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3.4 函数的应用（一）
【学习要求】
1．理解函数模型（如：一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等）是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。
2．在实际情景中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
【思维导图】
【知识梳理】
1．实际问题中函数建模的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
2．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
3．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值
问题常用到二次函数模型.
4．幂函数模型的应用
1）解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．
2）单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
3）幂函数模型应用的求解策略：
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
5．分段函数模型的应用
1）解析式：f(x)＝
2）由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.
6．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，
当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
【高频考点】
高频考点1.一次函数模型的应用
【方法点拨】在应用一次函数的性质及图象解题时，应注意一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数为负）两种情况.
【例1】（2021秋 江苏月考）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为 ．
【变式1-1】（2021 通州区高一月考）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
【变式1-2】（2021·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【变式1-3】（2021·湖北高一期中）2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如表：2019年1月1日后个人所得税税率表
全月应纳税所得额 税率（%）
不超过3000元的部分 3
超过3000元至12000元的部分 10
超过12000元至25000元的部分 20
超过25000元至35000元的部分 25
个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是_____元.
【变式1-4】（2021·山东高一月考）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．（2）按购买总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法．
高频考点2 . 二次函数模型的应用
【方法点拨】在应用二次函数解决实际问题时，不能简单套用顶点坐标公式，因为抛物线的顶点纵坐标不一定是实际问题的最值，一定要注意自变量的取值范围，特别注意隐含条件，如：月份、天、周、商品件数等应为正整数.
【例2】（2021·石家庄市第四十四中学高一月考）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；（3）求第八个月公司所获得的利润.
【变式2-1】（2021秋 东城区校级月考）某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是y＝30+2x﹣x2，x∈[0，11]，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（ ）
A．3台 B．5台 C．6台 D．10台
【变式2-2】（2021 福州期末）某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x千件，需投入成本c（x）万元，c（x）＝x2+10x．若该产品每千件定价a万元，为保证生产该产品不亏损，则a的最小值为 ．
【变式2-3】（2021·辽宁高一课时练习）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________．
【变式2-4】（2021 亳州期末）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高．已知该厂每月的污水处理量最少为150万吨，最多为300万吨，月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为yx+40，且每处理一万吨污水产生的收益价值为0.3万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低；（2）该厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润．
高频考点3 . 幂函数模型的应用
【方法点拨】(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
【例3】（2021 渝中区校级月考）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成．该公司2020年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元．该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20亿元．因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速．要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则t的值至少为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021·成都市高一期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资A类产品的收益与投资额成正比，投资B类产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时，A，B两类产品的收益分别为万元和万元．分别写出A，B两类产品的收益与投资额的函数关系式；该家庭有40万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
【变式3-2】（2021·重庆高一课时练习）某家庭进行理财投资，投资债券产品的收益与投资额x成正比，投资股票产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别是万元和万元．分别写出两种产品的收益与投资的函数关系式；该家庭现有20万资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
【变式3-3】（2021·河北高一期中）某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图注：利润和投资单位：万元.分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
【变式3-4】（2021 邹城市期中）近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：
年份 2016 2017 2018
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2019年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2019年实际销售123万斤，超额完成预定目标．
（Ⅰ）将2016、2017、2018、2019年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）；幂函数模型为g（x）＝kx3+mx+n（k≠0）．请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系；
（Ⅱ）依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2020年度的农产品销售量吗？
高频考点4. 分段函数模型的应用
【方法点拨】涉及分段函数的实际应用题，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
【例4】（2021·成都市田家炳中学高一月考）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为G()（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本 = 固定成本 + 生产成本）；销售收入R()（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:
（1）要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
【变式4-1】（2021 海淀区校级期中）如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上从B点运动到D点，设运动路程长度为x，记线段AP的长度为y，则y与x之间的函数关系y＝f（x）可表示为 ．
【变式4-2】（2021·山西省古县第一中学高一期中）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.旅行社需付给航空公司包机费每团15000元.
（1）写出飞机票的价格y（单位：元）关于人数x（单位：人）的函数关系式；
（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【变式4-3】（2021 雨花区校级高一期末）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：
（注：总收益＝总成本+利润）。（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．
【变式4-4】（2021 青浦区期末）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）．（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．
高频考点5 . “对勾”函数模型的应用
【方法点拨】结合实际问题，利用对勾函数的单调性进行解题，注意取值要满足实际情况.
【例5】（2021·上海市高一期中）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.（1）求的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【变式5-1】（2021·全国高一课时练习）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足
（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式；
（2）求该商场日收益的最小值（千元）．
【变式5-2】（2021秋 西城区校级月考）已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y＝f（x），其中f（x）．某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于3克/升时，它能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次1个单位的洗衣液，求三分钟后水中洗衣液的浓度；
（2）若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达分钟？
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时（从第一次投放算起），洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．
【变式5-3】某市政府越来越重视生态系统的重建和维护.若已知该市财政下拨了百万元专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金单位：百万元的函数单位：百万元：，处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金单位：百万元的函数单位：百万元：
设分配给植绿护绿项目的资金为单位：百万元，则两个生态维护项目五年内带来的收益总和为单位：百万元，写出y关于x的关系式；生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态维护项目的投资分别为多少.
