第十一章 三角形 综合复习大全（含解析）
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三角形综合复习大全
知识梳理
三角形三边间的关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边。
定理的数学语言：如图1，
|b－c|＜a＜b＋c
推论：三角形任意两边之差小于第三边。
三角形的高、中线、角平分线
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
2、三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
3、三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
巩固练习
一．三角形的角平分线、中线和高（共7小题）
1．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．18cm
2．如图，∠BAD＝∠ADC＝90°，以AD为一条高线的三角形个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是 ．
5．如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为 ．
6．下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（ ）
A．B．C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C．锐角三角形的三条高交于一点
D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
二．三角形三边关系（共4小题）
8．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3
9．若一个三角形的三边长分别为5，8，a，则a的值可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．14
10．三角形的三边分别为3，a﹣1，8，则a的取值范围是 ．
11．不等边三角形的最长边是9，最短边是4，第三边的边长是奇数，则第三边的长度是 ．
三．三角形内角和定理（共11小题）
12．如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．60° C．30° D．40°
14．如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
15．已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
16．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
17．如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
18．如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（ ）
A．21° B．22° C．25° D．30°
19．如图，在三角形ABC中，DE∥BC，∠AED＝60°，∠A＝75°，则∠B＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
20．如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝ ．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
22．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AE平分∠BAC，AE、CD相交于点F，若∠BAC＝∠DCB．求证：∠CFE＝∠CEF．
四．三角形的外角性质（共5小题）
23．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝ ．
24．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的度数是（ ）
A．90° B．100° C．105° D．135°
25．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
26．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
27．如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（ ）
A．100° B．120° C．130° D．140°
五．直角三角形的性质（共2小题）
28．若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
29．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝30°
六．多边形内角与外角（共6小题）
30．一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
31．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 ．
32．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（ ）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
33．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
34．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
35．一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是 ．
参考答案与试题解析
一．三角形的角平分线、中线和高（共7小题）
1．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．18cm
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差＝AB﹣AC．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵AB＝10，AC＝8，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝10﹣8＝2（cm）．
故选：A．
2．如图，∠BAD＝∠ADC＝90°，以AD为一条高线的三角形个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由于AB⊥AD，AD⊥CD，根据三角形的高的定义，可确定以AD为一条高线的三角形的个数．
【解答】解：以AD为一条高线的三角形有△ADE、△ADC、△AEC、△DAB这4个，
故选：C．
3．画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
【解答】解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；
B．此图形中CD不是BC边上的高，不符合题意；
C．此图形中CD是AB边上的高，不符合题意；
D．此图形中AD是AB边上的高，不符合题意；
故选：A．
4．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是 1.8 ．
【分析】根据点到直线的距离的概念解答即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，AD＝1.8，
∴点A到BD的距离为1.8，
故答案为：1.8．
5．如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为 31cm ．
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长28cm，
∴AC+AD+CD＝28（cm），
∵AC＝10cm，
∴AD+CD＝18（cm），即AD+BD＝18（cm），
∵AB＝13cm，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝31（cm），
故答案为：31cm．
6．下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高的定义：”过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线“解答．
【解答】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．
故选：D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C．锐角三角形的三条高交于一点
D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
【解答】解：A．三角形的角平分线是线段，故A不符合题意；
B．三角形的中线是线段，故B不符合题意；
C．锐角三角形的三条高交于一点说法正确，故C符合题意；
D．锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故D不符合题意；
故选：C．
二．三角形三边关系（共4小题）
8．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣1＜x＜2+1，
即1＜x＜3．
故选：D．
9．若一个三角形的三边长分别为5，8，a，则a的值可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．14
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得3＜a＜13．
6在第三边长的取值范围内．
故选：A．
10．三角形的三边分别为3，a﹣1，8，则a的取值范围是 6＜a＜12 ．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜a﹣1＜8+3，
解得：6＜a＜12，
故答案为：6＜a＜12．
11．不等边三角形的最长边是9，最短边是4，第三边的边长是奇数，则第三边的长度是 7 ．
【分析】根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由不等边三角形和奇数的定义确定第三边的长度．
【解答】解：设第三边长是c，则9﹣4＜c＜9+4，
即5＜c＜13，
又∵第三边的长是奇数，不等边三角形的最长边为9，最短边为4，
∴c＝7．
故答案为：7．
三．三角形内角和定理（共11小题）
12．如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【分析】由三角形内角和定理可求∠ABC的度数，由平行线的性质可求解．
【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∵直线AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°，
故选：B．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．60° C．30° D．40°
【分析】先根据∠1＝50°由平行线的性质求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠A＝∠1＝50°，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°．
