高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．（2020高一上·曲阜月考）不等式4＋3x－x2<0的解集为（ ）
A．{x|－14或x<－1}
C．{x|x>1或x<－4} D．{x|－42．（2020高一上·曲阜月考）设 ,且 ,则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．14 D．16
3．（2019高一上·滕州月考）若正数x、y满足 ，则 的最小值等于（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
4．（2018高一下·蚌埠期末）已知实数 满足 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018高一下·平原期末）设 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2018高一下·黑龙江期末）已知关于x的不等式 的解集是 ，则 的值是
A． B．11 C． D．1
7．已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2018高一下·彭水期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B．-1 C．2 D．0
二、多选题
9．（2020高一上·五莲期中）若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020高一上·胶州期中）若 ，则下列选项成立的是（ ）
A． B．若 ，则
C． 的最小值为 D．若 ，则
11．（2020高一上·滕州月考）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为4
B．若 ，则 的最小值为3
C．若 ，则 的最大值为5
D．若 ，则 的最大值为2
12．（2020高一上·滕州月考）若对任意满足 的正实数 恒成立，则正整数 的取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
13．（2020高一上·荣成期中）函数 的图像恒过定点 ，若 ，则 的最小值 .
14．（2019高一上·淄博期中）若 ，且满足 ，则 的最小值为 .
15．（2018高一下·攀枝花期末）二次不等式 的解集为 ，则 ．
16．（2018高一下·平原期末）已知 ，且满足 ，则 的取值范围是 ．
四、解答题
17．（2017高一下·河口期末）（Ⅰ）关于x的不等式 的解集为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）关于x的不等式 的解集为 ，求a,b的值．
18．（2020高一上·滨州期中）
（1）比较 与 的大小；
（2）解关于 的不等式 ．
19．（2019高一上·济南期中）已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ， 的解集为 ，求 的最小值.
20．（2020高一上·滕州月考）
（1）若 且 ，求 的最小值；
（2）若 且 ，求 的最小值.
21．（2018高一下·彭水期中）已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围；
（2）若不等式 在区间 内恒成立，求实数 的取值范围.
22．（2018高一下·黑龙江期末）已知 ， ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若不等式 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若 ，解不等式 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式4＋3x－x2<0可化为x2－3x－4>0，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1.故不等式的解集为{x|x>4或x<－1}.
故答案为：B
【分析】先将二次项系数化为正数，然后根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
2．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，
等号成立当且仅当 ，所以 的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式求得 ，并验证等号成立的条件.
3．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正数x、y满足 ，所以 （ ），
所以 ，令 ， ，
，
由对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 的最小值为9，此时 ．
故答案为：C．
【分析】由 得 （ ），代入 后变形，换元后用对勾函数的单调性求解．
4．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵ ，∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ，
故答案为：D.
【分析】运用不等式等价转换即可。注意正负不确定。
5．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】取 ，则 ， ，只有B符合．
故答案为：B．
【分析】取特殊值a = 4 ， b = 16验证选项即可。
6．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：若关于x的不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），
则2，3是方程x2﹣ax﹣b=0的根，
故a=5，b=﹣6
故a+b=﹣1，
故答案为：C．
【分析】由题意，可得2，3是方程x2﹣ax﹣b=0的根，代入求得a，b的值，即可得到a+b的值。
7．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，∴c=，
又∵点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，
∴m2+n2表示直线l上的点到原点距离的平方，
∴m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方，
由点到直线的距离公式可得d==2，
∴m2+n2的最小值为d2=4，
故选：C．
【分析】由题意可得m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方，由点到直线的距离公式可得．
8．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】因为 所以
故答案为：D.
