第十二章 全等三角形 综合复习大全（含解析）
文档属性
| 名称 | 第十二章 全等三角形 综合复习大全（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-10 11:01:48 | ||
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文档简介
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全等三角形综合复习大全
知识梳理
三角形全等的判定一
三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
三角形全等的判定二
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
三角形全等的判定三
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
三角形全等的判定四
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
三角形全等的判定五
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）
特别注意：全等三角形的判定中没有边边角定理，即不存在SSA定理
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
巩固练习
一．全等三角形的性质（共2小题）
1．如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
二．全等三角形的判定（共6小题）
3．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
4．如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
5．如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C．求证：△ACD≌△ABE．
6．如图，点A、F、C、D在同一各直线上．AB∥DE．AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．
7．如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
（1）若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数．
（2）求证：△ABC≌△DEF．
8．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：△ABF≌△DCE．
三．全等三角形的判定与性质（共22小题）
9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝ ．
10．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ ．
11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的大小为 度．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：AD+DE＝BC；
（2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，过A做AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连接CE交AD于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠FCD＝34°，求∠B的度数．
14．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
15．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
18．如图，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求证：DE⊥AB．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．
20．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．
（1）请说明CD＝BD；
（2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积．
21．如图，点D、E、F、B在同一直线上，DE＝BF，CE＝AF，EC∥AF．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠A＝30°，∠D＝40°，求∠DEC的度数．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
23．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．
24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE．
（1）求证：∠BDE＝∠CEF；
（2）若DE＝3，求EF的长．
25．如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AE的长．
26．如图，AD⊥CD，BC⊥CD，∠AED＝∠EBC，AD＝CE，求证：AE＝EB．
27．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，AE＝CE．
求证：（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD．
28．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．
（1）求证：BE＝DE．
（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．
29．如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．求证：BD＝CE．
30．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O．点E是BC的中点，连接OE．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求∠BEO的度数．
四．角平分线的性质（共11小题）
31．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
32．如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（ ）
A．9 B．5 C．10 D．不能确定
33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
34．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则DB＝（ ）
A．6cm B．8cm C．5cm D．4cm
36．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝9.6cm，则D到AB的距离为（ ）
A．2.2cm B．3.2cm C．4.8cm D．6.4cm
37．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
38．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝18，S△ABD＝27，则CD的长为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（ ）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
40．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
41．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
全等三角形
参考答案与试题解析
一．全等三角形的性质（共2小题）
1．如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据全等三角形的对应角相等得到∠DBE＝∠ABC，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，
∴∠DBE＝∠ABC＝80°，
∵∠D＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠DBE﹣∠D＝35°，
故选：D．
2．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，
∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．
二．全等三角形的判定（共6小题）
3．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
4．如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可．
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，
故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D能证明；
故选：B．
5．如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C．求证：△ACD≌△ABE．
【分析】根据题目中的条件，利用AAS可以证明△ACD≌△ABE．
【解答】证明：在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS）．
6．如图，点A、F、C、D在同一各直线上．AB∥DE．AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠D，求出AC＝DF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
7．如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
（1）若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数．