【变式5-4】南通地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔单位：分钟满足经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为
求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；若该线路每分钟的净收益为元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
高频考点6 . 函数模型的综合应用
【方法点拨】利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.
【例6】（2021 重庆高一期中）如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为．（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形），（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．
【变式6-1】（2021 朝阳区期中）在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y（mg/m3）随时间t（h）变化的规律可表示为y，（a＞0）如图所示，则a＝ ；实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75mgm3时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入．
【变式6-2】（2020 崇明区期末）某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升．
（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；（2）求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值．
【变式6-3】（2021·广东高一期中）如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是圆的直径，上底的端点在圆周上，设，梯形的周长为.（1） 求出关于的函数的解析式；（2） 求的最大值，并指出相应的值．
【变式6-4】（2021·福建高一期中）森林失火，火势以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁的森林损失费为60元，设消防队派名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用分钟．（1）求出与的关系式；（2）求为何值时，才能使总损失最少．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021 南昌高一月考）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x+30000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套
2．（2021 常州高一期末）某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行价就减少5000册．要使该杂志的销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．2.5 元 B．3 元 C．3.2 元 D．3.5 元
3．（2021 丹徒区校级月考）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件 B．60件 C．80件 D．100件
4．（2021·四川高三二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149 C．165 D．195
5．（2021 思明区高一期中）某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x要小于m，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y（吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数k＞0），则鱼群年增长量的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021 东城区校级月考）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位（x30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
7．（2021 北京市高一期中）某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本万元．当年产量不足80千台时，万元；当年产量不小于80千台时，万元，每千台产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完．当年产量为千台时，该厂当年的利润最大？
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
8．（2021 连城县高一月考）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论不正确的是（ ）
A．y1 B．y2＝4x C．y1+y2有最大值4 D．y1﹣y2无最小值
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2020秋 赣榆区校级月考）“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：（1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；
（2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；
（3）如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；
（4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ）
A．如果购物时一次性全部付款99元，则购物总额为104元
B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元
C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元
D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元
10．（2021·浙江湖州中学高一开学考试）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（ ）
A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值
C．最小值为万元 D．最小值为万元
11．（2021春 衢州期末）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件．经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（ ）
A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元
12．（2021 越秀区高一期末）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是（ ）
A． B．y2＝0.4x C．y1+y2有最小值4 D．y1﹣y2无最小值
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021.杭州高中一月考）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．
14．（2021 威宁县校级月考）某青年旅社有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租；若将出租费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张．若要使该旅社每晚的收入超过1.2万元，则每个床位的定价的取值范围是 ．
15．（2021 莆田期末）已知甲、乙两地相距150km．根据交通法规，两地之间的车速应限制在50～100km/h．假设油价是7元/L，某汽车以xkm/h的速度行驶，其耗油量为，司机每小时的工资是35元．如果不考虑其他费用，那么该汽车从甲地到乙地的总费用最低是 元，此时车速是 km/h．
16．（2021 朝阳区期中）在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y（mg/m3）随时间t（h）变化的规律可表示为y，（a＞0）如图所示，则a＝ ；实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75mgm3时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021春 百色期末）某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆客车每年收入约100万元，每辆客车第一年各种费用约为16万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．（1）写出4辆客车运营的总利润y（万元）与运营年数x（x∈N*）的函数关系式；
（2）这4辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
18．（2021春 岑溪市期末）某公司对两种产品A，B的分析如表所示：
产品类别 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价格 每年最多可生产的件数
A 20万元 m万元 10万元 200件
B 40万元 8万元 18万元 120件
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？
19．（2021春 雨花区校级期末）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）。（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．
20．（2021秋 通州区校级月考）根据交通法规，京沪高速车辆行驶限速不超过100千米/小时，现有一辆运货卡车以速度x千米/小时，匀速行驶130千米．假设汽油每升2元，而汽车每小时耗油（2）升，司机的工贷是每小时14元．（1）求这次行车的总费用y和汽车匀速行驶的过度x之间的函数表达式；（2）当速度x为何值时，这次行驶的总费用最低，最低值为多少．
21．（2021 青浦区二模）由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服：A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增如到t＝k （6）（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）；A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+9x+50t）（万元）．（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
22.（2021·湖北高一期末）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
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3.4 函数的应用（一）
【学习要求】
1．理解函数模型（如：一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等）是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。
2．在实际情景中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
【思维导图】
【知识梳理】
1．实际问题中函数建模的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
2．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
3．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值
问题常用到二次函数模型.
4．幂函数模型的应用
1）解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．
2）单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
3）幂函数模型应用的求解策略：
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
5．分段函数模型的应用
1）解析式：f(x)＝
2）由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.
6．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，
当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
【高频考点】
高频考点1.一次函数模型的应用
【方法点拨】在应用一次函数的性质及图象解题时，应注意一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数为负）两种情况.
