过三点的圆
二、教学目标
1.经历过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程.
2.. 知道过不在同一条直线上 的三个点画圆的方法
3.了解三角形的外接圆和外心.
三、教学重点和难点
重点： 经历过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程.
难点：知道过不在同一条直线上的三个点画圆的方法.
四、教学手段
现代课堂教学手段
五、教学方法
学生自己探索
六 、教学过程设计
（ 一）、 新授
1.过已知一个点A画圆，并考虑这样的圆有多少个 ？
2.过已知两 个点A、B画圆，并考虑这样的圆有多少个？
3.过已知三个点A、B、C画圆，并考虑这样的圆有多少个？
让学生以小组为单位 ，进行探索、思考、交流后，小组选派代表向全班学生展示本小组的探索成果，在展示后，接受其他学生的质疑.
得出结论：过一点可以画无数个圆；过两点也可以画无数个圆；这些圆的圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上；经过不在同一直线上的三个 点可以画一个圆，并且这样的圆只有一个.
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
给出三角形外接圆的概念：经过三角 形三个顶点可以作一个圆， 这 个 圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角 形的外心.
例：画已知三角形的外接圆.
（二）、小结
七、练习 设计
八、教学后记
1过三点的圆
教学目标：
1．知识目标：
（1）通过问题的解决过程，使学生明确三角形外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念，理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”。
（2）使学生能熟练掌握应用尺规过不在一直线上三点作圆的方法，并为今后学习交轨法作图做准备。
（3）向学生渗透转化、分类讨论等这样一些数学思想方法，为今后继续进一步学习数学打下基础。
2．能力目标：
（1）通过学生自己动手作图，在动手参与的过程中探索，发现科学知识，进一步提高学生动手做的积极性。
（2）提高学生应用数学知识解决生活中实际问题的能力。
3．情感目标：
（1）增强学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣和积极性。
（2）培养学生树立良好的创新意识，养成永无止境的科学探索精神。
教学重点：过不在一直线上的三点作圆的方法。
教学难点：如何确定圆的思维过程。
教学过程：
（一）投影片出示实际问题，设疑激情：
现有一块打碎的圆形玻璃镜子残片，想重新去玻璃店配一块同样大小的圆形玻璃镜子，请问这块残片还有用吗？怎样去配制呢？
思考：如何解决这一实际问题？下面我们共同探寻解决这一问题的办法。
（二）由浅入深，实践探究。
探究1：过一个已知点A如何作圆？（让学生动手完成）如图
思考：确定一个圆的关键是什么？（圆心和半径）
学生讨论并发现：过点A所作圆的圆心在哪儿？（圆心不定）
半径多大？（半径不定）
可以作几个这样的圆？（无数个）
探究2：过已知两点A、B如何作圆？（学生动手完成）如图2
学生继续讨论发现：
它们的圆心到A、B两点的距离怎样？能用式子表示吗？（OA=OB）
圆心在哪里？（在线段AB的垂直平分线上）
过点A、B两个点的圆有几个？（无数个）
探究3：过同一平面内三个点怎样作圆？分两种情况探究：
1．当这三点共线时，可作几个圆？（不能作出）
2．当这三点不共线时，过这三点怎样作圆？可作出几个？
（学生分析讨论：怎样确定圆心？圆心满足什么条件？怎样确定半径？形成思路，找到做法）。
已知：不在同一直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C。（学生口述作法，一生示范作图过程）
学生进一步讨论并发现：
圆心到三点的距离怎样？（OA=OB=OC）
圆心在哪里？（线段AB、BC、AC的垂直平分线的交点）
可作几个圆？（一个）
（三）归纳结论，解决初始问题：
1．定理：过不在同一直线上的三点确定一个圆。
（学生解释“确定”含义：有且只有，即存在又唯一）
2．理解相关概念：三解形的外接圆，外心，圆的内接三角形。如图：⊙O称为△ABC的外接圆，△ABC称为⊙O的内接三角形，O为三角形ABC的外心。
3．解决初始问题。（学生口述解决方法）
（1）在玻璃残片上任取三点ABC，连结AB、AC。
（2）分别做AB、AC的垂直平分线，并交于一点O，O为圆心。
（3）连结OA，以OA为半径画圆即可。
（四）巩固创新，思维拓展。
一．判断题：
1．过两点可以作无数个圆。（ ）
2．顶点都在圆上的三角形叫做圆的外接三角形。（ ）
3．三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。（ ）
4．三角形的外心到三边的距离相等。（ ）
5．经过不在一直线上的四点能作一个圆。（ ）
二．填空题：
如图：⊙O是△ABC的____圆，△ABC是⊙O的____三角形。O是△ABC的____心，它是__________线的交点，到三角形________距离相等。
三．解答题
1．过三角形的三个顶点是否都可以作圆？为什么？
2．一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？为什么？
3．三解形的外心有什么性质？它一定在三角形的内部吗？
画图说明（分组完成，比赛哪一组最快）
学生得出讨论结果，教师投影片显示：如图
（1）锐角三角形的外心在三角形的内部。