（2）求证：△ABC≌△DEF．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠A，再根据平行线的性质得出∠CHE＝∠A即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】（1）解：∵∠B＝55°，∠ACB＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°，
∵AB∥DE，
∴∠CHE＝∠A＝25°；
（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
8．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：△ABF≌△DCE．
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，根据平行线的性质得出∠B＝∠C，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
三．全等三角形的判定与性质（共22小题）
9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝ 70° ．
【分析】根据全等三角形的判定推出△BFD≌△CDE，根据全等三角形的性质得出∠BFD＝∠CDE，根据三角形的内角和定理求出∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，求出∠FDB+∠EDC＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°，再求出答案即可．
【解答】解：在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°，
∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
10．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ 100° ．
【分析】延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，如图所示：
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝25°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝130°，
∵∠EBC＝30°，
∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案为：100°．
11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的大小为 65 度．
【分析】根据作法可得AB＝CD，BC＝AD，然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，
∴AB＝CD，BC＝AD，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠ADC＝∠B＝65°．
故答案为：65．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：AD+DE＝BC；
（2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△ADB≌△EBC，可得BC＝BD，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得∠BDC＝∠BCD＝70°，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
在△ADB和△EBC中，
，
∴△ADB≌△EBC（ASA），
∴BC＝BD，
∵BE+DE＝DB，
∴AD+DE＝BC；
（2）∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠ADB＝40°．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，过A做AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连接CE交AD于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠FCD＝34°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据题意AB＝AC、AE＝AD，只需证明其对应两边的夹角相等即可证明△ABD≌△ACE；
（2）根据图形得出∠ACB+ACE+∠FCE＝180°，将相等的角代入求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD∽△ACE（SAS）．
（2）由（1）可知∠B＝∠ACB＝ACE，
∵∠ACB+ACE+∠FCE＝180°，
即2∠B+34°＝180°，
∴∠B＝73°．
14．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【分析】（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
15．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
【分析】由垂直的定义，DE＝DF，CE＝BF证明△BDF≌△CDE，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
【分析】（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，
∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE＝FA；
（2）解：∵△AEB≌△FAC，
∴∠E＝∠CAF，
∵∠E+∠EAG＝90°，
∴∠CAF+∠EAG＝90°，
即∠EAF＝90°．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
【分析】根据AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS证明△ABD≌△EDC，即可得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD．
18．如图，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求证：DE⊥AB．
【分析】先根据平行线的性质求出∠DBE＝∠C＝90°，再由HL定理可判定△ACB≌△EBD，由全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：设AB与DE相交于点M，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠DBE＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△ACB与Rt△EBD中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△EBD（HL），
∴∠ABC＝∠D，
∵∠D+∠MEB＝90°，
∴∠ABC+∠MEB＝90°，
∴∠EMB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，
∴DE⊥AB．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．
【分析】（1）根据对顶角和三角形内角和得到∠FBD＝∠CAD，利用AAS定理证明；
（2）由全等可得DF＝DC＝2，BD＝AD＝1+2＝3，再利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB＝∠CDA＝∠AEF＝90°，
∵∠FBD+∠FDB+∠BFD＝180°，
∠CAD+∠AEF+∠AFE＝180°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠CAD，
∵在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）．
（2）解：由（1）得：DF＝DC＝2，
∴BD＝AD＝1+2＝3，
Rt△ABD中，AB＝＝3．
20．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．
（1）请说明CD＝BD；
（2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积．
【分析】（1）由BE⊥AE，CF⊥AE，得∠BED＝∠CFD，再由D是EF的中点，得ED＝FD，根据角边角公里可得出△BED与△CFD全等，进而可得结论；
（2）由全等可得CF＝EB＝6，然后可得DF＝3，再计算出AD的长，利用三角形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED＝∠CFD，
∵D是EF的中点，
∴ED＝FD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴CD＝BD；
（2）由（1）得：CF＝EB＝6，
∵AF＝CF，
∴AF＝6，
∵D是EF的中点，
∴DF＝DE＝3，
∴AD＝9，
∴△ACD的面积：AD CF＝×9×6＝27．
21．如图，点D、E、F、B在同一直线上，DE＝BF，CE＝AF，EC∥AF．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠A＝30°，∠D＝40°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质可得结论；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵EC∥AF，
∴∠CEB＝∠AFD，
∴∠CED＝∠AFB，
在△CED和△AFB中，
，
∴△CED≌△AFB（SAS），
∴AB＝CD；
（2）解：由（1）得△CED≌△AFB，
∴∠C＝∠A＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠D+∠C）＝180°﹣（30°+40°）＝110°．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【分析】（1）由“AAS”即可证△ABD≌△EDC；
（2）结合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
23．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）根据SAS证明即可．