【例1】（2021秋 江苏月考）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为 ．
【分析】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），将A点的横坐标分别代入到两条直线方程中，并对所求的结果作差，即可求解．
【解析】解：设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），
∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，
∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6．故答案为：6．
【变式1-1】（2021 通州区高一月考）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
【分析】根据函数解析式的变化得出图象的变化即可．
【解析】解：设目前车票价格为k1，支出费用为b1，则y＝k1x﹣b1，
对于建议（I），设建议后的支出费用为b2（b2＜b1），则y＝k1x﹣b2，
显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）；
对于建议（II），设建议后的车票价格为k2（k2＞k1），则y＝k2x﹣b1，
显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）．故选：C．
【变式1-2】（2021·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【答案】C
【解析】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本， 则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600． ∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本． 故选C．
【变式1-3】（2021·湖北高一期中）2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如表：2019年1月1日后个人所得税税率表
全月应纳税所得额 税率（%）
不超过3000元的部分 3
超过3000元至12000元的部分 10
超过12000元至25000元的部分 20
超过25000元至35000元的部分 25
个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是_____元.
【答案】9720
【解析】设他的工资是元，
工资是8000元时纳税为，由于他有专项附加扣1000元，因此他工资是9000元时，纳税90元，，，纳税后收入为9900－180＝9720（元）．
故答案为：9720．
【变式1-4】（2021·山东高一月考）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．（2）按购买总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法．
【分析】由题意分别列出两种优惠办法下的y与x之间的函数解析式，取x＝40分别求得y值，比较大小得结论．
【解析】解：由优惠办法（1）可得函数解析式为y1＝20×4+5（x﹣4）＝5x+60（x≥4，x∈N*）；
由优惠办法（2）可得函数解析式为y2＝（20×4+5x）×92%＝4.6x+73.6（x≥4，x∈N*）．
当该顾客买茶杯40个时，采用优惠办法（1）应付款y1＝5×40+60＝260（元）；
采用优惠办法（2）应付款y2＝4.6×40+73.6＝257.6．由于y2＜y1，因此选择优惠办法（2）
高频考点2 . 二次函数模型的应用
【方法点拨】在应用二次函数解决实际问题时，不能简单套用顶点坐标公式，因为抛物线的顶点纵坐标不一定是实际问题的最值，一定要注意自变量的取值范围，特别注意隐含条件，如：月份、天、周、商品件数等应为正整数.
【例2】（2021·石家庄市第四十四中学高一月考）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；（3）求第八个月公司所获得的利润.
【答案】（1）；（2）第十个月；（3）利润为万元.
【解析】（1）设与的函数关系式为.
由题中函数图象过点、、，得，解得，
因此，所求函数关系式为；
（2）把代入，得，整理得，，解得，
因此，截止到第十个月末公司累积利润可达到万元；
（3）第八个月公司所获得的利润为（万元）.
因此，第八个月公司所获得的利润为万元.
【变式2-1】（2021秋 东城区校级月考）某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是y＝30+2x﹣x2，x∈[0，11]，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（ ）
A．3台 B．5台 C．6台 D．10台
【分析】由题意可得，9x﹣（30+2x﹣x2）≥0，解出x的值，再结合x的取值范围，即可求解．
【解析】解：由题意可得，9x﹣（30+2x﹣x2）≥0，即x2+7x﹣30≥0，解得x≥3或x≤﹣10（舍去），∵x∈[0，11]，∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）．故选：A．
【变式2-2】（2021 福州期末）某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x千件，需投入成本c（x）万元，c（x）＝x2+10x．若该产品每千件定价a万元，为保证生产该产品不亏损，则a的最小值为 ．
【分析】由题意，可知利润函数y＝ax﹣c（x）﹣3600＝ax﹣x2﹣10x﹣3600＝﹣x2+（a﹣10）x﹣3600，把原问题转化为不等式有解问题，分离参数a，可得a﹣10存在x＞0有解，再由基本不等式求最值．
【解析】解：由题意，可知利润函数y＝ax﹣c（x）﹣3600＝ax﹣x2﹣10x﹣3600＝﹣x2+（a﹣10）x﹣3600．若生产该产品不亏损，则存在x＞0，y＝﹣x2+（a﹣10）x﹣3600≥0有解，
即（a﹣10）x≥x2+3600，也就是a﹣10存在x＞0有解．
而，当且仅当x，即x＝60时等号成立．
∴a﹣10≥120，即a≥130．∴保证生产该产品不亏损，则a的最小值为130．故答案为：130．
【变式2-3】（2021·辽宁高一课时练习）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________．
【答案】4050
【解析】设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益：
当时， 最大，最大值为，
即当每车辆的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是，故答案为.
