2021-2022学年数学 人教A版（2019）必修第一册3.3《幂函数》教学设计

3.3幂函数
一、教学目标：
（一）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
（二）通过具体实例，会画y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象，描述它们的变化规律，总结幂函数的性质.
（三）能利用幂函数的单调性比较大小.
二、教学重难点
重点：常见幂函数的概念、图象和性质．
难点：利用幂函数的性质解决有关问题.
三、教学用具：ppt、几何画板
四、教学过程：
（一）情境导入
前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.
1．如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数;
2．如果正方形的边长为,那么正方形的面积,这里是的函数;
3．如果立方体的棱长为，那么立方体的体积,这里是的函数;
4．如果一个正方形场地的面积为，那么正方形场地的边长,这里是的函数;
5．如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度,即,这里是的函数.
（二）活动1：
请观察1—5中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.
1.; 2.; 3.; 4.，即=; 5.,即.
实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，，-1；它们都是形如的函数.
【设计意图】将实际问题转化为数学问题，引导学生经历从实例中用函数思维方式抽象出幂函数的形式，进而引出新知识的定义和形式.
（三）概念新知
幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
1.练习：判断下列函数是否为幂函数．
(1)y=x+1 (2)y=2x2 (3) (4)y=-2x (5)y=x3+2
结论：底数只能是自变量x，指数只能是常数,幂的系数只能是1,解析式只能是一项；
2.思考：
（1）.已知一次函数，k、b满足什么条件时为幂函数.
（2）.已知二次函数，a、b、c满足什么条件时为幂函数.
（3）.已知反比例函数，k满足什么条件时为幂函数.
结论：判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为y=xα(a为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式．在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.
【设计意图】通过引导学生从函数的思维方式归纳出幂函数的定义，然后再通过练习和思考，学生进一步理解幂函数的定义.
（四）活动2
对于幂函数，我们只研究时的图象与性质.现请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性）
老师几何画板进行展示
【设计意图】通过导学案让学生先独立画出五个图像，再画于一个坐标系，在画的过程中体会图像的变化趋势，掌握幂函数的特征.
（五）活动3：结合函数图象并结合解析式，将你发现的结论填写在下表.
定义域 R R R [0，+∞）
值域 R [0，+∞） R [0，+∞）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在R上单调递增 在（-∞，0）上单调递减 在（0，+∞）单调递增 在R上单调递增 在[0，+∞）单调递增 在（-∞，0）上单调递减 在（0，+∞）上单调递减
定点 （1，1）
【设计意图】由形到数，发现5个幂函数的性质.
（六）性质探究
1.特殊幂函数的性质
(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，和y＝x－1的图象都通过点 ；
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是　　　，函数y＝x2是　　　；
(3)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，　　　 ,函数y＝x－1　　　 ；
(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴　　　　，向右与x轴　　　　.
2.一般幂函数的性质
(1)幂函数图象都过点(1,1).
(2)α为偶数时，幂函数是偶函数;α为奇数时，幂函数是奇函数.
(3)当α>0时,幂函数在区间上单调递增，且函数过原点;
当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.
(4)一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，指数大的在上，指数小的在下，在y轴与直线x=1之间正好相反.
【设计意图】引导学生通过观察函数的图像，分析归纳出五个函数图像各自性质的基础上，再归纳幂函数的共性和差异性，进而得出幂函数的基本性质.
（七）当堂检测
1.已知 是幂函数，m=___.
2.幂函数的图象过点(3,) 则它的单调递增区间是_______.
3.比较大小
(1)(2)(3) (4)
五．归纳总结
1.幂函数概念：
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2.幂函数性质：
(1)幂函数图象都过点(1,1).
(2)α为偶数时，幂函数是偶函数。α为奇数时，幂函数是奇函数.
(3)当α>0时,幂函数在区间上单调递增，且函数过原点.
当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.
(4)一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，指数大的在上，指数小的在下，
在y轴与直线x=1之间正好相反；
六．作业：
1.课本P91页习题3.3，第一题
2.作业本1-10题，12-15题，
3.作业本11、16题选做