AE D1C1⊥AE BA⊥AE
∴DC∥D1C1∥BA，
∴△FDM∽△FBG，△F1D1N∽△F1BG．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理可以得到答案．（2）利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得BG的长，加上1.5即为AB的高．
21．（2020九上·湘潭期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，在四边形 中， ， ，对角线 平分 ．求证： 是四边形 的“相似对角线”；
（2）如图2，已知 是四边形 的“相似对角线”， ．连接 ，若 的面积为 ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ． ，
∴
∴ 是四边形ABCD的“相似对角线”．
（2）解：∵ 是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴三角形EFH与三角形HFG相似．
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
过点E作 ，垂足为 ．
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的 ，得到 ，过点E作 ，可得出EQ，根据 即可求解；
1 / 1湘教版初中数学九上第3章 图形的相似 基础过关演练
一、单选题
1．（2020·永州）如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
2．（2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·重庆B）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
4．（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形 的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
5．（2020·甘肃）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中 为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
6．（2019·雅安）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
7．（2018·义乌）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕 点旋转到 位置，已知 ， ，垂足分别为 ， ， ， ， ，则栏杆 端应下降的垂直距离 为（ ）
A． B． C． D．
8．（2017·河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有改变
9．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）.
A．0.618 B． C． D．2
10．若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是( )
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
二、填空题
11．（2020·湘潭）若 ，则 ．
12．（2017·吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为 m．
13．（2017·娄底）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）
14．（2016·安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）
三、作图题
15．（2018·陕西）如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）
16．（2016·陕西）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题
17．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
五、综合题
18．（2020九上·长沙期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．
19．（2020九上·慈利期末）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）若AD=2，AB=3，求 的值．
20．（2012·徐州）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m．
（1）△FDM∽△ ，△F1D1N∽△
（2）求电线杆AB的高度．
21．（2020九上·湘潭期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，在四边形 中， ， ，对角线 平分 ．求证： 是四边形 的“相似对角线”；
（2）如图2，已知 是四边形 的“相似对角线”， ．连接 ，若 的面积为 ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
2．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴
∴ 的值为 .
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2.
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故答案为：C.
【分析】由相似三角形的面积之比=相似比的平方即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图所示，四边形 的位似图形是四边形 ．
故答案为：A
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意可知，a：b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24.
故答案为：A
【分析】根据a：b≈0.618，且b=2即可求解.
6．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由a：b＝3：4 知 ，
所以 ．
所以由 得到： ，
解得 ．
所以 ．
所以 ．
故答案为：A．
【分析】由a:b=3:4,可得b=,将其代入a+b=14,求出a、b的值即可.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴∠ABO=∠CDO，
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴ .
故答案为：C.
【分析】首先判断出△AOB∽△COD，根据相似三角形对应边成比例得出AO∶CO =AB∶CD，从而得出答案。
8．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
9．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值．
【解答】∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，
∴
∴．
故选B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
10．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【分析】∵2、3、4的最小公倍数是12，∴设2a=3b=4c=12k（k≠0）.
∴a=6k，b=4k，c=3k.
∴.
故选B.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由 可设 ， ，k是非零整数，
则 ．
故答案为： ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
12．【答案】9
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵OD=4m，BD=14m，
∴OB=OD+BD=18m，
由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，
∴△OCD∽△OAB，
∴ = ，即 = ，解得AB=9，
即旗杆AB的高为9m．
故答案为：9．
【分析】构建相似三角形△OCD、△OAB，再由对应边成比例即可求出，注意AB的对应边是OB，而不是BD.
13．【答案】5500
【知识点】比例线段
【解析】【解答】我国南北的实际距离大约是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），
故答案为：5500．
【分析】比例尺就是相似比，实际距离是图上距离的67000000倍，因此82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km）.
14．【答案】①③④
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，
∴AF= =8，
∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，
设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，
在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，
∴（6﹣x）2+22=x2，解得x= ，
∴ED= ，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，
∴∠2+∠3= ∠ABC=45°，所以①正确；
HF=BF﹣BH=10﹣6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，
∴y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D， = = ， = ，
∴ ≠ ，
∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；
∵S△ABG= 6 3=9，S△FGH= GH HF= ×3×4=6，
∴S△ABG= S△FGH，所以③正确；
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以④正确．
故答案为①③④．
【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD﹣AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22=x2，解得x= ，即ED= ；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和 ≠ ，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．
15．【答案】解：如图所示，点P即为所求作的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】依据过直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图法：以点D为圆心，以大于点D到AM的距离的长度为半径画弧，弧与AM有两个交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点间的距离的一半的长度为半径，画弧，两弧在AM的同侧相较于一点，过这一点与D点做线，与AM的交点就是所求的点P。
16．【答案】解：如图，AD为所作．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似．
17．【答案】【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，
∴，
解得：AC=10，
故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
∵ = ，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠ADC，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴ = ，即 = ，
∴CD=3 ．
【知识点】圆内接四边形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCE=∠BAD，证明即可；（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
19．【答案】（1）证明：∵AC 平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AC2=AB AD，
∴ = ，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵点 E 为 AB 的中点，
∴CE=AE= AB= ，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴ = = ，
∴ = ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到 CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明 = ，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
20．【答案】（1）FBG；F1BG
（2）解：根据题意，∵D1C1∥BA，
∴△F1D1N∽△F1BG．
∴ ．
∵DC∥BA，
∴△FDM∽△FBG．
∴ ．
∵D1N=DM，
∴ = ，
即 ．
∴GM=16m．
∵ ，
∴ ．
∴BG=13.5m．
∴AB=BG+GA=15（m）．
答：电线杆AB的高度为15m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）∵DC⊥AE D1C1⊥AE BA⊥AE
∴DC∥D1C1∥BA，
∴△FDM∽△FBG，△F1D1N∽△F1BG．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理可以得到答案．（2）利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得BG的长，加上1.5即为AB的高．
21．【答案】（1）证明：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ． ，
∴
∴ 是四边形ABCD的“相似对角线”．
（2）解：∵ 是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴三角形EFH与三角形HFG相似．
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
过点E作 ，垂足为 ．
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的 ，得到 ，过点E作 ，可得出EQ，根据 即可求解；
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