【变式2-4】（2021 亳州期末）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调，“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高．已知该厂每月的污水处理量最少为150万吨，最多为300万吨，月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为yx+40，且每处理一万吨污水产生的收益价值为0.3万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低；
（2）该厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润．
【分析】（1）由题意知每万吨污水的处理成本为，用基本不等式求出它的最小值以及对应的x值；（2）设该厂每月获利为Z万元，列出函数解析式，利用函数关系求出x∈[150，300]Z的取值范围和最大值即可．
【解析】解：（1）由题意可知，每万吨污水的处理成本为：
，当且仅当x＝200时等号成立；
所以该厂每月污水处理量为200万吨时，才能使每万吨的处理成本最低，最低成本为万元．
（2）设该厂每月获利为Z万元，则，
因为x∈[150，300]，所以Z∈[12.5，22.5]，当x＝250时，Z有最大值22.5，
所以该污水处理厂每月能获利；且当月处理量为250万吨时，利润最大，为22.5万元．
高频考点3 . 幂函数模型的应用
【方法点拨】(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
【例3】（2021 渝中区校级月考）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成．该公司2020年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元．该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20亿元．因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速．要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则t的值至少为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出2025年的总收入，由题意可得2025年通过理财业务的收入为50t5亿元，由此列出不等式，求解即可．
【解析】解：因为该公司2020年总收入为200亿元，预计每年总收入比前一年增加20亿元，
所以2025年的总收入为300亿元，因为要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，
所以2025年通过理财业务的收入为50t5亿元，
所以300﹣50t5≤300×0.6，解得，所以t的值至少为．故选：A．
【变式3-1】（2021·成都市高一期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资A类产品的收益与投资额成正比，投资B类产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时，A，B两类产品的收益分别为万元和万元．分别写出A，B两类产品的收益与投资额的函数关系式；该家庭有40万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
【分析】利用一次函数模型和幂函数，结合题目条件，利用待定系数法计算得结论;
由的结论，构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解得结论.
【解析】解：设投资x万元时，A产品的收益为万元，B产品的收益为万元，由题意知，即，，即，
所以两类产品的收益与投资的函数关系式分别是： ，；
设A产品x万元，则B产品为万元，
由题意得投资获得的收益，
令，则则的最大值就是：
的最大值.
所以当即万元时，收益最大，最大为万元.
【变式3-2】（2021·重庆高一课时练习）某家庭进行理财投资，投资债券产品的收益与投资额x成正比，投资股票产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别是万元和万元．分别写出两种产品的收益与投资的函数关系式；该家庭现有20万资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
【分析】由题意，设投资x万元时，投资债券产品的收益为万元，投资股票产品的收益为万元，结合题目条件，利用待定系数法计算得结论;
由的结论，构造出一个关于投资获得的收益y的函数，令，将问题转化为求二次函数：的最值.
【解析】解：设投资x万元时，投资债券产品的收益为万元，
投资股票产品的收益为万元.
由题意知，即，即
所以两种产品的收益与投资的函数关系式分别是： ，
设投资债券产品x万元，则投资股票产品为万元.
由题意得投资获得的收益，
令，则，，
则的最大值就是：的最大值.
，所以当即万元时，收益最大，最大为3万元.
即投资债券产品16万元，则投资股票产品为4万元，收益最大，最大收益为3万元.
【变式3-3】（2021·河北高一期中）某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图注：利润和投资单位：万元
分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
【分析】设出函数解析式，根据图象，即可求得答案；
确定总利润函数，换元，利用配方法可求最值；
【解析】解：根据题意可设，
由图知：，则，
设B产品投入x万元，A产品投入万元，该企业可获总利润为y万元．
则，，令，，
则所以当时，，此时，
所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为万元.
【变式3-4】（2021 邹城市期中）近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：
年份 2016 2017 2018
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2019年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2019年实际销售123万斤，超额完成预定目标．
（Ⅰ）将2016、2017、2018、2019年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）；幂函数模型为g（x）＝kx3+mx+n（k≠0）．请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系；
（Ⅱ）依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2020年度的农产品销售量吗？
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法分别求出二次函数模型f（x）和幂函数模型g（x）的解析式，再分别计算与2019年实际销量的误差，选误差较小的模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知选用二次函数模型f（x）＝7x2﹣7x+41 进行预测，计算f（5）即可预测出该创业团队在2020年度的农产品销售量．
【解析】解：（Ⅰ）若选择二次函数模型：依题意，将前三年数据分别代入f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），得，即，解得，所以f（x）＝7x2﹣7x+41，
将x＝4代入f（x），得f（4）＝7×42﹣7×4+41＝125，
所以，此与2019年实际销售量误差为125﹣123＝2（万斤），
若选择幂函数模型：依题意，将前三年数据分别代入g（x）＝kx3+mx+n（k≠0），
得，即，解得，
高频考点4. 分段函数模型的应用
【方法点拨】涉及分段函数的实际应用题，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
【例4】（2021·成都市田家炳中学高一月考）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为G()（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本 = 固定成本 + 生产成本）；销售收入R()（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:
（1）要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
【答案】（1）产品应控制在大于100台，小于820台的范围内；（2）当工厂生产400台产品时，赢利最多
【解析】依题意，.设利润函数为，则
.