【分析】根据不等式的计算即可求解。
9．【答案】A,B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，当且仅当 时取等号，A符合题意； ， ， ，当且仅当 时取等号，B符合题意，C不符合题意， ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用基本不等式的性质进行判断即可得到答案。
10．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A. 因为 ，故正确；
B.因为 ，所以 解得 ，所以 ，当且仅当 取等号，故正确；
C. 因为 ， ，则由对勾函数的性质得 在 上递增，所以其最小值为 ，故错误；
D.因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确；
故答案为：ABD
【分析】利用基本不等式逐项进行判断即可得到答案。
11．【答案】C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，因为 ，所以 ，当且仅当 取等号，所以 有最大值 ，所以A不符合题意；
对于B， ，而 不成立，所以 的最小值不等于3，而其最小值为 ，
对于C，由 可知 ，得 ，当且仅当 时取等号， 的最大值为5，所以C符合题意；
对于D，由于 ，所以 ，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大值为2，
故答案为：CD
【分析】对于A，由于 ，所以对 变形后再利用基本不等式求最值判断即可；对于B，不满足基本不等式的条件；对于C，D利用基本不等式判断即可
12．【答案】A,B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ，且 ，
所以
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为16，
所以由 ，得 ，
因为 ，所以 或 ，
故答案为：AB
【分析】由已知条件可得 ，然后利用基本不等式求出其最小值为16，再由 可求出 的值，从而可求出正整数 的取值
13．【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】函数 ，所以函数恒过点 ，
即 ，即 ，
则 ，
当 时，即 时，等号成立， 的最小值为8，
此时 ，解得 ， .
故答案为：8
【分析】 由已知P(-2，-1)，点P在直线mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn>0，可得m>0， n> 0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题,则 ,
当且仅当 ,即 , 时,等号成立, 的最小值为
【分析】令
15．【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：∵不等式 的解集为 ， ，
∴原不等式等价于 ，
由韦达定理知
．
故答案为 ．
【分析】先解出一元二次不等式的解集，再利用韦达定理，求出a和b的值，即可求解ab的值.
16．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，且满足
当且仅当 ，即 时，取等号，
的取值范围是
【分析】基本不等式的应用，即“1”的代换， 8 x + y=，当且仅当
j即，取等号。
17．【答案】解：（Ⅰ）关于x的不等式 的解集为R，
所以（1） 解得 ，（2）m=-3时符合题意．
所以
（Ⅱ）关于x的不等式 的解集为 ，
所以 ，所以a=4,b=-2，或a=-4,b=2
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)二次不等式解集为R,说明不等式恒成立,则二次不等式恒成立的条件得到关于m的不等式组,求m的范围;
(2)二次不等式解集为{ x | x ≠ b } ，说明对应方程有两相等实根,求出a,b的值.
18．【答案】（1）解： ，
因为 ，所以 ，
即 .
（2）解： .
当 ，即 时，解原不等式，可得 ；
当 ，即 时，解原不等式，可得 ；
当 ，即 时，解原不等式，可得 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
【知识点】利用不等式的性质比较大小；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用作差法比较大小即可；
（2）利用十字相乘法，将不等式左边分解，讨论与的大小，进而可得不同情况下不等式的解集。
19．【答案】（1）解：当 时，不等式 ，即为 ，
可得 ，
即不等式 的解集为 或 .
（2）解：由题 的根即为 ， ，故 ， ，故 ， 同为正，
则 ，
当且仅当 ， 等号成立，所以 的最小值为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题 的根即为 ， ，根据韦达定理可判断 ， 同为正，且 ，从而利用基本不等式的常数代换求出 的最小值.
20．【答案】（1）解： ， .
， . ， .
当且仅当 ，等号成立.故当 时， 的最小值为9.
（2）解： 且 . ，
.
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故当 时， 的最小值为9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得 ，再解不等式即可得解；（2）依题意可得 ，再利用基本不等式乘“1”法计算可得；
21．【答案】（1）解：∵不等式 的解集为 ，
∴∴
（2）解：∵不等式 在 恒成立
∴∴∴
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解。
（2）由题列出关于端点的不等式方程组即可求解。
22．【答案】（1）解：当 ，不等式 即 ，即 ，解得 ，或 ，
故不等式的解集为 ，或
（2）解：由题意可得 恒成立，
当 时，显然不满足条件， ．
解得 ，故a的范围为
（3）解：若 ，不等式为 ，即 ．
，
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式即 ，它的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）当 a = 1 ，得到不等式 x 2 + x 1 ≥ 1 ，即 ( x + 2 ) ( x 1 ) ≥ 0 ，即可求解不等式的解集；
（2）由题意可得 ( a + 2) x 2 + 4 x + a 1 > 0 恒成立，得到a + 20且，即可得到实数a的取值范围；
（3）若 a < 0 ，不等式为 ax 2 + x a 1 > 0 ，即 ( x 1 ) ( x + ) < 0 ，分类讨论，即可求解不等式的解集。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．（2020高一上·曲阜月考）不等式4＋3x－x2<0的解集为（ ）
A．{x|－14或x<－1}
C．{x|x>1或x<－4} D．{x|－4【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式4＋3x－x2<0可化为x2－3x－4>0，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1.故不等式的解集为{x|x>4或x<－1}.