故选：D．
14．如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
【分析】根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数．
【解答】解：在△AEC 中，FA⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．
∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．
15．已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
【分析】由AD⊥BC，∠B＝60°及三角形内角和定理可求出∠BAD＝30°，再由∠DAE＝10°及AE平分∠BAC可求出∠BAC＝80°，在△ABC中由三角形内角和定理进而求得∠C为40°．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，
∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，
∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
答：∠C的度数是40°．
16．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE＝∠ABD即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝40°，
故选：B．
17．如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，再根据对顶角相等和三角形内角和，即可求得∠3的度数
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠1＝∠4，
∵∠1＝50°，∠2＝75°，∠2＝∠5，
∴∠4＝50°，∠5＝75°，
∵∠4+∠5+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣50°﹣75°＝55°，
故选：A．
18．如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（ ）
A．21° B．22° C．25° D．30°
【分析】依据AD，AE为△ABC的高线，角平分线，即可得到∠BAD和BAE的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠DAF的度数．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
又∵∠CAD＝21°，
∴∠BAC＝65°+21°＝86°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝86°＝43°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE＝65°﹣43°＝22°，
故选：B．
19．如图，在三角形ABC中，DE∥BC，∠AED＝60°，∠A＝75°，则∠B＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】根据三角形的内角和定理可求解∠ADE的度数，再利用平行线的性质可求解∠B的度数．
【解答】解：在△ADE中，∠AED+∠A+∠ADE＝180°，∠AED＝60°，∠A＝75°，
∴∠ADE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝45°，
故选：D．
20．如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝ 15° ．
【分析】利用三角形内角和定理可得出∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB，结合对顶角相等可得出∠B﹣∠D＝∠C﹣∠A＝15°，此题得解．
【解答】解：∵∠C+∠D+∠COD＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠B﹣∠D＝（180°﹣∠A﹣∠AOB）﹣（180°﹣∠C﹣∠COD）＝∠C﹣∠A＝85°﹣70°＝15°．
故答案为：15°．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
【分析】根据∠AOB＝125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
22．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AE平分∠BAC，AE、CD相交于点F，若∠BAC＝∠DCB．求证：∠CFE＝∠CEF．
【分析】根据题意可以求得∠BCD+∠ACD的度数，再根据直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立．
【解答】证明：在△ABC中，CD是高，∠BAC＝∠DCB，
∴∠CDA＝90°，∠BAC+∠ACD＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°；
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠CAE+∠CEA＝90°，
∴∠AFD＝∠CEA，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEA，
即∠CFE＝∠CEF．
四．三角形的外角性质（共5小题）
23．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝ 34° ．
【分析】先求∠DAC，再在△ADF可得答案．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°，
∵∠EFC＝70°，
∴∠AFD＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°，
故答案为：34°．
24．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的度数是（ ）
A．90° B．100° C．105° D．135°
【分析】根据题意求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2+60°＝45°+60°＝105°，
故选：C．
25．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．
【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD，
∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝2∠E+∠B．
26．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝40°，根据平行线的性质求出∠GAD＝90°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝40°，
∴∠HAC＝∠C＝40°，
∵∠FAH＝∠GAB＝60°，
∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝100°；
（2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，
∴∠BAC＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝40°，
∵GH∥BC，AD⊥BC，
∴∠GAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
27．如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（ ）
A．100° B．120° C．130° D．140°
【分析】根据三角形的外角和是360°解答即可．
【解答】解：∵∠1＝140°，∠2＝100°，
∴∠3＝360°﹣140°﹣100°＝120°，
故选：B．
五．直角三角形的性质（共2小题）
28．若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再结合∠B﹣∠C＝30°计算出∠B的度数即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
故选：D．
29．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝30°
【分析】根据垂直得出∠ADC＝∠BDC＝90°，再根据直角三角形的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，故本选项不符合题意；
B．∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，故本选项不符合题意；
C．∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠2+∠4＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠4，故本选项不符合题意；
D．根据已知条件不能推出∠1＝30°，故本选项符合题意；
故选：D．
六．多边形内角与外角（共6小题）
30．一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，结合方程即可求出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：B．
31．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 9 ．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得 ＝40，
解得n＝9．
故答案为9．
32．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（ ）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，
∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°，
设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1080°，
解得：n＝8，
即多边形是八边形，
故选：C．
33．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n﹣2） 180°＝1080°，即可求得n＝8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180°×（n﹣2）＝1080°，
解得：n＝8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8＝45°．
故选：B．
34．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
35．一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°得到（n﹣2）×180°＝144°×n，然后解方程即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
∴（n﹣2）×180°＝144°×n，
∴n＝10．
故答案为：10．