（1）要使工厂有赢利，即解不等式，当时，
解不等式．即.∴ ∴，
当时，解不等式，得， ∴，
综上所述，要使工厂赢利，应满足，
即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
（2） 时，故当时，有最大值3.6.
而当时，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多.
【变式4-1】（2021 海淀区校级期中）如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上从B点运动到D点，设运动路程长度为x，记线段AP的长度为y，则y与x之间的函数关系y＝f（x）可表示为 ．
【分析】根据P点位置讨论，根据勾股定理得出y关于x的函数．
【解析】解：当0≤x≤1时，AP，
当1＜x≤2时，AP．
所以f（x）．故答案为：f（x）．
【变式4-2】（2021·山西省古县第一中学高一期中）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.旅行社需付给航空公司包机费每团15000元.
（1）写出飞机票的价格y（单位：元）关于人数x（单位：人）的函数关系式；
（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【答案】（1）；（2）当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
【解析】(1)由题意，得即.
(2)设旅行社获利S(x)元，则，
即
因为S(x)＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，所以当x＝30时，S(x)取最大值12000元，
又S(x)＝－10(x－60)2＋21000在区间(30,75]上，当x＝60时，S(x)取得最大值21000.
故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
【变式4-3】（2021 雨花区校级高一期末）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：
（注：总收益＝总成本+利润）。（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）直接由已知结合利润＝总收益﹣总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）分段求出函数的最大值，则答案可求．
【解析】解：由题意可得：（1）；
（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．
当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．
∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．
【变式4-4】（2021 青浦区期末）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）．（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．
【分析】（1）当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，则g（n），进而求解；
（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），
当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），进而求解．
【解析】解：（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，
当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，
则g（n），
n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n），
当11≤n≤60，n∈N*时，g（n）
，
所以第n个月的当月利润率为g（n）；
（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），
当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），
g（n）在11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在34≤n≤60，n∈N*单调递减，
当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又n∈N*，
g（33），g（34），
因为，所以当n＝33时，g（n）有最大值，
即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．
高频考点5 . “对勾”函数模型的应用
【方法点拨】结合实际问题，利用对勾函数的单调性进行解题，注意取值要满足实际情况.
【例5】（2021·上海市高一期中）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.（1）求的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【答案】（1）；（2）分钟.
【解析】（1）由题意知，（k为常数），
因，则，
所以；
（2）由得，
即，
①当时，，当且仅当等号成立；
②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
【变式5-1】（2021·全国高一课时练习）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足
（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式；
（2）求该商场日收益的最小值（千元）．
【答案】（1）；（2）千元
【解析】（1）根据该商场的日收益=顾客人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（2）根据第一问得到w（t）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可
（1）
（2）时，单调递增，最小值在处取到，；
时，单调递减，最小值在时取到，
单调递减，最小值在时取到，则最小值为，
由，可得最小值为．
答：该商场日收益的最小值为千元．
【变式5-2】（2021秋 西城区校级月考）已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y＝f（x），其中f（x）．某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于3克/升时，它能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次1个单位的洗衣液，求三分钟后水中洗衣液的浓度；
（2）若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达分钟？
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时（从第一次投放算起），洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．
【分析】（1）由题意，将x＝3代入f（x）中求解即可；（2）令f（x）≥3，求解x的范围，即可得到答案；（3）求出在第12分钟时，水中洗衣液的浓度，然后与3比较大小，即可得到答案．
【解析】解：（1）因为每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y＝f（x），其中f（x），
若只投放一次1个单位的洗衣液，则三分钟后水中洗衣液的浓度f（3）3.8（克/升）；
（2）若只投放一次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于3克/升时，它能起到有效去污的作用，当0≤x≤4时，，解得0≤x≤4；当4＜x≤14时，，解得4＜x≤8．
综上所述，有效去污时间为8分钟；
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，
则在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为5，
因为5＞3，所以在第12分钟时（从第一次投放算起），洗衣液能起到有效去污的作用。
【变式5-3】某市政府越来越重视生态系统的重建和维护.若已知该市财政下拨了百万元专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金单位：百万元的函数单位：百万元：，处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金单位：百万元的函数单位：百万元：
设分配给植绿护绿项目的资金为单位：百万元，则两个生态维护项目五年内带来的收益总和为单位：百万元，写出y关于x的关系式；生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态维护项目的投资分别为多少.
【分析】由已知列式即可；
由可得，利用换元法，根据对勾函数的性质进行求解即可.
【解析】解：由题意，，
由可得，
令，，，
由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以当时，取得最大值，最大值为百万元，
此时对植绿护绿和处理污染两个生态维护项目的投资分别为百万元和百万元
【变式5-4】南通地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔单位：分钟满足经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为
求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；若该线路每分钟的净收益为元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
【分析】由题意知，，为常数，将代入即可得出的表达式及的值；
由，可得，利用分段函数的单调性和对勾函数的性质，分别求出各段的最大值即可得出结果
【解析】解由题意知，，k为常数，
，，
，
；
由，可得，
当时，，令，当时单调递减，当时单调递增，当时取得最小值，则在时取得最大值，最大值为
当时，，当时等号成立，
综上，当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
高频考点6 . 函数模型的综合应用
【方法点拨】利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.