故答案为：B
【分析】先将二次项系数化为正数，然后根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
2．（2020高一上·曲阜月考）设 ,且 ,则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．14 D．16
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，
等号成立当且仅当 ，所以 的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式求得 ，并验证等号成立的条件.
3．（2019高一上·滕州月考）若正数x、y满足 ，则 的最小值等于（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正数x、y满足 ，所以 （ ），
所以 ，令 ， ，
，
由对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 的最小值为9，此时 ．
故答案为：C．
【分析】由 得 （ ），代入 后变形，换元后用对勾函数的单调性求解．
4．（2018高一下·蚌埠期末）已知实数 满足 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵ ，∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ，
故答案为：D.
【分析】运用不等式等价转换即可。注意正负不确定。
5．（2018高一下·平原期末）设 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】取 ，则 ， ，只有B符合．
故答案为：B．
【分析】取特殊值a = 4 ， b = 16验证选项即可。
6．（2018高一下·黑龙江期末）已知关于x的不等式 的解集是 ，则 的值是
A． B．11 C． D．1
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：若关于x的不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），
则2，3是方程x2﹣ax﹣b=0的根，
故a=5，b=﹣6
故a+b=﹣1，
故答案为：C．
【分析】由题意，可得2，3是方程x2﹣ax﹣b=0的根，代入求得a，b的值，即可得到a+b的值。
7．已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，∴c=，
又∵点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，
∴m2+n2表示直线l上的点到原点距离的平方，
∴m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方，
由点到直线的距离公式可得d==2，
∴m2+n2的最小值为d2=4，
故选：C．
【分析】由题意可得m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方，由点到直线的距离公式可得．
8．（2018高一下·彭水期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B．-1 C．2 D．0
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】因为 所以
故答案为：D.
【分析】根据不等式的计算即可求解。
二、多选题
9．（2020高一上·五莲期中）若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，当且仅当 时取等号，A符合题意； ， ， ，当且仅当 时取等号，B符合题意，C不符合题意， ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用基本不等式的性质进行判断即可得到答案。
10．（2020高一上·胶州期中）若 ，则下列选项成立的是（ ）
A． B．若 ，则
C． 的最小值为 D．若 ，则
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A. 因为 ，故正确；
B.因为 ，所以 解得 ，所以 ，当且仅当 取等号，故正确；
C. 因为 ， ，则由对勾函数的性质得 在 上递增，所以其最小值为 ，故错误；
D.因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确；
故答案为：ABD
【分析】利用基本不等式逐项进行判断即可得到答案。
11．（2020高一上·滕州月考）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为4
B．若 ，则 的最小值为3
C．若 ，则 的最大值为5
D．若 ，则 的最大值为2
【答案】C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，因为 ，所以 ，当且仅当 取等号，所以 有最大值 ，所以A不符合题意；
对于B， ，而 不成立，所以 的最小值不等于3，而其最小值为 ，
对于C，由 可知 ，得 ，当且仅当 时取等号， 的最大值为5，所以C符合题意；
对于D，由于 ，所以 ，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大值为2，
故答案为：CD
【分析】对于A，由于 ，所以对 变形后再利用基本不等式求最值判断即可；对于B，不满足基本不等式的条件；对于C，D利用基本不等式判断即可
12．（2020高一上·滕州月考）若对任意满足 的正实数 恒成立，则正整数 的取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A,B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ，且 ，
所以
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为16，
所以由 ，得 ，
因为 ，所以 或 ，
故答案为：AB
【分析】由已知条件可得 ，然后利用基本不等式求出其最小值为16，再由 可求出 的值，从而可求出正整数 的取值
三、填空题
13．（2020高一上·荣成期中）函数 的图像恒过定点 ，若 ，则 的最小值 .
【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】函数 ，所以函数恒过点 ，
即 ，即 ，
则 ，
当 时，即 时，等号成立， 的最小值为8，
此时 ，解得 ， .
