探索勾股定理教案

课时课题：第 一 章 第 二 节 探索勾股定理（第 2 课时）
课型：新授课
授课时间：2012 年9 月4 号，星期一 ，第1、3 节课
教学目标：
1、经历探索直角三角形三边间的数量关系，培养学生的说理和简单推理的意识和能力。
2、通过探索过程，使学生理解并掌握勾股定理，并能利用勾股定理解决一些实际问题。
3、培养学生的动手操作能力、合作交流意识。
教法与学法指导：
如何发展学生的推理能力是初中阶段数学老师需要重点关注的地方之一，所以我打算采用“引导—探究—发现—应用”法来进行教学。在如何得到新知识这一问题，是学生能否很好的掌握并理解新知识的关键，我认为，现阶段最适合学生的方法在学生现有的知识基础上引导学生“自主探究与合作交流”完成新知识的学习。
勾股定理的验证是本节课的重点，如何验证勾股定理和勾股定理的应用是难点。所以我打算通过学生对旧知识的复习，直接引导学生重点研究运用拼图的方法对勾股定理进行验证，让学生明确方向，避免走弯路，产生混淆。在勾股定理的应用方面，我准备先引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等。
课前准备：相同规格的直角三角形、直尺、三角板、实物投影。
教学过程：
一、创设问题情景，引入新课.
1、上节课我们通过测量和数格子的方法发现了直角三角形三边的关系（即勾股定理），那么谁能叙述一下勾股定理呢？
（学生回答 教师适当评价鼓励）
2、大家对勾股定理理解掌握的很好，但是同学们知道吗，严格意义来讲，通过测量和数格子的方法验证的勾股定理，只能是一些特殊值.今天我们一起继续学习勾股定理的验证.
同学们在6000多年前三国时期的数学家赵爽已经完成了勾股定理的验证，大家有没有信心完成？
（学生回答:有）
接着大家一起来看这幅图，知道他的名字吗
弦图，也是2002年世界数学家大会会标.大家别小看这幅图，三国时期的数学家赵爽就是用这幅图完成了勾股定理的验证.
同学们观察一下是如何拼成的
(学生回答)
回答的太棒了，今天我们就通过拼图，来完成勾股定理的验证.
（学生组内讨论交流一下，有验证的方向或思路，并保留等待验证）
3、追溯到很久很久的上学期，我们就用拼图的方法验证了一个公式，大家还记得吗？
完全平方公式的验证
大的正方形的面积可以表示为 ；
又可以表示为 ；
所以 = .
大家完成的很棒，我们能不能把这种方法，应用到“弦图”中，验证勾股定理呢？
二、大家一起来
四个同学一组拿出自己的直角三角形，拼成弦图进行勾股定理的验证.
大正方形的面积也有两种表示方法：
既可以表示为c2，又可以表示为ab×4+(b－a)2
对比两种表示方法可得c2=ab×4+(b－a)2.化简得c2=a2+b2.
鼓励学生大胆展示本组的验证过程，找一组好的作模本投影展示，讲解.
同时也要找出几组有问题的进行展示，明确问题，解决问题，引以为戒.
让学生说说与自己之前课刚开始时的思路有何异同，自己有什么感想.
三、思绪飞扬
真棒！同学们利用拼图的方法验证勾股定理.同学们知道吗？在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的.有人做过统计，说有五百余种.大家能不能利用手中的直角三角形继续验证呢？大家试一试4个直角三角形，还能拼成正方形吗？还可以验证勾股定理吗？
学生组内讨论交流，学生拼出来的图形一定会很多，教师注意巡查，发现不足及时指导，鼓励学生进行展示.
我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c的正方形.观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a+b).要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.
大正方形面积可以表示为：(a+b)2，又可以表示为：ab×4+(b－a).
对比这两种表示方法，可得出c2=ab×4+(b－a)
化简、整理得c2=a2+b2 因此我们得到了勾股定理.
知识延伸：
1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.据他说，这是一种思想体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”.由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话.
如下图所示.这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形。你知道他是怎么证明的吗？.
（由于学生课上时间有限鼓励学生课下完成）
四、生活中我最棒
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以画出右图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题.
解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5000米，AC=4800米.由勾股定理，得AB2=AC2+BC2.即50002=BC2+48002，所以BC=1400米.
飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400×6×60=504000米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时.
（这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形第三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决.同时注意，在此题中小孩是静止不动的，注意单位换算，规范解题过程.）
五、继续深造
1、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？
2、一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为
3、如下图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A′的距离是多少？
练习题是由易到难顺序进行设计
第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．
第2题难度稍微加大一些，目的是提高学生的能力.
第3题生活中的应用体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.通过练习，进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用，也让学生知道了如何运用所学知识服务于解题中来.
六、成果汇报
A类：
1、如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
B类：
1、以直角三角形的两直角边为边长向外作正方形，所作的正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是
有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长
C类：
1、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为
2、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10，BC=6，E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.学生根据自己的情况选择上述题目进行练习，也可上大作业，分层训练也可激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.
板书设计：
1.1探索勾股定理（2）
弦图：c2=ab×4+(b－a)2即a2+b2=c2 (a+b)2=ab×4+c2即a2+b2=c2 例题： 习题的必要步骤：
教学反思：
本节课先简单的回顾了上节课的知识、探究知识的方法，由激趣、质疑、活动、探法、交流、应用、巩固七个步骤构成.首先让学生认识到上节课所用的探究方法的局限性，自然让学生明白了还用其他方法可以验证勾股定理。然后引入“弦图”讲一些有趣的话题，调动学生的兴趣，抛出问题让学生进行自主思考，教师不给明确答案，设置悬念（留待学生自己释疑）。由于刚经历过暑假，所以引导复习用拼图解决过的完全平方公式的过程，这样学生少走弯路。效果还不错。学生带着疑问，进行探索，有的时间有点长，不过效果不错。在“思绪飞扬”这个过程中，完成的不错。不过学生的想法很多，教师要及时巡视指导。例题鼓励学生自主完成，教师主要点拨，规范过程，强调注意点。最后练习，让学生进行进一步巩固。总的来说：问题的引导，学生产生了质疑意识，教师顺势利导，提出问题，紧扣了中心。由于实现了教师角色的转变，教法的创新，师生平等，关系融洽，气氛活跃，课堂民主，学生积极参与，在他们心底涌现了一股浓浓的学习欲望.面向全体学生，以人为本的教育理念落实到位，主体性得到充分体现.由于实现了学生角色的转变，学法的创新，整节课几乎都是学生自主实验、自主 探索、自主完成由形到数的转化，学生的主动性及合作精神都体现出来了。教师只是作为他们的一分子参与研究，起组织、引导的作用.通过动手实验，并经推理论证，学生取得了勾股定理的新证法研究成果，一些新思路延伸到课外研究。研究成果不仅极大地丰富了学生对勾股定理的证明的认识，而且学生从中获得了利用已知探求未知数学知识的能力和方法，创新素质得到了培养和提高，这对学生今后的学习和将来的发展 是大有裨益的。
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