2021-2022学年华东师大新版九年级上册数学《第24章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年华东师大新版九年级上册数学《第24章 解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是（　　）
A．66° B．36° C．56 D．46°
2．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高线，若BD＝2，BC＝6，则AB＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）
A．AC2＝AD AB B．CD2＝CA CB C．CD2＝AD DB D．BC2＝BD BA
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
5．直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于（　　）
A．13 B．12 C．10 D．5
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，BC＝4，则AB长为（　　）
A．6 B． C． D．2
8．在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（　　）
A．35° B．55° C．65° D．145°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若BE＝8cm，则AC的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
10．正比例函数y＝kx的图象经过点（3，2），则它与x轴所夹锐角的正切值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD＝4，CD＝9，则AD＝　 　．
12．已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为　 　．
13．在Rt△ABC中，锐角∠A＝35°，则另一个锐角∠B＝　 　．
14．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝　 　．
15．直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是　 　．
16．线段OA绕原点O逆时针旋转90°到OA′的位置，若A点坐标为，则点A′的坐标为　 　．
17．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的正弦值为　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 　．
19．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝3cm，则AC＝　 　cm．
20．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，BD＝5．则AC＝　 　．
三．解答题
21．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．
22．如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1＝50°，∠2＝60°，求∠A的度数．
23．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°．
（1）求作AB边上的高CD．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝2，BD＝4，求高CD的长．
24．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．
25．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若BD＝2cm，试求CD的长度．
27．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是　 　；
（3）在（2）的条件下，若AG＝，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝，求线段PQ的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°；
故选：B．
2．解：根据射影定理，AB2＝BC BD，
∵BD＝2，BC＝6，
∴AB＝2．
故选：C．
3．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2＝AD AB，CD2＝DA DB，BC2＝BD BA．
故选：B．
4．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
5．解：∵直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，
∴其斜边长为2×6.5＝13，
∴另一条直角边长＝＝12．
故选：B．
6．解：由点A的坐标为（4，3），那么OA＝＝5，
∴cosα的值为A的横坐标：OA＝4：5，
故选：B．
7．解：如图所示：∵sinA＝，BC＝4，
∴sinA＝＝＝，
解得：AB＝6．
故选：A．
8．解：∵在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
9．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝DB＝8cm，
∴∠DAE＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠DAE+∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AD＝4cm．
故选：A．
10．解：过A作AB⊥x轴于B，
∵A（3，2），
∴AB＝2，OB＝3，
∵正比例函数y＝kx的图象经过点（3，2），
∴它与x轴所夹锐角的正切值是：tan∠AOB＝＝，
故选：A．
二．填空题
11．解：
∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高，
∴AD2＝BD CD（射影定理），
∵BD＝4，CD＝9，
∴AD＝6．
12．解：（1）当等腰三角形ABC的腰长为5，底边长8时，
作底边BC的高AD，则BD＝CD＝4，
在Rt△ADB中，
∴cos∠B＝＝；
（2）当等腰三角形ABC的腰长为8，底边长5时，
作底边BC的高AD，则BD＝CD＝，
在Rt△ADB中，
∴cos∠B＝＝．
故答案为或．
13．解：∵在Rt△ABC中，锐角∠A＝35°，
∴另一个锐角∠B＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55°．
14．解：∵若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4
∴CD2＝AD×BD，即42＝3×BD解得：BD＝
在Rt△BCD中，∵BC2＝CD2+BD2，
∴BC＝＝＝．
故答案为：．
15．解：如图，∠ABC+∠BAC＝90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，
∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠AOB＝135°
∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°，
故答案为：45°或135°
16．解：如图：设A'（x，y）．
由于点A坐标为（1，），所以∠AOC＝30°，
而OA旋转90°，所以∠A'OD与∠AOC相等，
所以∠A'OD＝30°，
又由A点坐标可知A'O＝AO＝2，
所以A'D＝2×sin30°＝1 OD＝A'O×cos30°＝，
由于点A'位于第二象限，
所以A'坐标为（﹣，1）．
17．解：作AE⊥BC于点E．
∵矩形的面积＝BC CF＝2，平行四边形ABCD的面积＝2BC AE，
∴CF＝2AE，
∴sin∠ABC＝＝＝．
故答案是：．
18．解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
19．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝6，
∴AC＝＝3cm，
故答案为：3．
20．解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，BD＝5，
∴AC＝2BD＝2×5＝10，
故答案为：10．
三．解答题
21．解：由射影定理得，AB2＝BD BC，
则BD＝＝1.6．
22．解：∵MN∥EF，
∴∠BCD＝∠1＝50°．
在△BCD中，∠BCD＝50°，∠2＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD﹣∠2＝70°．
在Rt△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝20°．
23．解：（1）如图所示，CD即为所求；
（2）∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD2＝AD DB，
∵AD＝2，DB＝4，
∴CD＝2．
24．证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴BE＝DE＝AC，
∵F是BD的中点，
∴EF⊥BD．
25．（1）证明：∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°．
∵CD＝4t，AE＝2t，
又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝2t，
∴DF＝AE；
解：（2）∵DF∥AB，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t＝2t，
解得：t＝10，
即当t＝10时， AEFD是菱形；
（3）当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；
当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．理由如下：
当∠EDF＝90°时，DE∥BC．
∴∠ADE＝∠C＝30°
∴AD＝2AE
∵CD＝4t，
∴DF＝2t＝AE，
∴AD＝4t，
∴4t+4t＝60，
∴t＝时，∠EDF＝90°．
当∠DEF＝90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠DEA＝30°，
∴AD＝AE，
AD＝AC﹣CD＝60﹣4t，AE＝DF＝CD＝2t，
∴60﹣4t＝t，
解得t＝12．
综上所述，当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．
26．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BAD＝∠B＝30°；
（2）∵∠BAC＝120°，∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝90°，又∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝4．
27．证明：
（1）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，
∴AD＝BD
∵∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠DAC，
∵GF∥BD，
∴∠AGF＝∠ABC＝45°，
∴∠AGF＝∠BAD，
∴FA＝FG，
∴FG+DC＝FA+DF＝AD；
解：（2）FG﹣DC＝AD；
（3）如图，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABD＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴AD＝BD，
∵FG∥BC，
∴∠G＝∠DBA＝∠DAB，
∴AF＝FG
∴AG＝5，FG2+AF2＝AG2，
∴FG＝AF＝5
∵DC＝3由（2）知FG﹣DC＝AD，
∴AD＝BD＝2，BC＝1，DF＝3，
∴△FDC为等腰直角三角形
∴FC＝，
分别过B，N作BH⊥FG于点H，NK⊥BG于点K，
∴四边形DFHB为矩形，
∴HF＝BD＝2 BH＝DF＝3，
∴BH＝HG＝3，
∴BG＝
∵sinG＝，
∴NK＝×＝，
∴BK＝
∵∠MBN＝∠HBG＝45°，
∴∠MBH＝∠NBK，
∵∠MHB＝∠NKB＝90°，
∴△MBH∽△NBK
∴，
∴MH＝1，
∴FM＝1，
∵BC∥FG，
∴∠BCF＝∠CFN，
∵∠BPC＝∠MPFCB＝FM，
∴△BPC≌△MPF，
∴PC＝PF＝FC＝，
∵∠BQC＝∠NQF，
∴△BCQ∽△NFQ，
∴，
∴，
∴CQ＝FC＝＝，
∴PQ＝CP﹣CQ＝．