圆周角和圆心角，弧的关系
教学目标
(一)知识与技能
1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。
(二)过程与方法
1、通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。
2、通过观察图形，提高学生的识图的能力
3、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生探究问题的兴趣。
(三)情感与价值观
1、经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力。
2、通过积极引导，帮助学生有意识主动探究，并能在探究中获得成功的体验。
教学重点
圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．
教学难点
1． 认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。
2． 推论的灵活应用以及辅助线的添加
教学突破
让学生学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容，制作圆形纸片
教学过程
活动1： 创设情景，引入概念
师：课件（出示圆柱形海洋馆图片）
右图是圆柱形海洋馆的俯视图．海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物．
如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图， 表示圆弧形玻璃窗．同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，
师：同学甲的视角∠AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角．同学乙的视角∠ACB、同学丙的视角∠ADB和同学丁的视角∠AEB不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为圆周角．
师：提出问题
问题1：观察∠ACB、∠ADB和∠AEB的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？
问题2：∠ACB、∠ADB和∠AEB与∠AOB有什么区别？
问题3：∠ACB、∠ADB和∠AEB有哪些共同点？
（教师引导学生进行探究，并关注以下问题）
1、 问题的出示是否引起学生的兴趣
2、 学生是否理解示意图
3、 学生是否理解圆周角的定义
4、 学生是否清楚了要探究的数学问题
生：这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交．
师：评价并鼓励学生的总结给出肯定，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点，学生在学案上写出圆周角的定义．）
设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质．
跟踪练习：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？
（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答．）
设计意图：为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以有利于学生对本质属性与非本质进行比较．
活动2：问题探究
探究同弧所对圆周角及圆周角与圆心角的关系
师：下面我们继续研究海洋馆的问题，设想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同学的位置供你选择，你认为在哪个位置看到的海洋景象范围更广一些？
预设生：（会很肯定的说）当然是同学甲的位置可以看到更广的海洋范围了．
师提出：你是如何知道的？
预设生1：因为我发现∠AOB比∠ACB、∠ADB和∠AEB都大．
预设生2：因为发现在圆内当角的顶点距离弧越近角就越大
师提出：如果在乙、丙、丁三位同学的位置中选择，哪个位置看到的海洋范围更广一些？
预设生：（看了图形想了想）三个位置看到海洋范围的大小应该是一样的．
师提出问题：1、弧AB所对的圆周角的个数有多少个？
2、弧AB所对的圆周角的度数是否发生变化？
预设生：有无数个，度数相等
师：你是怎么知道的？
预设生：观察猜到的。
师：学习数学需要有观察、猜想但更重要的还要验证。请同学们验证你们的说法，并与同伴交流．
师提出问题：弧AB所对的圆周角与其所对的圆心角有什么关系？
（学生分组开始动手操作验证：有的借助量角器，用度量的方法进行验证；有的采用折叠重合的方法进行验证……）
预设生：(兴奋地惊叫着……)老师，我发现了：同学乙、丙、丁的视角∠ACB、∠ADB和∠AEB相等，同学甲的视角∠AOB比其他同学的视角都大，是它们的2倍!