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三角形综合复习大全
知识梳理
三角形三边间的关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边。
定理的数学语言：如图1，
|b－c|＜a＜b＋c
推论：三角形任意两边之差小于第三边。
三角形的高、中线、角平分线
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
2、三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
3、三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
巩固练习
一．三角形的角平分线、中线和高（共7小题）
1．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．18cm
2．如图，∠BAD＝∠ADC＝90°，以AD为一条高线的三角形个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是 ．
5．如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为 ．
6．下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（ ）
A．B．C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C．锐角三角形的三条高交于一点
D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
二．三角形三边关系（共4小题）
8．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3
9．若一个三角形的三边长分别为5，8，a，则a的值可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．14
10．三角形的三边分别为3，a﹣1，8，则a的取值范围是 ．
11．不等边三角形的最长边是9，最短边是4，第三边的边长是奇数，则第三边的长度是 ．
三．三角形内角和定理（共11小题）
12．如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．60° C．30° D．40°
14．如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
15．已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
16．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
17．如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
18．如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（ ）
A．21° B．22° C．25° D．30°
19．如图，在三角形ABC中，DE∥BC，∠AED＝60°，∠A＝75°，则∠B＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
20．如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝ ．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
22．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AE平分∠BAC，AE、CD相交于点F，若∠BAC＝∠DCB．求证：∠CFE＝∠CEF．
四．三角形的外角性质（共5小题）
23．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝ ．
24．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的度数是（ ）
A．90° B．100° C．105° D．135°
25．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
26．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
27．如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（ ）
A．100° B．120° C．130° D．140°
五．直角三角形的性质（共2小题）
28．若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
29．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝30°
六．多边形内角与外角（共6小题）
30．一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
31．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 ．
32．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（ ）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
33．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
34．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
35．一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是 ．
参考答案与试题解析
一．三角形的角平分线、中线和高（共7小题）
1．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．18cm
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差＝AB﹣AC．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵AB＝10，AC＝8，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝10﹣8＝2（cm）．
故选：A．
2．如图，∠BAD＝∠ADC＝90°，以AD为一条高线的三角形个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由于AB⊥AD，AD⊥CD，根据三角形的高的定义，可确定以AD为一条高线的三角形的个数．
【解答】解：以AD为一条高线的三角形有△ADE、△ADC、△AEC、△DAB这4个，
故选：C．
3．画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
【解答】解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；
B．此图形中CD不是BC边上的高，不符合题意；
C．此图形中CD是AB边上的高，不符合题意；
D．此图形中AD是AB边上的高，不符合题意；
故选：A．
4．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是 1.8 ．
【分析】根据点到直线的距离的概念解答即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，AD＝1.8，
∴点A到BD的距离为1.8，
故答案为：1.8．
5．如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为 31cm ．
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长28cm，
∴AC+AD+CD＝28（cm），
∵AC＝10cm，
∴AD+CD＝18（cm），即AD+BD＝18（cm），
∵AB＝13cm，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝31（cm），
故答案为：31cm．
6．下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高的定义：”过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线“解答．
【解答】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．
故选：D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C．锐角三角形的三条高交于一点
D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
【解答】解：A．三角形的角平分线是线段，故A不符合题意；
B．三角形的中线是线段，故B不符合题意；
C．锐角三角形的三条高交于一点说法正确，故C符合题意；
D．锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故D不符合题意；
故选：C．
二．三角形三边关系（共4小题）
8．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣1＜x＜2+1，
即1＜x＜3．
故选：D．
9．若一个三角形的三边长分别为5，8，a，则a的值可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．14
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得3＜a＜13．
6在第三边长的取值范围内．
故选：A．
10．三角形的三边分别为3，a﹣1，8，则a的取值范围是 6＜a＜12 ．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜a﹣1＜8+3，
解得：6＜a＜12，
故答案为：6＜a＜12．
11．不等边三角形的最长边是9，最短边是4，第三边的边长是奇数，则第三边的长度是 7 ．
【分析】根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由不等边三角形和奇数的定义确定第三边的长度．
【解答】解：设第三边长是c，则9﹣4＜c＜9+4，
即5＜c＜13，
又∵第三边的长是奇数，不等边三角形的最长边为9，最短边为4，
∴c＝7．
故答案为：7．
三．三角形内角和定理（共11小题）
12．如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【分析】由三角形内角和定理可求∠ABC的度数，由平行线的性质可求解．
【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∵直线AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°，
故选：B．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．60° C．30° D．40°
【分析】先根据∠1＝50°由平行线的性质求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠A＝∠1＝50°，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°．
故选：D．