（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCF，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD＝100°，
∴∠BEC＝180°﹣100°＝80°，
∴∠CBE＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE．
（1）求证：∠BDE＝∠CEF；
（2）若DE＝3，求EF的长．
【分析】（1）由三角形内角和定理及平角的定义可得出答案；
（2）证明△BDE≌△CEF（ ASA），由全等三角形的性质得出DE＝EF．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∠DEF+∠FEC+∠BED＝180°，∠B＝∠DEF＝60°，
∴∠BDE＝∠CEF；
（2）解：在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（ ASA），
∴DE＝EF，
∵DE＝3，
∴EF＝3．
25．如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AE的长．
【分析】（1）根据ASA即可证明结论；
（2）结合（1）可得DE＝BC＝10cm，根据点B是EC的中点，可得EC＝2BC＝20cm，根据勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCB+∠ACF＝90°，
∴∠FAC＝∠DCB，
∴AC＝EC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴DE＝BC＝10cm，
∵点B是EC的中点，
∴EC＝2BC＝20cm，
∴AC＝EC＝20cm，
在Rt△AEC中，根据勾股定理，得
AE＝＝20（cm）．
26．如图，AD⊥CD，BC⊥CD，∠AED＝∠EBC，AD＝CE，求证：AE＝EB．
【分析】由“AAS”可证△ADE≌△ECB，可得AE＝BE．
【解答】证明：∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在△ADE和△ECB中，
，
∴△ADE≌△ECB（AAS），
∴AE＝BE．
27．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，AE＝CE．
求证：（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD．
【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论．
【解答】证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CEB＝90°．
∴∠AFE+∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CFD+∠ECB＝90°，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB．
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）；
（2）∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴CD＝BD，BC＝2CD．
∴AF＝2CD．
28．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．
（1）求证：BE＝DE．
（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．
【分析】（1）由角平分线的性质得∠BAE＝∠DAE，由SAS证得△BAE≌△DAE，即可得出结论；
（2）由△BAE≌△DAE，得出∠BEA＝∠DEA，推出∠BEC＝∠DEC，易求∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝39°，由等腰三角形与三角形内角和定理求出∠ACD＝∠ADC＝70.5°，由平行线的定义得出∠BEC＝∠ACD＝70.5°，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
在△BAE和△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△DAE，
∴∠BEA＝∠DEA，
∴∠BEC＝∠DEC，
∵AC平分∠BAD，∠BAD＝78°，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×78°＝39°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣39°）＝70.5°，
∵BE∥CD，
∴∠BEC＝∠ACD＝70.5°，
∴∠BEC＝∠DEC＝70.5°，
∴∠BED＝2×70.5°＝141°．
29．如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．求证：BD＝CE．
【分析】由“AAS”可证△ABE≌△ACD，可得AD＝AE，再根据线段的差可得BD＝CE．
【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）
∴AD＝AE，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CE．
30．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O．点E是BC的中点，连接OE．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求∠BEO的度数．
【分析】（1）根据“SSS”可以进行证明；
（2）由（1）得∠OBC＝∠OCB，得到△BOC 是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一可得结论．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
（2）解：由（1）得：∠OBC＝∠OCB，
∴△BOC 是等腰三角形．
∵点E是BC的中点，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO＝90°．
四．角平分线的性质（共11小题）
31．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
32．如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（ ）
A．9 B．5 C．10 D．不能确定
【分析】先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．
故选：C．
33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】直接利用角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴EC＝ED＝3cm．
故选：C．
34．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作三条公路所组成的三角形的内角平分线和外角平分线，然后根据角平分线的性质得到它们的交点满足条件．
【解答】解：如图，油库的可选位置有4处．
故选：D．
35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则DB＝（ ）
A．6cm B．8cm C．5cm D．4cm
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DC＝DE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
由题意得，DE＝4cm，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4（cm），
∴BD＝BC﹣DC＝6（cm），
故选：A．
36．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝9.6cm，则D到AB的距离为（ ）
A．2.2cm B．3.2cm C．4.8cm D．6.4cm
【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，先计算出DC＝3.2cm，然后根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3.2cm．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵BD：DC＝2：1，
∴DC＝BC＝×9.6＝3.2（cm），
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3.2cm，
即D到AB的距离为3.2cm．
故选：B．
37．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积＝△DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积，
设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积，
∴24﹣S＝18+S，
解得，S＝3，
故选：B．
38．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝18，S△ABD＝27，则CD的长为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×18 DE＝27，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：C．
39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（ ）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
【分析】作DH⊥BC于点H，利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可求出对应三角形的高，即可求解．
【解答】解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
40．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
【分析】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8．
41．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB DE+BC DF＝DE （AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，∴DE＝4．
