浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（文）试卷

2012学年第一学期“温州八校”期初联考
数学（文科）试卷 2012.9
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.
参考公式：如果事件互斥，那么 棱柱的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高球的表面积公式 棱锥的体积公式球的体积公式 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高其中表示球的半径 棱台的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．集合,,若,则的值为（ ▲ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．已知向量都是非零向量，“”是“”的（ ▲ ）
A．充分非必要条件． B．必要非充分条件．
C．充要条件． D．既非充分也非必要条件．
3．阅读右图的程序框图若输出的值等于,那么在程序框图中的判断框内
应填写的条件是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，，则=（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ▲ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知直线与垂直，则的值是（ ▲ ）
A．1或3 B．1或5 C．1或4 D．1或2
7．将函数的图象向右平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析
式是（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．函数的值域为（ ▲ ）
A． B． C． D．
9．若是双曲线上一点，且满足，则双曲线离心率为（ ▲ ）
A． B． C． D．
10．已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数 的范围是( ▲ )
A． B． C． D．
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，
则由图形中的数据，可知其中位数为 ▲ ．
12．已知（a∈R，为虚数单位），若复数z
在复平面内对应的点在实轴上，则a= ▲ ．
13．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，和为5的概
率是__▲____．
14．一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2的
正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体
积为 ▲ ．
15．已知实数、满足，则的最小值是 ▲ ．
16．已知单位向量的夹角为120°，当取得最小值时 ▲ ．
17．对于函数，存在区间，当时，，则称为倍值函数。已知是倍值函数，则实数的取值范围是 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分14分）在锐角中，角所对边分别为，已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
19．（本小题满分14分）等差数列的首项为，公差，前项和为，其中
。
（Ⅰ）若存在，使成立，求的值；
（Ⅱ）是否存在，使对任意大于1的正整数均成立？若存在，求出的值；否则，说明理由．
20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，与平面所成角的正切值依次是和，，依次是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（本小题满分15分）已知函数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若曲线过原点的切线与函数的图像有两个交点，试求b的取值范围.
22．（本小题满分14分）已知直线L：与抛物线C：，相交于两点，设点，的面积为.
（Ⅰ）若直线L上与连线距离为的点至多存在一个，求的范围。
（Ⅱ）若直线L上与连线的距离为的点有两个，分别记为，且满足 恒成立，求正数的范围.
2012学年第一学期“温州八校”期初联考
数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共5０分）
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
答案 D A A B C C A D B D
二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）
11．13 12．1 13． 14．4 15．-2 16．1 17．
三、解答题（本大题共5小题，共72分）
18．（本小题满分14分）在锐角中，角所对边分别为，已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
解: （Ⅰ）在锐角中，由可得,………………………2分
则 ………………7分
（Ⅱ） 由得, …………………………10分
又由余弦定理得,可解得 …………………………14分
19．（本小题满分14分）等差数列的首项为，公差，前项和为，其中.
（Ⅰ）若存在，使成立，求的值；
（Ⅱ）是否存在，使对任意大于1的正整数均成立？若存在，求出的值；否则，说明理由．
解：（Ⅰ）由条件得，
整理得：
由求根公式，知必为完全平方数，
，逐个检验知，=1符合要求，此时；…………………………7分
（Ⅱ）由，代入得
整理，变量分离得：
取到最小值，
故不存在，使对任意大于1的正整数均成立 ………………… 14分
20．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，与平面所成角的正切值依次是和，，依次是的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.解：（1）∵与平面所成角的正切值依次
是和,∴
∵平面,底面是矩形
∴平面 ∴
∵是的中点 ∴
∴ …………………………7分
（2）解法一：∵平面，∴，又,
∴平面，取中点，中点，联结，
则且，是平行四边形，
∴即为直线与平面所成的角.
在中，，，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：分别以为轴、轴、轴建立空间
直角坐标系，依题意，，则各点坐标分别是
，，，，
，∴，，,
又∵平面，
∴平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
,
∴直线与平面所成角的正弦值为. …………………………15分
21．（本小题满分15分）已知函数
(Ⅰ) 求的值；
（Ⅱ）若曲线过原点的切线与函数的图像有两个交点，试求b的取值范围.
解： (Ⅰ) ，又函数有极大值
，得
在上递增，在上递减
，得 …………………………7分
（Ⅱ）设切点，则切线斜率
所以切线方程为
将原点坐标代入得，所以
切线方程为
由得
设
则令，得
所以在上递增，在上递减
所以
若有两个解，则
得 …………………………15分
22．（本小题满分14分）如图，已知直线L：与抛物线C：，相交于两点，设点，的面积为。
（1）若直线L上与连线距离为的点至多存在一个，求的范围。
（2）若直线L上与连线的距离为的点有两个，分别记为，且满足恒成立，求正数的范围。
解：（1）由已知， 直线L与抛物线相交，所以
，即… (1)
又直线L与以M为圆心的单位圆相离或相切，所以，…（2）
由（1）（2）得：
…………………………7分
（2）由题意可知，当直线L与以M为圆心的单位圆相交于点 C，D时，可得
，且
令，
令，
，当且仅当取到最小值是
所以， …………………………14分
F
E
D
B
C
A
P
H
G
F
E
D
B
C
A
P
x
y
z