2021-2022学年华东师大新版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年华东师大新版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 299.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-09 15:32:20 | ||
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文档简介
2021-2022学年华东师大新版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷
一．选择题
1．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B＝90°，则（ ）
A．b2＝a2+c2 B．c2+b2＝a2 C．a2+b2＝c2 D．a+b＝c
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3
3．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1， B．13，14，15 C．，4，5 D．15，8，17
4．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝7，且AC+BC＝8，则AB的长为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．
5．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．17
6．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（ ）
A．小于60° B．等于60°
C．大于60° D．大于或等于60°
7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
8．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A＝∠B+∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
9．对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，应假设（ ）
A．a⊥c B．b⊥c C．a与c相交 D．b与c相交
10．如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝13，S2＝12，则S3的值为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．144
二．填空题
11．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 ．
12．等腰三角形的腰为13cm，底边长为10cm，则它的面积为 ．
13．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝ ．
14．如图，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，则AC＝ ．
15．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．
16．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ．
17．反证法证明“三角形中至少有一个角不少于60°”先应假设这个三角形中 ．
18．用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设 ．
19．△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一动点，过线段AP上的点M作DE⊥AP，交边AB于点D，交边AC于点E，点N为DE中点．若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值＝ ．
20．若等腰三角形ABC的周长为16cm，底边BC上高线AD长为4cm，则三角形ABC的面积是 cm2．
三．解答题
21．如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求△BCD的面积．
22．如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
23．在△ABC中，AB＝30，BC＝28，AC＝26．求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
24．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
25．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）边AC，AB，BC的长；
（2）点C到AB边的距离；
（3）求△ABC的面积．
26．如图，四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．
27．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠B＝90°，∴∠B的对边b是斜边，∴b2＝a2+c2．
故选：A．
2．解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选：B．
3．解：A、∵12+12＝（）2，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵132+142≠152，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、∵42+52＝（）2，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、∵152+82＝172，
∴此三角形是直角三角形，不合题意．
故选：B．
4．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝7，
∴×π×（）2+×π×（）2+×AC×BC﹣×π×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
AB＝＝＝6，
故选：A．
5．解：设直角三角形的斜边长为x，
由勾股定理得，x2＝82+（32﹣x）2，
解得，x＝17，
故选：D．
6．解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，
假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．
故选：A．
7．解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，
故本选项正确；
②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy+4＝49，
即2xy+4＝49；
故本选项正确．
∴正确结论有①②③．
故选：C．
8．解：A、a2+b2＝c2，是直角三角形，错误；
B、∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；
C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；
D、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
9．解：c与b的位置关系有c∥b和c与b相交两种，因此用反证法证明“c∥b”时，应先假设c与b相交．
故选：D．
10．解：由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∵S1＝S2+S3，
∴S3＝S1﹣S2＝13﹣12＝1．
故选：A．
二．填空题
11．解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82＝172，
解得：x＝15，
②172+82＝x2，
解得：x＝（不合题意，舍去），
故答案为：15．
12．解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，
∴BD＝5cm，
∴AD＝＝＝12cm，