（2）钝角三角形的外心在三角形的外部。
（3）直角三角形的外心在斜边的中点处。
四．动手实践题：
教师出示丁字尺（CD是AB的垂直平分线）要求学生利用它来寻找右边这个圆的圆心。
（五）总结收获，畅谈体会：（学生畅所欲言，交流体会，教师鼓励补充）
通过本节课的学习，知道了怎样根据具体条件（如过一个点，两个点，三个点）确定一个圆的方法？了解了任何一个三角形都有一个外接圆，这个圆心所具有的特点和性质等，并且通过实践我们发现不同的三角形的外接圆的圆心位置是不同的，另外，通过本节内容学习，我们学会了转化、分类讨论的数学思想和方法。
（六）课下巩固（课本练习）
1(共22张PPT)
第28章 圆
第28章 圆
28.2 过三点的圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
确定圆的条件
三角形的外接圆
课时导入
复习提问
引出问题
问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？
问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？
问题3：如果店里师傅仅仅知道圆
的半径，他可以画出多少个这样的圆？
为什么？
知识点
确定圆的条件
知1－讲
感悟新知
1
1.如图 ，平面上有两点A，B，过点A，B的圆有多少
个 这些圆的圆心到点A，B的距离具有怎样的关系？
圆心是否在线段的垂 直平分线上？
知1－讲
感悟新知
2.如图，平面上三点A，B，C不在一条直线上.过点
A， B，C的圆是否存在？如果存在，这样的圆有
多少个？你能确定经过A，B， C三点的圆的圆心
及半径吗？说出你的想法并和同学进行交流.
知1－讲
感悟新知
讨论
当点A，B，C在同一条直线上时，过这三点的圆是否存在？
我们发现：过两点A，B的圆也有无数个，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上.过不在同一条直线上三点A，B，C的圆有且只有一个， 这个圆的圆心为线段AB，BC的垂直平分线的交点.过在同一条直线上三 点的圆不存在.
结论
不在同一条直线上的三点确定一个圆.
知1－讲
感悟新知
(1)经过平面内一点可以作无数个圆；圆心可以
是这一点之外任何点．
(2)经过平面内两点可以作无数个圆；圆心在连
接这两点的线段的垂直平分线上．
(3)经过平面内不在同一直线上的三点，可以作
一个圆，并且只能作一个圆；圆心为连接其中任意
两点的线段的垂直平分线的交点．
感悟新知
知1－练
例 1
下列关于确定一个圆的说法正确的是________．
①已知圆心一定能确定一个圆；②以已知线段作为半径一定能确定一个圆；③以已知线段作为直径一定能确定一个圆；④经过不在同一直线上的三个点一定能确定一个圆；⑤经过菱形的四个顶点一定能确定一个圆．
导引：“确定”的含义是“有且只有”，而且确定一个圆需
要两个条件：圆心和半径．①缺少半径的长度；
②缺少圆心的位置；⑤显然错．所以答案为③④.
③④
知1－讲
总 结
感悟新知
过平面内任意四点不一定能作出一个圆．过
四点作圆，应先过不在同一直线上的三点作圆，
若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点
在圆上，即过这四点可以作一个圆；否则不能．
感悟新知
知1－练
1 下列说法中正确的是( )
A．两个点确定一个圆
B．三个点确定一个圆
C．四个点确定一个圆
D．不共线的三个点确定一个圆
感悟新知
知1－练
当点A，B，C满足下列条件时，总能确定一个
圆的是( )
A．AB＝1，BC＝4
B．AB＝1，BC＝2，AC＝1
C．AB＝ －1，BC＝2 ＋2，AC＝ ＋3
D．AB＝3，BC＝7，AC＝5
感悟新知
知1－练
用尺规作过三角形三个顶点的圆.
已知：如图，△ABC.
求作：⊙O，使它过三点A，B，C.
作法：如图.
(1)分别作线段AB和BC的垂直平分线l1和l2.
设l1与l2相交于点O.
(2)以点O为圆心，OA为半径画圆.
⊙O即为所求.
例2
知1－讲
总 结
感悟新知
本题运用分类讨论思想解答，三点在和不在同一
条直线上，所得结果不同．当三点在同一条直线上时，
任意连两条线段，并作它们的垂直平分线，这两条垂
直平分线是平行的，两直线没有交点，即无法确定圆
心和半径，所以此时无法作圆．
感悟新知
知1－练
1 如图，已知直线a和直线外的两点A，B，经过A，B作一圆，使它的圆心在直线a上．
感悟新知
知1－练
如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直
线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点
三角形的外接圆
知2－讲
感悟新知
2
我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆(circumcircle)， 外接圆的圆心叫做三角形的外心(circumcenter) .
感悟新知
知2－讲
(1)三角形的外心的位置：锐角三角形的外心在
锐角三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点处，钝角三角形的外心在钝角三角形的外部．
(2)三角形外接圆的作法 ：
①作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
②以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点
的距离为半径作圆即可．
注意：一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无
数个内接三角形.