14．如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
【分析】根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数．
【解答】解：在△AEC 中，FA⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．
∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．
15．已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．
【分析】由AD⊥BC，∠B＝60°及三角形内角和定理可求出∠BAD＝30°，再由∠DAE＝10°及AE平分∠BAC可求出∠BAC＝80°，在△ABC中由三角形内角和定理进而求得∠C为40°．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，
∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，
∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
答：∠C的度数是40°．
16．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE＝∠ABD即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝40°，
故选：B．
17．如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，再根据对顶角相等和三角形内角和，即可求得∠3的度数
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠1＝∠4，
∵∠1＝50°，∠2＝75°，∠2＝∠5，
∴∠4＝50°，∠5＝75°，
∵∠4+∠5+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣50°﹣75°＝55°，
故选：A．
18．如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（ ）
A．21° B．22° C．25° D．30°
【分析】依据AD，AE为△ABC的高线，角平分线，即可得到∠BAD和BAE的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠DAF的度数．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
又∵∠CAD＝21°，
∴∠BAC＝65°+21°＝86°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝86°＝43°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE＝65°﹣43°＝22°，
故选：B．
19．如图，在三角形ABC中，DE∥BC，∠AED＝60°，∠A＝75°，则∠B＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】根据三角形的内角和定理可求解∠ADE的度数，再利用平行线的性质可求解∠B的度数．
【解答】解：在△ADE中，∠AED+∠A+∠ADE＝180°，∠AED＝60°，∠A＝75°，
∴∠ADE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝45°，
故选：D．
20．如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝ 15° ．
【分析】利用三角形内角和定理可得出∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB，结合对顶角相等可得出∠B﹣∠D＝∠C﹣∠A＝15°，此题得解．
【解答】解：∵∠C+∠D+∠COD＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠B﹣∠D＝（180°﹣∠A﹣∠AOB）﹣（180°﹣∠C﹣∠COD）＝∠C﹣∠A＝85°﹣70°＝15°．
故答案为：15°．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
【分析】根据∠AOB＝125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
22．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AE平分∠BAC，AE、CD相交于点F，若∠BAC＝∠DCB．求证：∠CFE＝∠CEF．
【分析】根据题意可以求得∠BCD+∠ACD的度数，再根据直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立．
【解答】证明：在△ABC中，CD是高，∠BAC＝∠DCB，
∴∠CDA＝90°，∠BAC+∠ACD＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°；
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠CAE+∠CEA＝90°，
∴∠AFD＝∠CEA，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEA，
即∠CFE＝∠CEF．
四．三角形的外角性质（共5小题）
23．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝ 34° ．
【分析】先求∠DAC，再在△ADF可得答案．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°，
∵∠EFC＝70°，
∴∠AFD＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°，
故答案为：34°．
24．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的度数是（ ）
A．90° B．100° C．105° D．135°
【分析】根据题意求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2+60°＝45°+60°＝105°，
故选：C．
25．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．
【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD，
∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝2∠E+∠B．
26．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝40°，根据平行线的性质求出∠GAD＝90°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝40°，
∴∠HAC＝∠C＝40°，
∵∠FAH＝∠GAB＝60°，
∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝100°；
（2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，
∴∠BAC＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝40°，
∵GH∥BC，AD⊥BC，
∴∠GAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
27．如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（ ）
A．100° B．120° C．130° D．140°
【分析】根据三角形的外角和是360°解答即可．
【解答】解：∵∠1＝140°，∠2＝100°，
∴∠3＝360°﹣140°﹣100°＝120°，
故选：B．
五．直角三角形的性质（共2小题）
28．若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再结合∠B﹣∠C＝30°计算出∠B的度数即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
故选：D．
29．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝30°
【分析】根据垂直得出∠ADC＝∠BDC＝90°，再根据直角三角形的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，故本选项不符合题意；
B．∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，故本选项不符合题意；
C．∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠2+∠4＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠4，故本选项不符合题意；
D．根据已知条件不能推出∠1＝30°，故本选项符合题意；
故选：D．
六．多边形内角与外角（共6小题）
30．一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，结合方程即可求出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
故这个多边形是六边形．
故选：B．
31．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 9 ．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得 ＝40，
解得n＝9．
故答案为9．
32．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（ ）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，
∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°，
设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1080°，
解得：n＝8，
即多边形是八边形，
故选：C．
33．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n﹣2） 180°＝1080°，即可求得n＝8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180°×（n﹣2）＝1080°，
解得：n＝8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8＝45°．
故选：B．
34．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
35．一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°得到（n﹣2）×180°＝144°×n，然后解方程即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
∴（n﹣2）×180°＝144°×n，
∴n＝10．
故答案为：10．
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