垂径定理
教学目标 ：
知识与技能
理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
过程与方法
进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)情感态度与价值观
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．
难点：垂径定理的证明．
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题. 通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．
（二）垂径定理及证明： 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E． 求证：AE=EB．
证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，因此，AE=BE．从而得到圆的一条重要性质．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，
CD⊥AB AE=EB.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练 例1、已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．
解：连结OA，作OE⊥AB于E． 则AE=EB． ∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，∴⊙O的半径为5cm．
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2
例2、 已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．
练习1：教材练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流． 指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
（五）作业
课时作业设计
一、选择题．
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）．
A．CE=DE B． C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
(1) (2) (3)
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C． D．PO=PD
二、填空题
1．如图4，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．
(4) (5)
2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．
3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
三、综合提高题
1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．
2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．
答案:
一、1．D 2．D 3．D
二、1．8 2．8 10 3．AB=CD
三、1．AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E，则CE=DE，且CN∥OE∥DM．
∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，
∴AN=BM．
2．过O作OF⊥CD于F，如右图所示
∵AE=2，EB=6，∴OE=2，
∴EF=，OF=1，连结OD，
在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=，∴CD=2．
3．（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:
∵AB=16，AC=8，AD=8，
∴AC=（AB），∴∠CAB=60°，
同理可得∠DAB=30°，
∴∠DAC=30°．
（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．
1(共19张PPT)
第28章 圆
第28章 圆
28.4 垂径定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
垂径定理
垂径定理的推论
知识点
垂径定理
知1－讲
感悟新知
1
按下面的步骤做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
第二步，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；
感悟新知
知1－讲
总结
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧 为什么？
图1
图2
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦
所对的两条弧.
感悟新知
知1－讲
定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦
所对的两条弧．如图，CD⊥AB于点E，CD是⊙O的直
径，那么可用几何语言表述为：
感悟新知
知1－练
特别提醒：“垂直于弦的直径”中的
“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线. 其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
感悟新知
知1－练
例 1
已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且
AB⊥CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
解：如图，连接OA.设⊙O的半径为r.
∴ CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ AE=BE.∴AB=8，∴ AE=BE=4，
在 Rt△OAE 中，OA2=OE2+AE2，
OE=OD－ED，即r2 = (r－2)2+42.
解得r=5，从而2r=10.
所以直径CD的长为10.
知1－讲
总 结
感悟新知
利用垂径定理求线段长，一般是求弦长或半径
或弦心距，通用的方法就是在半径、弦长的一半及
弦心距三者构成的直角三角形中利用勾股定理求其
中的未知的线段长．
感悟新知
知1－练
[中考·温州]如图，在⊙O中，OC垂直于弦AB
于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( )
A.
B.
C.
D.
感悟新知
知1－练
【中考·广元】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点
E，则下列结论中错误的是( )
A．CE＝DE B．AE＝OE
C. D．△OCE≌△ODE
【中考·黄石】如图，⊙O的半径为13，弦AB的长
度是24，ON⊥AB，垂足为N，
则ON等于( )
A．5 B．7
C．9 D．11
知识点
垂径定理的推论
知2－讲
感悟新知
2
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧，如图，CD是⊙O的直径，AB是
弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE＝BE，那
么可用几何语言表述为：
知2－讲
感悟新知
拓宽视野：
对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的
任意两个，那么一定具备其他三个：（1）过圆心；
（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径）；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧.
简记为“知二推三”.
解题通法：
证明两条弦相等的方法：证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等. 根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法.
如图，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，
CD的中点，且∠AMN＝∠CNM.
求证：AB＝CD.
知2－练
感悟新知
例2
解题秘方：根据弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行 证明.
知2－练
感悟新知
证明：如图，连接OM，ON，OA，OC.
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴AB＝2AM，CD＝2CN.∴OM⊥AB， ON⊥CD.
∴∠OMA＝∠ONC＝90°.