（其他同学也都兴奋得不得了，教室里顿时一片欢腾）
设计意图：引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实，初步体会两种数量关系：①同弧所对的圆周角和圆心角的关系；②同弧所对的圆周角的关系．
师：下面，老师用计算机进一步验证我们刚才所得到的结论：
（教师开始在计算机上进行验证．）
首先采用《几何画板》的度量功能，量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，发现：∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB，接着，采用计算功能，计算∠ACB和∠AOB的比值，发现：∠ACB：∠AOB=1：2．
然后教师分别从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；②改变圆心角的度数；③改变圆的半径大小．
设计意图：通过《几何画板》做进一步演示与验证，用几何动态的语言来研究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解圆周角与圆心角的关系．
师：既然这样，我们请一位同学把所发现的结论用文字语言表述一下．
预设生1：同弧所对的圆周角相等，并且都等于圆心角的一半．
预设生2：他的说法不准确，应该是：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半．丢掉了“在同圆或等圆中”和“这条弧所对的”这两点．
师：前一位同学总结得很好，但后一位同学总结得更准确，我们要学习他们这种严谨治学的态度和精神．
设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．
活动3：用分类讨论的方法证明定理
师: 为了更好地说明结论的正确性,下面我们探究其论证方法．先请同学们在右图的⊙O中尽可能多地画所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系
（学生分组画图,每个小组总结所画的图形的情况，教师巡视,在同学们所画的图形中发现圆心与圆周角的三种位置关系的例子,并在展示台上演示．）
预设生1:圆心在圆周角的一边上
预设生2,圆心在圆周角的内部,
预设生3在圆周角的外部．
师:圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
师:在上述三种情况中我们先选择其中的一种情况进行证明,选哪种情况,如何证明
（学生先独立思考, 然后在同伴间悄悄交流自己的思路．）
预设生：选择第一种情况进行证明，因为圆心在圆周角的一边上，是最简单的一种情况．因为圆心在圆周角的一边上，所以AC是圆的直径,由同圆半径相等可知，OC=OB，所以∠C=∠B，根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，∠AOB=∠C+∠B=2∠C，即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
师：证明得非常好，掌声给予鼓励！
师：当圆心在圆周角的一边上的时候，圆周角∠ACB的边AC部分就是⊙O的直径，因此给证明思路的寻找带来了不少方便，当圆心不在圆周角的边上时，比如在角的内部，沿CO对折⊙O，展开后你有什么发现？对该情况下命题的证明有哪些启示？
（学生开始对折圆形纸片，观察，分析，交流……）
预设生：由对折发现，可以转化为第一种情况的证明，即，如果做过点C的直径CD，那么，由(1)中的结论可知：
∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，两式相加即可得到∠ACB=∠AOB．
师：很好！请同学们在学案上写出这种情况下的证明过程，之后完成最后一种情况的证明，同伴之间交流自己的证明思路．
（各小组学生思考交流后一种情况的证明思路，完成证明过程．一名学生黑板上展示证明过程，教师做思路和规范性点评．）
设计意图：在本段的教学中，注意突出图形性质的探究过程，重视学生主体地位的落实，通过观察度量、实验操作、图形变换、合情推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法．另外，教学时尽可能地从数学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达．
师：通过上面的证明，我们得到：同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．其实，等弧的情况下该命题也是成立的，命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想为什么？
（教师板书）
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
活动4：巩固练习，拓展性质
1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4各内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
2、如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠O=____．
3、如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=____．
（学生独立思考，交流，回答问题，教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果．）
设计意图：习题的作用是将基本知识技能化，通过技能的训练帮助学生理解基本知识．比如在第3题中，学生要求∠BDC，首先要根据定义判断这个角是圆中的什么角？要求它的值应该建立与哪个量的关系？（弧）借助于这个量又可以与谁相联系？（∠A）通过这样的转化考察了学生对定理的理解和应用，并使学生在从复杂的图形中分解出基本图形的训练中，培养空间识图能力．
活动5：课堂小结，巩固反思
师：问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？
预设生：我这节课学会了圆周角的定义和圆周角的定理，知道圆周角有两个要点，同弧对的圆周角式相等的关系，圆心角和圆周角是二倍的关系．
预设生：我通过这节课学会了从特殊到一般的解决问题的方法，知道分类和转化的数学思想．
预设生：这节课的学习，我感到很高兴，因为我学到了好些解决问题的方法，更重要的是，老师的提问和鼓励使我认识到自己的能力，相信一定能学好这门课！
……
师：同学们都反思总结得很好，真诚希望在今后的学习中能一如既往地养成勤反思多总结的好的学习习惯，使我们的学习成绩更上一层楼．
布置作业：
设计意图：通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．
第一种情况
第二种情况
第三种情况
1(共21张PPT)
28.3 圆心角和圆周角
第28章 圆
第2课时 圆周角与圆心角、
弧的关系
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
圆周角的定义
圆周角和圆心角的关系
同弧或等弧与所对圆周角的关系
课时导入
知识点
圆周角的定义
知1－讲
感悟新知
1
顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.
如图，图(1)中∠APB是圆周角，图(2)和图(3)中 ∠AQB不是圆周角，图(4)中的∠ASB是圆周角，而∠ASC不是圆周角.