【例6】（2021 重庆高一期中）如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为．（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形），（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．
【分析】（1）根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，即可得到答案．（2）设正十字形的外接圆的直径为d，则，利用基本不等式可以求出d的最小值，进而求出外接圆面积的最小值．
【解析】解：（1）由题意可得：，则 ，
∵y＞x，∴，解得，∴y关于x的解析式为（0＜x）．
（2）设正十字形的外接圆的直径为d，
由图可知，
当且仅当时，不等式等号成立，
所以正十字形的外接圆直径d的最小值为，则半径的最小值为．
所以正十字形的外接圆面积最小值为．此时．
所以当时正十字形的外接圆面积最小，最小值为．
【变式6-1】（2021 朝阳区期中）在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y（mg/m3）随时间t（h）变化的规律可表示为y，（a＞0）如图所示，则a＝ ；实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75mgm3时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入．
【分析】由t时y＝1列式求得a值，把a代入函数解析式，由题意列关于t的不等式组求解．
【解析】解：由图可知，当t时，y＝1，则1，即a＝2；
则y，由题意可得，，得t．
则为了不使人体受到该药物的伤害，使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过小时方可进入．
故答案为：2；．
【变式6-2】（2020 崇明区期末）某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升．
（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；（2）求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值．
【分析】（1）令（x﹣100）≤9，求出解集，结合题意得出x的取值范围；
（2）写出y关于x的函数，求出函数的最小值即可．
【解析】解：（1）由题意，令（x﹣100）≤9，
化简得x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100；
又因为60≤x≤120，所以欲使每小时的油耗不超过9升，x的取值范围是[60，100]；
（2）设该汽车行驶100公里的油耗为y；
则y （x﹣100）＝90000，（其中60≤x≤120）；
由60≤x≤120，知∈[，]，所以x＝90时，汽车行驶100公里的油耗取得最小值为升．
【变式6-3】（2021·广东高一期中）如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是圆的直径，上底的端点在圆周上，设，梯形的周长为.
（1） 求出关于的函数的解析式；（2） 求的最大值，并指出相应的值．
【答案】（1），；（2）时，的最大值是10.
【解析】试题分析：（1）作、分别垂直交于，连结.由圆的性质得：
；再由直角三角形的射影定理；
则，其定义域是；（2）令，则，且，则；利用二次函数的图像和性质即可求得其最大值.
试题解析：解：（1） 作、分别垂直交于，连结.
由圆的性质，是中点，设，
又在直角中，
所以其定义域是．
（2） 令，则，且，
所以，当，即时，的最大值是10.
考点：函数的解析式和最值.
【变式6-4】（2021·福建高一期中）森林失火，火势以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁的森林损失费为60元，设消防队派名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用分钟．（1）求出与的关系式；（2）求为何值时，才能使总损失最少．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设派名消防员前去救火，用分钟将火扑灭，总损失为元，则；
（2）总损失为灭火材料、劳务津贴车辆、器械、装备费与森林损失费的总和，利用基本不等式即可求出最值．
【详解】（1）由已知可得，所以．
（2）设总损失为元，则
，当且仅当，即时，取最小值．
答：需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36450元．
【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及利用基本不等式求最值能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021 南昌高一月考）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x+30000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套
【分析】设利润为z，则z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，
由z≥0求解一元一次不等式得答案．
【解析】解：设利润为z，则z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，
由z＝6x﹣30000≥0，得x≥5000．∴要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套．故选：D．
2．（2021 常州高一期末）某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行价就减少5000册．要使该杂志的销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．2.5 元 B．3 元 C．3.2 元 D．3.5 元
【分析】设杂志的定价为x元，总销售收入为y元，然后根据题意建立y的关系式，利用函数的性质即可求解．
【解析】解：设杂志的定价为x元，总销售收入为y元，
根据题意可得：y＝x[100000＝﹣25000x2+150000x，
当销售收入不少于22.4万元时，﹣25000x2+150000x≥224000，解得2.8≤x≤3.2，故选：BC．
3．（2021 丹徒区校级月考）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件 B．60件 C．80件 D．100件
【分析】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，求出y的表达式，再结合基本不等式的公式，即可求解．
【解析】解：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，
则y，当且仅当，即x＝60时等号成立，
故每批应生产产品60件．故选：B．
4．（2021·四川高三二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149 C．165 D．195
【答案】B
【解析】由题意得，，
当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B
5．（2021 思明区高一期中）某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x要小于m，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y（吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数k＞0），则鱼群年增长量的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得，y＝kx ，（k＞0，0＜x＜m），利用基本不等式求最值．
【解析】解：由题意可得，y＝kx ，（k＞0，0＜x＜m）（）2，
（当且仅当x＝m﹣x，即x时，等号成立）故选：B．
6．（2021 东城区校级月考）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位（x30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
【分析】设每生产单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．
【解析】解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x（x30）元，
则，
当且仅当，即x＝90时取等号，符合50≤x≤200，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．
7．（2021 北京市高一期中）某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本万元．当年产量不足80千台时，万元；当年产量不小于80千台时，万元，每千台产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完．当年产量为千台时，该厂当年的利润最大？
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
【分析】求出利润的函数解析式，用分段函数表示，然后分段求出函数的最大值，比较大小求解即可.