∴S△ABC＝BC AD＝×10×12＝60（cm2）．
故答案为：60cm2．
13．解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
∴BC2+AB2+AC2＝2BC2＝200．
故答案是：200．
14．解：EC＝；
故CD＝12﹣DE＝12﹣7＝5；
故AC＝＝12．
15．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则
x2＝4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5＝30
则x＝13，y＝6．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×19＝76．
故答案是：76．
16．解：①当第三边为斜边时，第三边＝＝；
②当边长为5的边为斜边时，第三边＝＝3．
17．解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即三角形的三个内角都小于60°．
故答案为：每个内角都小于60°．
18．解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即三角形的三个内角都小于60°．
故答案为：三角形的三个内角都小于60°．
19．解：∵△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵N为DE的中点，
∴AN＝DE，
∵四边形ADPE的面积为18，DE⊥AP，
∴，
即AN AP＝18，
当AP取最小值时，AN有最大值，
故当AP⊥BC时，AP值最小，最小值为，
此时AN＝，
故答案为．
20．解：如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝4cm
∴BD＝BC
∵等腰三角形ABC的周长为16cm
∴2AB+2BD＝16cm，即AB+BD＝8①，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝AB2﹣42②，
联立①②方程，解得，AB＝5cm，DB＝3cm
∴BC＝6cm
∴S△ABC＝BC AD＝×6×4＝12cm2
三．解答题
21．解：（1）∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12
∴BC＝＝15，
（2）∵BC＝15，BD＝8，CD＝17
∴BC2+BD2＝CD2
∴△BCD是直角三角形
∴S△BCD＝×15×8＝60．
22．（1）解：在Rt△BCD中，DC＝＝＝；
（2）解：在Rt△CDA中
AD＝＝＝；
（3）证明：∵BC2＝9，AC2＝16，
（BD+AD）2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
23．解：过点D作AD⊥BC，垂足为点D．
设BD＝x，则CD＝28﹣x．
在Rt△ABD中，AB＝30，BD＝x，
由勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2＝302﹣x2，
在Rt△ACD中，AC＝26，CD＝28﹣x，
由勾股定理可得AD2＝AC2﹣CD2＝262﹣（28﹣x）2，
∴302﹣x2＝262﹣（28﹣x）2，
解得：x＝18，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝302﹣x2＝302﹣182＝576，
∴AD＝24，
S△ABC＝BC AD＝×28×24＝336
则△ABC的面积为336．
24．解：（1）∠D是直角．
理由：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四边形ABCD＝AB BC+AD CD
＝×20×15+×24×7
＝234．
25．解：（1）AC＝＝，
AB＝＝，
BC＝＝；
（2）S△ABC＝3×3﹣×3×1﹣×2×1﹣×2×3＝3.5，
设点C到AB边的距离为h，则×h×AB＝3.5，
解得：h＝．
即点C到AB的距离是；
（3）由（2）可知△ABC的面积＝3.5．
26．解：如图：
连接BD，
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠CDB＝150°﹣60°＝90°，
△BCD是直角三角形，
于是BC+CD＝42﹣12﹣12＝18，从而CD＝18﹣x，
利用勾股定理列方程得（18﹣BC）2+122＝BC2，
解得BC＝13．
27．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
一．选择题
1．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B＝90°，则（ ）
A．b2＝a2+c2 B．c2+b2＝a2 C．a2+b2＝c2 D．a+b＝c
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3
3．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1， B．13，14，15 C．，4，5 D．15，8，17
4．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝7，且AC+BC＝8，则AB的长为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．
5．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．17
6．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（ ）
A．小于60° B．等于60°
C．大于60° D．大于或等于60°
7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
8．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A＝∠B+∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
9．对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，应假设（ ）
A．a⊥c B．b⊥c C．a与c相交 D．b与c相交
10．如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝13，S2＝12，则S3的值为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．144
二．填空题
11．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 ．
12．等腰三角形的腰为13cm，底边长为10cm，则它的面积为 ．
13．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝ ．
14．如图，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，则AC＝ ．
15．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．
16．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ．
17．反证法证明“三角形中至少有一个角不少于60°”先应假设这个三角形中 ．
18．用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设 ．
19．△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为BC边上一动点，过线段AP上的点M作DE⊥AP，交边AB于点D，交边AC于点E，点N为DE中点．若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值＝ ．
20．若等腰三角形ABC的周长为16cm，底边BC上高线AD长为4cm，则三角形ABC的面积是 cm2．
三．解答题
21．如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求△BCD的面积．
22．如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