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全等三角形综合复习大全
知识梳理
三角形全等的判定一
三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
三角形全等的判定二
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
三角形全等的判定三
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
三角形全等的判定四
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
三角形全等的判定五
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）
特别注意：全等三角形的判定中没有边边角定理，即不存在SSA定理
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
巩固练习
一．全等三角形的性质（共2小题）
1．如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
二．全等三角形的判定（共6小题）
3．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
4．如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
5．如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C．求证：△ACD≌△ABE．
6．如图，点A、F、C、D在同一各直线上．AB∥DE．AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．
7．如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
（1）若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数．
（2）求证：△ABC≌△DEF．
8．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：△ABF≌△DCE．
三．全等三角形的判定与性质（共22小题）
9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝ ．
10．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ ．
11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的大小为 度．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：AD+DE＝BC；
（2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，过A做AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连接CE交AD于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠FCD＝34°，求∠B的度数．
14．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
15．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
18．如图，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求证：DE⊥AB．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．
20．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．
（1）请说明CD＝BD；
（2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积．
21．如图，点D、E、F、B在同一直线上，DE＝BF，CE＝AF，EC∥AF．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠A＝30°，∠D＝40°，求∠DEC的度数．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
23．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．
24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE．
（1）求证：∠BDE＝∠CEF；
（2）若DE＝3，求EF的长．
25．如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AE的长．
26．如图，AD⊥CD，BC⊥CD，∠AED＝∠EBC，AD＝CE，求证：AE＝EB．
27．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，AE＝CE．
求证：（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD．
28．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．
（1）求证：BE＝DE．
（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．
29．如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．求证：BD＝CE．
30．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O．点E是BC的中点，连接OE．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求∠BEO的度数．
四．角平分线的性质（共11小题）
31．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
32．如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（ ）
A．9 B．5 C．10 D．不能确定
33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
34．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则DB＝（ ）
A．6cm B．8cm C．5cm D．4cm
36．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝9.6cm，则D到AB的距离为（ ）
A．2.2cm B．3.2cm C．4.8cm D．6.4cm
37．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
38．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝18，S△ABD＝27，则CD的长为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（ ）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
40．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
41．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
全等三角形
参考答案与试题解析
一．全等三角形的性质（共2小题）
1．如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据全等三角形的对应角相等得到∠DBE＝∠ABC，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，
∴∠DBE＝∠ABC＝80°，
∵∠D＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠DBE﹣∠D＝35°，
故选：D．
2．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，
∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．
二．全等三角形的判定（共6小题）
3．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
4．如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可．
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，
故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D能证明；
故选：B．
5．如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C．求证：△ACD≌△ABE．
【分析】根据题目中的条件，利用AAS可以证明△ACD≌△ABE．
【解答】证明：在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS）．
6．如图，点A、F、C、D在同一各直线上．AB∥DE．AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠D，求出AC＝DF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
7．如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
（1）若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数．
（2）求证：△ABC≌△DEF．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠A，再根据平行线的性质得出∠CHE＝∠A即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】（1）解：∵∠B＝55°，∠ACB＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°，