【解析】解： 设年产量为x千台，当年的利润为y万元，
则由已知有，即，
当时，由二次函数性质知当时，y取得最大值950，
当时，由对勾函数单调性得，y在单调递增，在单调递减，
所以当时，y取得最大值1000，又，
所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.故选
8．（2021 连城县高一月考）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论不正确的是（ ）
A．y1 B．y2＝4x C．y1+y2有最大值4 D．y1﹣y2无最小值
【分析】利用待定系数法求出y1和y2的解析式，即可判断选项A，B，由基本不等式即可判断选项C，由函数的单调性即可判断选项D．
【解析】解：由题意，设y1，y2＝k2x（x＞0，k1，k2≠0），
因为在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，
所以，解得k1＝10，k2＝0.4，所以（x＞0），
则，当且仅当，即x＝5时取等号，
故选项B正确，选项C正确，选项A错误；因为在（0，+∞）上单调递减，
所以y1﹣y2无最小值，故选项D正确．故选：A．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2020秋 赣榆区校级月考）“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：（1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；
（2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；
（3）如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；
（4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ）
A．如果购物时一次性全部付款99元，则购物总额为104元
B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元
C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元
D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元
【分析】根据已知条件，结合分段函数的思想，即可求解．
【解析】解：对于A选项，如果购物时一次性全部付款99元，则购物总额为99÷0.9＝110，故A选项错误，对于B选项，当购物总额为228元，则应付款228×0.9＝205.2，
对于C选项，当购物总额为368，则应付款300×0.9+（360﹣300）×0.8＝318，故C选项错误，
对于D选项，设购物总额为x，则应付款300×0.9+（x﹣300）×0.8＝442.8，解得x＝516，故D选项正确．故选：BD．
10．（2021·浙江湖州中学高一开学考试）某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（ ）
A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值
C．最小值为万元 D．最小值为万元
【答案】BD
【解析】一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次，
一年的总储存费用为万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，一年的总运费与总储存费用之和最小为万元，故选：BD
11．（2021春 衢州期末）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件．经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（ ）
A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元
【分析】设商品A的单价为x，则商品A销售总收入为，结合题意得到不等式，解不等式可得答案．
【解析】解：设商品A的单价为x，则销售量为，
则商品A销售总收入为，
结合题意有，解得2.8 x 3.2．故选：BCD．
12．（2021 越秀区高一期末）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是（ ）
A． B．y2＝0.4x C．y1+y2有最小值4 D．y1﹣y2无最小值
【分析】依题意设，y2＝k2x （k1≠0，k2≠0），（x＞0），利用待定系数法求出y1和y2关于x的函数解析式，进而判断选项AB的正误，再利用基本不等式可判定选项C的正误，利用y1﹣y2在（0，+∞）上的单调性可判定选项D的正误．
【解析】解：依题意设，y2＝k2x （k1≠0，k2≠0），（x＞0），
∵在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，∴，10k2＝4，
解得：k1＝10，k2＝0.4，∴，y2＝0.4x，（x＞0），∴y1+y20.4x4，
当且仅当0.4x即x＝5时，等号成立，所以选项B，C正确，选项A错误，
∵在（0，+∞）上单调递减，∴y1﹣y2无最小值，选项D正确，故选：BCD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021.杭州高中一月考）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．
【答案】.
【解析】设每件售价元时，售出件，设，
因为，所以①，因为，所以②，
解由①②组成的方程组得，，所以.
由.故答案为：.