∵∠AMN＝∠CNM，∴∠OMN＝∠ONM.
∴OM＝ON.又∵OA＝OC， ∴Rt△OAM≌Rt△OCN.∴AM＝CN.∴AB＝CD.
知2－讲
总 结
感悟新知
证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等．
根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见
的作辅助线的方法．
感悟新知
知2－讲
如图，已知AB为⊙O的直径，交CD于点E，
，则下列结论可能错误的是( )
A．CE＝DE B．AE＝OE
C. D．△OCE≌△ODE
知2－练
感悟新知
如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的
弦，AM＝BM，OM︰OC＝3︰5，
则AB的长为( )
A．8 cm B. cm
C．6 cm D．2 cm
如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝
60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( )
A. B．3
C．2 D．4
课堂小结
垂径定理基本图形计算中的四变量、两关系：
(1)四变量：如图，弦长为a，圆心到
弦的距离(弦心距)为d，半径为r，弧的中点
到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量中知
任意两个可求其他两个．
(2)两关系：① ＋d2＝r2；②h＋d＝r.
注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来
构造直角三角形
课堂小结
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧，如图，CD是⊙O的直径，AB
是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE＝BE，
那么可用几何语言表述为：垂径定理
一、明确学习目标
1、理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及推论。
2、通过折叠等方法理解圆是轴对称图形，从而进一步理解垂径定理及其推论。
二、自主预习
阅读教材内容，完成自主预习区。
三、合作探究
四、当堂检测
五、拓展提升
六、课后作业
PAGE
1
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M
(1)如图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
(2)你能发现图中有哪些等量关系 说一说你的理由.4
B
学生展示】
【教师小结】(1)是轴对称图形,其对称轴是直线CD
(2)AM=BM,即垂直于弦的直径CD平分弦AB,
并且平分弧AB、弧ADB
1.圆是对称图形,任何一条
都是它的对称轴,它也
是中心对称图形,对称中心为
2.垂直于弦的直径弦,并且平分弦所对的两条弧,即一条直线
如果满足:①
那么可以推出:③
⑤
3.平分弦(
)的直径垂直于弦,并且弦所对的两条弧
【小组讨论】
问题AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AE=9,BE=1,
求CD的长
【学生展示】
【教师小结】常用辅助线:连接半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形
问题⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM
的长的最小值和最大值各为多少
【学生展示】
教师小结】当OM与AB垂直时,OM最小(为什么),M在A(或B)处时
OM最大
问题已知:如图线段AB与⊙O交于C、D两点,
且OA=OB.求证:AC=BD
学生展示】
B
【教师小结】过圆心作垂径是圆中常用辅助线
问题已知⊙O的直径是50cm,⊙O的两条平行弦AB=40cm,
CD=48cm,求弦AB与CD之间的距离
【教师小结】①AB、CD在点O两侧,②AB、CD在点O同侧
学生展示】
1.圆是对称图形,任何一条
都是它的对称轴,它也
是中心对称图形,对称中心为
2.垂直于弦的直径弦,并且平分弦所对的两条弧,即一条直线
如果满足:①
那么可以推出:③
⑤
3.平分弦(
)的直径垂直于弦,并且弦所对的两条弧
【小组讨论】
问题AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AE=9,BE=1,
求CD的长
【学生展示】
【教师小结】常用辅助线:连接半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形
问题⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM
的长的最小值和最大值各为多少
【学生展示】
教师小结】当OM与AB垂直时,OM最小(为什么),M在A(或B)处时
OM最大
问题已知:如图线段AB与⊙O交于C、D两点,
且OA=OB.求证:AC=BD
学生展示】
B
【教师小结】过圆心作垂径是圆中常用辅助线
问题已知⊙O的直径是50cm,⊙O的两条平行弦AB=40cm,
CD=48cm,求弦AB与CD之间的距离
【教师小结】①AB、CD在点O两侧,②AB、CD在点O同侧
学生展示】