感悟新知
知2－练
例 3
已知△ABC中，∠A︰∠B︰∠C＝1︰3︰5，则
这个三角形的外心在( )
A．三角形的内部 B．三角形的外部
C．三角形的边上 D．无法确定
导引：根据三角形的内角和定理可知三个角的度数分别
是20°、60°和100°，所以这个三角形是钝角三
角形，外心在三角形的外部.
B
知2－讲
总 结
感悟新知
要确定三角形的外心的位置，我们首先要确定三角形的形状，由三角形的内角和等于180°，可以求得∠C＝100°，故此三角形的外心在三角形的外部．
感悟新知
知2－练
1 如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB＝1 000米，BC＝600米，AC＝800米，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在( )
A．边AB的中点处
B．边BC的中点处
C．边AC的中点处
D．∠C的平分线与边AB的交点处
感悟新知
知2－练
2 下列说法中，正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等
D．三角形有且只有一个外接圆
3 下列说法中，真命题的个数是( )
①任何三角形有且只有一个外接圆；② 任何圆有且只
有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形
内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经
过三点确定一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
课堂小结
1.三角形外心的性质：三角形的外心是它的外接圆的圆
心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形
各个顶点的距离相等；锐角三角形的外心在三角形的
内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形
的外心在三角形的外部．
2.三角形的外接圆有且只有一个；一个圆的内接三角形
却有无数个，这些三角形的外心重合．过三点的圆
学习目标：
1.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用.
2.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.
学习重点：经历过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程..
学习难点：知道过不在同一条直线上的三个点画圆的方法.
一、知识链接
1.过_____点能确定一条直线.
2.过三点能够作_____条直线.
3.过一点可以画出_____个圆.
4.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个交点到三角形三个顶点的距离_______.
二、新知预习
2.如图，平面上有两点A，B，过A，B的圆有多少个？这些圆的圆心到AB的距离具有怎样的关系？圆心是否在线段AB的垂直平分线上？
3.如图，平面上三点A，B，C不在同一条直线上，过点A,B,C的圆是否存在？如果存在，这样的圆有多少个？你能确定经过A，B，C三点的圆的圆心及半径吗？
4.当在A，B，C同一条直线上时，过这三点的圆是否存在？
我们发现：过两点A，B的圆也有_____个，这些圆的圆心都在线段AB的________上，过不在同一直线上的三点A，B，C的圆________，这个圆的圆心为线段AB，BC的_______的交点.过在同一条直线上的三点的圆不存在.
三、自学自测
1.经过一点的圆有_______个，经过两点的圆有_______ 个.
2.若平面上A、B、C三点所满足的条件是__________.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _____ _____________________________________________________________________________
一、要点探究
探究点1：以三点确定圆
例1：下列给定的三点能确定一个圆的是( )
A．线段AB的中点C及两个端点 B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点 D．矩形的对角线交点及两个顶点
【归纳总结】“不在同一直线上”这个条件非常重要，千万不能漏掉.
【针对训练】
1.A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
2.如图为一残破古物，请做出它的圆心
探究点2：三角形的外接圆及外心
【问题1】用尺规作过三角形三个顶点的圆.
已知：如图，△ABC.
求作：⊙O，使它过三点A，B，C.
作法：（1）分别作线段AB和BC的________l1和l2，设l1与l2相交于点O.
（2）以点O为圆心，_______为半径画圆，⊙ O即为所求.
【归纳】 （1）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做是三角形的外心.
（2）由作图可知，三角形的外心是三角形三条角平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.
【问题2】分别画出以下三个三角形的外接圆，并观察三角形外心的位置与三角形形状之间的关系.
直角三角形 锐角三角形 钝角三角形
【归纳】直角三角形的外心在三角形的斜边中点上，锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部.
例2：三角形的外心具有的性质是（）
A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等
C．外心在三角形外D．外心在三角形内
【归纳总结】无论哪种三角形，它们的外心都在任意两边的垂直平分线的交点处，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.
【针对训练】
1.等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（ ）
A.重心 B．垂心 C．外心 D．无法确定
2. 如图，有A，Ｃ三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
二、课堂小结
内容
_________的三点确定一个圆.三角形的外接圆及外心 经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的________，外接圆的圆心叫做是三角形的__________.
1.如图，,已知一条直线l和直线l外两定点A、B，且AB在l两旁，
则经过A、B两点且圆心在l上面的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．0个或1个或无数个
2.边长为2的等边内接于，则圆心O到一边的距离为________。
3.如果三角形三条边长分别为5，12，13 ，那么这个三角形外接圆半径的长为_____。
4.．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
5.已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为直角，求它的外接圆直径。
当堂检测参考答案：
1.B 2. 3.6.5
4.设经过A，B两点的直线表达式为y＝kx＋b，
由A(2，3)，B(－3，－7)，
得2k＋b＝3，－3k＋b＝－7，解得k＝2，b＝－1.
∴经过A，B两点的直线表达式为y＝2x－1；
当x＝5时y＝2x－1＝2×5－1＝9≠11，
所以点C(5，11)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上，
所以A，B，C三点可以确定一个圆．
5.略
1