14．（2021 威宁县校级月考）某青年旅社有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租；若将出租费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张．若要使该旅社每晚的收入超过1.2万元，则每个床位的定价的取值范围是 ．
【分析】设每床每晚的租金提高10的n倍，即为（50+10n）元，出租的床位减少10的n倍张，即为（200﹣10n）张，由题意可得，该旅社每晚的收入为（50+10n）（200﹣10n）＞1.2×10000，解出n的取值范围，即可求解每个床位的定价的取值范围．
【解析】解：设每床每晚的租金提高10的n倍，即为（50+10n）元，
出租的床位减少10的n倍张，即为（200﹣10n）张，
由题意可得，该旅社每晚的收入为（50+10n）（200﹣10n）＞1.2×10000，
化简整理可得，n2﹣15n+20＜0，解得，
∵n∈N，∴n＝2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
故每个床位的定价的取值范围是{70，80，90，100，110，120，130，140，150，160，170，180}．
故答案为：{70，80，90，100，110，120，130，140，150，160，170，180}．
15．（2021 莆田期末）已知甲、乙两地相距150km．根据交通法规，两地之间的车速应限制在50～100km/h．假设油价是7元/L，某汽车以xkm/h的速度行驶，其耗油量为，司机每小时的工资是35元．如果不考虑其他费用，那么该汽车从甲地到乙地的总费用最低是 元，此时车速是 km/h．
【分析】设该汽车从甲地到乙地的总费用为y，则y，再结合三元均值不等式求最值结合取等条件可得答案．
【解析】解：设该汽车从甲地到乙地的总费用为y，
则，其中50＜x＜100，
所以，
当且仅当时，即x＝60时，等号成立，
所以汽车从甲地到乙地的总费用最低是210元，此时车速是60km/h．故答案为：210，60．
16．（2021 朝阳区期中）在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y（mg/m3）随时间t（h）变化的规律可表示为y，（a＞0）如图所示，则a＝ ；实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75mgm3时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入．
【分析】由t时y＝1列式求得a值，把a代入函数解析式，由题意列关于t的不等式组求解．
【解析】解：由图可知，当t时，y＝1，则1，即a＝2；
则y，由题意可得，，得t．
则为了不使人体受到该药物的伤害，使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过小时方可进入．
故答案为：2；．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021春 百色期末）某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆客车每年收入约100万元，每辆客车第一年各种费用约为16万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．（1）写出4辆客车运营的总利润y（万元）与运营年数x（x∈N*）的函数关系式；
（2）这4辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）先分别计算出每辆车x年总收入与总支出，从而可求总利润y（万元）与运营年数x（x∈N*）的函数关系式；（2）年平均运用利润为，利用基本不等式可求平均运营利润最大值．
【解析】解：（1）依题意，每辆车x年总收入为100x万元，
总支出为，
．
（2）年平均利润为．
又x∈N*，∴，当且仅当x＝5时，等号成立，此时．
所以运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．
18．（2021春 岑溪市期末）某公司对两种产品A，B的分析如表所示：
产品类别 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价格 每年最多可生产的件数
A 20万元 m万元 10万元 200件
B 40万元 8万元 18万元 120件
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？
【分析】（1）结合题意求解即可；（2）结合一次函数和二次函数性质分别求出y1和y2的最大值，再根据作差法比较两者之间的大小即可判断该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润．
【解析】（1）y1＝（10﹣m）x﹣20，其中{x|0≤x≤200，x∈N}，
，其中{x|0≤x≤120，x∈N}．
（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y1在定义域上是增函数，
∴当x＝200时，（y1）max＝（10﹣m）200﹣20＝1980﹣200m，
又，∴当x＝100时，（y2）max＝460，
（y1）max﹣（y2）max＝1980﹣200m﹣460＝1520﹣200m，
当1520﹣200m＞0时，即6≤m＜7.6时，投资A产品可获得最大年利润．
当1520﹣200m＝0时，即m＝7.6时，投资A或B产品可获得最大年利润．
当1520﹣200m＜0时，即7.6＜m≤8时，投资B产品可获得最大年利润．
19．（2021春 雨花区校级期末）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）。（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）直接由已知结合利润＝总收益﹣总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）分段求出函数的最大值，则答案可求．
【解析】解：由题意可得：（1）；
（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．
当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．
∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．
20．（2021秋 通州区校级月考）根据交通法规，京沪高速车辆行驶限速不超过100千米/小时，现有一辆运货卡车以速度x千米/小时，匀速行驶130千米．假设汽油每升2元，而汽车每小时耗油（2）升，司机的工贷是每小时14元．（1）求这次行车的总费用y和汽车匀速行驶的过度x之间的函数表达式；（2）当速度x为何值时，这次行驶的总费用最低，最低值为多少．
【分析】（1）根据题中的条件，直接求解即可；（2）利用基本不等式求解最值即可．
【解析】解：（1）由题意可得，（0＜x≤100）；
（2）因为0＜x≤100，所以y26，当且仅当时取等号，所以当（千米/小时）时，这次行驶的总费用最低，为26元．
21．（2021 青浦区二模）由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服：A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增如到t＝k （6）（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）；A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+9x+50t）（万元）．（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
【分析】（1）根据已知条件列出关系式即可；（2）将问题转化为不等式恒成立问题，然后利用参变量分离，转化为求解函数的最值问题，即可得到答案．
【解析】（1）由题意可得，y＝80t﹣（20+9x+50t）+x
，
所以A公司生产防护服的利润y（万元）与补贴x（万元）的函数关系为：y（x∈[0，10]，k∈[0.5，1]）；
（2）由题意可知，问题可转化为y≥0对所有的x∈[0，10]恒成立，
即0在x∈[0，10]恒成立，即，
令t＝x+2，则t∈[2，12]，此时，
因为函数在t∈[2，12]上单调递增，所以f（t）的最大值为f（12）29.167，
故，所以复工率k达到0.65时，对任意x∈[0，10]，A公司才能不产生亏损．
22.（2021·湖北高一期末）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
【答案】（1），，；（2）；（3）
【解析】（1）由题意，，
即，，.
（2），
因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以，
故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.
（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，
不等式整理得，，
令，则，则，
由函数在上单调递增，可得，
所以，即.
所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损.
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