感悟新知
知1－练
例 1
如图所示，∠BAC是圆周角的是( )
导引：顶点A必须在圆上，故排除D；AB , AC 必须分
别与圆相交，B，C都不符合，故排除B，C.
A
知1－讲
总 结
感悟新知
本题运用定义法和排除法，判断一个角是不是圆周角，必须抓住圆周角定义中的两个特征：
(1)角的顶点在圆周上；(2)角的两边都与圆相交．
感悟新知
知1－练
1 【中考·柳州】下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
知识点
圆周角和圆心角的关系
知2－讲
感悟新知
2
如图，∠AOB和∠APB分别是 所对
的圆心角和圆周角.
(1)当点P在圆上按顺时针方向移动时(点
P与点B不重合)，按照圆心O和圆周角的位置
关系，可以分为几种不同的情形？说出你的判断并画
出相应的图形.
知2－讲
感悟新知
(2)当圆心O落在∠APB的一条边上时，∠AOB与∠APB具有怎样的大小关系？说明理由.
(3)当圆心O在的内部和外部时，(2)中的结论还成立吗？和同学进行交流.
感悟新知
知2－讲
通过探究，我们发现，当圆心O在∠ARB的一条边上时，如图 ，∠APB= ∠AOB.
∴ OP =OA，
∴∠OPA=∠OAP.
又∵∠AOB=∠OP A+∠OAP，
∴∠AOB=2∠APB，即∠APB= ∠AOB.
知2－讲
感悟新知
对于圆心O在∠APB内部的情形，如图，连接
PO并延长交⊙O于点D，
∵PD过圆心O，
∴∠APD = ∠AOD，∠BPD = ∠BOD.
∴∠APD+∠BPD= ∠AOD+ ∠BOD.
∴∠APB= ∠AOB.
知2－讲
感悟新知
如图，对于圆心O在圆周角∠APB外部的情形，证明∠APB= ∠AOB.
做一做
结论
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半.
感悟新知
知2－练
例2
如图 ，点 A，B，C 均在⊙O 上，∠OAB = 46°.
求∠ACB的度数.
解：如图，连接OB.
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA.
∵∠OAB =46°，
∴∠AOB= 180°－2∠OAB
=180°－2×46°= 88°.
∴∠ACB= ∠AOB= 44°.
知2－讲
总 结
感悟新知
在同一个圆中，根据相等的弧所对的圆心角相等
和圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
半可知，若两条弧相等，则其中一条弧所对的圆心角
等于另一条弧所对的圆周角的2倍．
感悟新知
知2－练
1 [中考·河池]如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD＝48°，则∠BAC的大小是( )
A．60°
B．48°
C．30°
D．24°
感悟新知
知2－练
【中考·张家界】将量角器按如图所示的方式放置
在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB＝________．
知识点
同弧或等弧与所对圆周角的关系
知3－讲
感悟新知
3
结合弧、弦、圆心角之间的关系定理和圆周角
定理的推论可知：在同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧相等，所对的弦也相等，进而相等的弧所对的
圆心角也相等．即在同圆或等圆中，圆周角、圆心角、
弧、弦这四个量中有一组量相等，则可推出其他三组
量相等，也称之为“四量关系定理”.
感悟新知
知3－练
例 3
[中考·黔西南州]如图，在⊙O中， ，
∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为( )
A．65° B．75° C．50° D．55°
A
感悟新知
知3－练
导引：由 ，可知∠ABC＝∠ACB，
已知∠BAC＝50°，故根据三角形内
角和定理，可求出∠ABC的度数，再
根据“同弧所对的圆周角相等”，可得结果．
∵ ，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝ ×(180°－50°)
＝65°.∴∠AEC＝∠ABC＝65°，故选A.
知3－讲
总 结
感悟新知
在一个圆中求一个圆周角的度数，可以从三个
方面转化：
(1)转化为求该圆周角所对的弧所对的圆心角的
度数；
(2)转化为求该圆周角所对的弧所对的其他圆周
角的度数；
(3)转化为求与该圆周角所对的弧相等的弧所对
的圆心角或圆周角的度数．
感悟新知
知3－练
[中考·海南]如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是 上一点，则∠APB的度数为( )
A．45° B．30° C．75° D．60°