∵AB∥DE，
∴∠CHE＝∠A＝25°；
（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
8．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：△ABF≌△DCE．
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，根据平行线的性质得出∠B＝∠C，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
三．全等三角形的判定与性质（共22小题）
9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝ 70° ．
【分析】根据全等三角形的判定推出△BFD≌△CDE，根据全等三角形的性质得出∠BFD＝∠CDE，根据三角形的内角和定理求出∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，求出∠FDB+∠EDC＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°，再求出答案即可．
【解答】解：在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°，
∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
10．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ 100° ．
【分析】延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，如图所示：
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝25°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝130°，
∵∠EBC＝30°，
∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案为：100°．
11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的大小为 65 度．
【分析】根据作法可得AB＝CD，BC＝AD，然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，
∴AB＝CD，BC＝AD，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠ADC＝∠B＝65°．
故答案为：65．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：AD+DE＝BC；
（2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△ADB≌△EBC，可得BC＝BD，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得∠BDC＝∠BCD＝70°，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
在△ADB和△EBC中，
，
∴△ADB≌△EBC（ASA），
∴BC＝BD，
∵BE+DE＝DB，
∴AD+DE＝BC；
（2）∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠ADB＝40°．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，过A做AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连接CE交AD于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠FCD＝34°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据题意AB＝AC、AE＝AD，只需证明其对应两边的夹角相等即可证明△ABD≌△ACE；
（2）根据图形得出∠ACB+ACE+∠FCE＝180°，将相等的角代入求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD∽△ACE（SAS）．
（2）由（1）可知∠B＝∠ACB＝ACE，
∵∠ACB+ACE+∠FCE＝180°，
即2∠B+34°＝180°，
∴∠B＝73°．
14．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【分析】（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
15．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
【分析】由垂直的定义，DE＝DF，CE＝BF证明△BDF≌△CDE，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
【分析】（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，
∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE＝FA；
（2）解：∵△AEB≌△FAC，
∴∠E＝∠CAF，
∵∠E+∠EAG＝90°，
∴∠CAF+∠EAG＝90°，
即∠EAF＝90°．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
【分析】根据AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS证明△ABD≌△EDC，即可得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD．
18．如图，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求证：DE⊥AB．
【分析】先根据平行线的性质求出∠DBE＝∠C＝90°，再由HL定理可判定△ACB≌△EBD，由全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：设AB与DE相交于点M，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠DBE＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△ACB与Rt△EBD中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△EBD（HL），
∴∠ABC＝∠D，
∵∠D+∠MEB＝90°，
∴∠ABC+∠MEB＝90°，
∴∠EMB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，
∴DE⊥AB．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．
【分析】（1）根据对顶角和三角形内角和得到∠FBD＝∠CAD，利用AAS定理证明；
（2）由全等可得DF＝DC＝2，BD＝AD＝1+2＝3，再利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB＝∠CDA＝∠AEF＝90°，
∵∠FBD+∠FDB+∠BFD＝180°，
∠CAD+∠AEF+∠AFE＝180°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠CAD，
∵在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）．
（2）解：由（1）得：DF＝DC＝2，
∴BD＝AD＝1+2＝3，
Rt△ABD中，AB＝＝3．
20．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．
（1）请说明CD＝BD；
（2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积．
【分析】（1）由BE⊥AE，CF⊥AE，得∠BED＝∠CFD，再由D是EF的中点，得ED＝FD，根据角边角公里可得出△BED与△CFD全等，进而可得结论；
（2）由全等可得CF＝EB＝6，然后可得DF＝3，再计算出AD的长，利用三角形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED＝∠CFD，
∵D是EF的中点，
∴ED＝FD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴CD＝BD；
（2）由（1）得：CF＝EB＝6，
∵AF＝CF，
∴AF＝6，
∵D是EF的中点，
∴DF＝DE＝3，
∴AD＝9，
∴△ACD的面积：AD CF＝×9×6＝27．
21．如图，点D、E、F、B在同一直线上，DE＝BF，CE＝AF，EC∥AF．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠A＝30°，∠D＝40°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质可得结论；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵EC∥AF，
∴∠CEB＝∠AFD，
∴∠CED＝∠AFB，
在△CED和△AFB中，
，
∴△CED≌△AFB（SAS），
∴AB＝CD；
（2）解：由（1）得△CED≌△AFB，
∴∠C＝∠A＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠D+∠C）＝180°﹣（30°+40°）＝110°．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【分析】（1）由“AAS”即可证△ABD≌△EDC；
（2）结合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
23．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）根据SAS证明即可．
（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCF，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD＝100°，
∴∠BEC＝180°﹣100°＝80°，