23．在△ABC中，AB＝30，BC＝28，AC＝26．求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
24．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
25．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）边AC，AB，BC的长；
（2）点C到AB边的距离；
（3）求△ABC的面积．
26．如图，四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．
27．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠B＝90°，∴∠B的对边b是斜边，∴b2＝a2+c2．
故选：A．
2．解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选：B．
3．解：A、∵12+12＝（）2，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵132+142≠152，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、∵42+52＝（）2，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、∵152+82＝172，
∴此三角形是直角三角形，不合题意．
故选：B．
4．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝7，
∴×π×（）2+×π×（）2+×AC×BC﹣×π×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
AB＝＝＝6，
故选：A．
5．解：设直角三角形的斜边长为x，
由勾股定理得，x2＝82+（32﹣x）2，
解得，x＝17，
故选：D．
6．解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，
假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．
故选：A．
7．解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，
故本选项正确；
②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy+4＝49，
即2xy+4＝49；
故本选项正确．
∴正确结论有①②③．
故选：C．
8．解：A、a2+b2＝c2，是直角三角形，错误；
B、∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；
C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；
D、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
9．解：c与b的位置关系有c∥b和c与b相交两种，因此用反证法证明“c∥b”时，应先假设c与b相交．
故选：D．
10．解：由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∵S1＝S2+S3，
∴S3＝S1﹣S2＝13﹣12＝1．
故选：A．
二．填空题
11．解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82＝172，
解得：x＝15，
②172+82＝x2，
解得：x＝（不合题意，舍去），
故答案为：15．
12．解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，
∴BD＝5cm，
∴AD＝＝＝12cm，
∴S△ABC＝BC AD＝×10×12＝60（cm2）．
故答案为：60cm2．
13．解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
∴BC2+AB2+AC2＝2BC2＝200．
故答案是：200．
14．解：EC＝；
故CD＝12﹣DE＝12﹣7＝5；
故AC＝＝12．
15．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则
x2＝4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5＝30
则x＝13，y＝6．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×19＝76．
故答案是：76．
16．解：①当第三边为斜边时，第三边＝＝；
②当边长为5的边为斜边时，第三边＝＝3．
17．解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即三角形的三个内角都小于60°．
故答案为：每个内角都小于60°．
18．解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即三角形的三个内角都小于60°．
故答案为：三角形的三个内角都小于60°．
19．解：∵△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵N为DE的中点，
∴AN＝DE，
∵四边形ADPE的面积为18，DE⊥AP，
∴，
即AN AP＝18，
当AP取最小值时，AN有最大值，
故当AP⊥BC时，AP值最小，最小值为，
此时AN＝，
故答案为．
20．解：如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝4cm
∴BD＝BC
∵等腰三角形ABC的周长为16cm
∴2AB+2BD＝16cm，即AB+BD＝8①，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝AB2﹣42②，
联立①②方程，解得，AB＝5cm，DB＝3cm
∴BC＝6cm
∴S△ABC＝BC AD＝×6×4＝12cm2
三．解答题
21．解：（1）∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12
∴BC＝＝15，
（2）∵BC＝15，BD＝8，CD＝17
∴BC2+BD2＝CD2
∴△BCD是直角三角形
∴S△BCD＝×15×8＝60．
22．（1）解：在Rt△BCD中，DC＝＝＝；
（2）解：在Rt△CDA中
AD＝＝＝；
（3）证明：∵BC2＝9，AC2＝16，
（BD+AD）2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
23．解：过点D作AD⊥BC，垂足为点D．
设BD＝x，则CD＝28﹣x．
在Rt△ABD中，AB＝30，BD＝x，
由勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2＝302﹣x2，
在Rt△ACD中，AC＝26，CD＝28﹣x，
由勾股定理可得AD2＝AC2﹣CD2＝262﹣（28﹣x）2，
∴302﹣x2＝262﹣（28﹣x）2，
解得：x＝18，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝302﹣x2＝302﹣182＝576，
∴AD＝24，
S△ABC＝BC AD＝×28×24＝336
则△ABC的面积为336．
24．解：（1）∠D是直角．
理由：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四边形ABCD＝AB BC+AD CD
＝×20×15+×24×7
＝234．
25．解：（1）AC＝＝，
AB＝＝，
BC＝＝；
（2）S△ABC＝3×3﹣×3×1﹣×2×1﹣×2×3＝3.5，
设点C到AB边的距离为h，则×h×AB＝3.5，
解得：h＝．
即点C到AB的距离是；
（3）由（2）可知△ABC的面积＝3.5．
26．解：如图：
连接BD，
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠CDB＝150°﹣60°＝90°，
△BCD是直角三角形，
于是BC+CD＝42﹣12﹣12＝18，从而CD＝18﹣x，
利用勾股定理列方程得（18﹣BC）2+122＝BC2，
解得BC＝13．
27．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．