故答案为：8
【分析】 由已知P(-2，-1)，点P在直线mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn>0，可得m>0， n> 0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值.
14．（2019高一上·淄博期中）若 ，且满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题,则 ,
当且仅当 ,即 , 时,等号成立, 的最小值为
【分析】令
15．（2018高一下·攀枝花期末）二次不等式 的解集为 ，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：∵不等式 的解集为 ， ，
∴原不等式等价于 ，
由韦达定理知
．
故答案为 ．
【分析】先解出一元二次不等式的解集，再利用韦达定理，求出a和b的值，即可求解ab的值.
16．（2018高一下·平原期末）已知 ，且满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，且满足
当且仅当 ，即 时，取等号，
的取值范围是
【分析】基本不等式的应用，即“1”的代换， 8 x + y=，当且仅当
j即，取等号。
四、解答题
17．（2017高一下·河口期末）（Ⅰ）关于x的不等式 的解集为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）关于x的不等式 的解集为 ，求a,b的值．
【答案】解：（Ⅰ）关于x的不等式 的解集为R，
所以（1） 解得 ，（2）m=-3时符合题意．
所以
（Ⅱ）关于x的不等式 的解集为 ，
所以 ，所以a=4,b=-2，或a=-4,b=2
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)二次不等式解集为R,说明不等式恒成立,则二次不等式恒成立的条件得到关于m的不等式组,求m的范围;
(2)二次不等式解集为{ x | x ≠ b } ，说明对应方程有两相等实根,求出a,b的值.
18．（2020高一上·滨州期中）
（1）比较 与 的大小；
（2）解关于 的不等式 ．
【答案】（1）解： ，
因为 ，所以 ，
即 .
（2）解： .
当 ，即 时，解原不等式，可得 ；
当 ，即 时，解原不等式，可得 ；
当 ，即 时，解原不等式，可得 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
【知识点】利用不等式的性质比较大小；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用作差法比较大小即可；
（2）利用十字相乘法，将不等式左边分解，讨论与的大小，进而可得不同情况下不等式的解集。
19．（2019高一上·济南期中）已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ， 的解集为 ，求 的最小值.
【答案】（1）解：当 时，不等式 ，即为 ，
可得 ，
即不等式 的解集为 或 .
（2）解：由题 的根即为 ， ，故 ， ，故 ， 同为正，
则 ，
当且仅当 ， 等号成立，所以 的最小值为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题 的根即为 ， ，根据韦达定理可判断 ， 同为正，且 ，从而利用基本不等式的常数代换求出 的最小值.
20．（2020高一上·滕州月考）
（1）若 且 ，求 的最小值；
（2）若 且 ，求 的最小值.
【答案】（1）解： ， .
， . ， .
当且仅当 ，等号成立.故当 时， 的最小值为9.
（2）解： 且 . ，
.
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故当 时， 的最小值为9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得 ，再解不等式即可得解；（2）依题意可得 ，再利用基本不等式乘“1”法计算可得；
21．（2018高一下·彭水期中）已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围；
（2）若不等式 在区间 内恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：∵不等式 的解集为 ，
∴∴
（2）解：∵不等式 在 恒成立
∴∴∴
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解。
（2）由题列出关于端点的不等式方程组即可求解。
22．（2018高一下·黑龙江期末）已知 ， ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若不等式 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若 ，解不等式 ．
【答案】（1）解：当 ，不等式 即 ，即 ，解得 ，或 ，
故不等式的解集为 ，或
（2）解：由题意可得 恒成立，
当 时，显然不满足条件， ．
解得 ，故a的范围为
（3）解：若 ，不等式为 ，即 ．
，
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式即 ，它的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）当 a = 1 ，得到不等式 x 2 + x 1 ≥ 1 ，即 ( x + 2 ) ( x 1 ) ≥ 0 ，即可求解不等式的解集；
（2）由题意可得 ( a + 2) x 2 + 4 x + a 1 > 0 恒成立，得到a + 20且，即可得到实数a的取值范围；
（3）若 a < 0 ，不等式为 ax 2 + x a 1 > 0 ，即 ( x 1 ) ( x + ) < 0 ，分类讨论，即可求解不等式的解集。
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