∴∠CBE＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE．
（1）求证：∠BDE＝∠CEF；
（2）若DE＝3，求EF的长．
【分析】（1）由三角形内角和定理及平角的定义可得出答案；
（2）证明△BDE≌△CEF（ ASA），由全等三角形的性质得出DE＝EF．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∠DEF+∠FEC+∠BED＝180°，∠B＝∠DEF＝60°，
∴∠BDE＝∠CEF；
（2）解：在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（ ASA），
∴DE＝EF，
∵DE＝3，
∴EF＝3．
25．如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AE的长．
【分析】（1）根据ASA即可证明结论；
（2）结合（1）可得DE＝BC＝10cm，根据点B是EC的中点，可得EC＝2BC＝20cm，根据勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCB+∠ACF＝90°，
∴∠FAC＝∠DCB，
∴AC＝EC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴DE＝BC＝10cm，
∵点B是EC的中点，
∴EC＝2BC＝20cm，
∴AC＝EC＝20cm，
在Rt△AEC中，根据勾股定理，得
AE＝＝20（cm）．
26．如图，AD⊥CD，BC⊥CD，∠AED＝∠EBC，AD＝CE，求证：AE＝EB．
【分析】由“AAS”可证△ADE≌△ECB，可得AE＝BE．
【解答】证明：∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在△ADE和△ECB中，
，
∴△ADE≌△ECB（AAS），
∴AE＝BE．
27．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，AE＝CE．
求证：（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD．
【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论．
【解答】证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CEB＝90°．
∴∠AFE+∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CFD+∠ECB＝90°，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB．
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）；
（2）∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴CD＝BD，BC＝2CD．
∴AF＝2CD．
28．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．
（1）求证：BE＝DE．
（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．
【分析】（1）由角平分线的性质得∠BAE＝∠DAE，由SAS证得△BAE≌△DAE，即可得出结论；
（2）由△BAE≌△DAE，得出∠BEA＝∠DEA，推出∠BEC＝∠DEC，易求∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝39°，由等腰三角形与三角形内角和定理求出∠ACD＝∠ADC＝70.5°，由平行线的定义得出∠BEC＝∠ACD＝70.5°，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
在△BAE和△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△DAE，
∴∠BEA＝∠DEA，
∴∠BEC＝∠DEC，
∵AC平分∠BAD，∠BAD＝78°，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×78°＝39°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣39°）＝70.5°，
∵BE∥CD，
∴∠BEC＝∠ACD＝70.5°，
∴∠BEC＝∠DEC＝70.5°，
∴∠BED＝2×70.5°＝141°．
29．如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．求证：BD＝CE．
【分析】由“AAS”可证△ABE≌△ACD，可得AD＝AE，再根据线段的差可得BD＝CE．
【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）
∴AD＝AE，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CE．
30．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O．点E是BC的中点，连接OE．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求∠BEO的度数．
【分析】（1）根据“SSS”可以进行证明；
（2）由（1）得∠OBC＝∠OCB，得到△BOC 是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一可得结论．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
（2）解：由（1）得：∠OBC＝∠OCB，
∴△BOC 是等腰三角形．
∵点E是BC的中点，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO＝90°．
四．角平分线的性质（共11小题）
31．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
32．如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（ ）
A．9 B．5 C．10 D．不能确定
【分析】先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．
故选：C．
33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】直接利用角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴EC＝ED＝3cm．
故选：C．
34．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作三条公路所组成的三角形的内角平分线和外角平分线，然后根据角平分线的性质得到它们的交点满足条件．
【解答】解：如图，油库的可选位置有4处．
故选：D．
35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则DB＝（ ）
A．6cm B．8cm C．5cm D．4cm
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DC＝DE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
由题意得，DE＝4cm，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4（cm），
∴BD＝BC﹣DC＝6（cm），
故选：A．
36．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝9.6cm，则D到AB的距离为（ ）
A．2.2cm B．3.2cm C．4.8cm D．6.4cm
【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，先计算出DC＝3.2cm，然后根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3.2cm．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵BD：DC＝2：1，
∴DC＝BC＝×9.6＝3.2（cm），
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3.2cm，
即D到AB的距离为3.2cm．
故选：B．
37．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积＝△DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积，
设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积，
∴24﹣S＝18+S，
解得，S＝3，
故选：B．
38．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝18，S△ABD＝27，则CD的长为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×18 DE＝27，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：C．
39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（ ）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
【分析】作DH⊥BC于点H，利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可求出对应三角形的高，即可求解．
【解答】解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
40．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
【分析】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8．
41．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB DE+BC DF＝DE （AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，∴DE＝4．
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