北师大版八年级数学上册第四章一次函数培优综合试题（Word版，附答案）

一次函数培优综合试题（1）
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（　　）
A．﹣3＜k＜0 B．﹣3＜k＜3 C．0＜k＜3 D．0＜k＜6
2．如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y＝x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（　　）
A．2+2 B．2+4 C．2 D．2+2
3．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　）
A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1
4．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
5．如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（　　）
A． B． C． D．y＝﹣2x+2
6．如图，已知直线l：y＝，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A2021的坐标为（　　）
A．（0，2021） B．（0，4042） C．（0，42021） D．（0，22021）
7．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是（　　）
A．（，） B．（，11） C．（2，2） D．（，）
8．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝x+相交于点P（﹣1，0），直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B2021，A2021，…则当动点C到达A2021处时，运动的总路径的长为（　　）
A．22021﹣2 B．22020﹣1 C．22022﹣2 D．22023﹣2
9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（　　）
A．24 B．48 C．96 D．192
10．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝3；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共9小题）
11．如图所示，已知点N（1，0），一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是 　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是　 　．
13．如图，点P的坐标为（2，0），点B在直线y＝x+m上运动，当线段PB最短时，PB的长度是　 　．
14．已知实数x，y满足x+2y＝4，并且x≤3，y＜2，现有m＝x﹣2y，则m的取值范围是　 　．
15．如图所示，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d＝5﹣x（0≤x≤5），则下列结论：
①AF＝2； ②S△POF的最大值是6；③当d＝时，OP＝； ④OA＝5．
其中正确的有　 　（填序号）．
16．对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{﹣1，2，3}＝﹣1，．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　 　．
18．已知A1，A2，A3，…，An，An+1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，An+1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1，B2，B3，…，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，…，AnBn+1，BnAn+1，依次相交于点P1，P2，P3，…，Pn．若△A1B1P1，△A2B2P2，△A3B3P3，…，△AnBnPn的面积依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn为　 　．
19．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　 　．
三．解答题（共12小题）
20．小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．
（1）求大卷和小卷壁纸的单价；
（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．
①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；
②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．
21．已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．
（1）求∠ABO的度数；
（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．
22．如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD＝2CD，直线AD交y轴于点E．
（1）点C的坐标为 　 　；
（2）①求直线AD的解析式；②P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以点O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）F是线段AB上一动点，连接EF，将△EFB翻折得△EFB′，B′在直线AE的上方，若△EFB′与△AEF的重叠部分为直角三角形，请直接写出线段BF的长．
23．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C．点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）若点D在线段BO上；
①当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
②当△DEF与△AFC的面积相等时，求线段AD的长；
（3）若△DEF为直角三角形，请直接写出点D的坐标．
24．如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒（t＞0）．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是AP＝AQ的等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
25．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x折叠，点B落在y轴的点C处．
（1）点C的坐标为　 　；
（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；
（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；
（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标；
（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，
（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；
（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；
（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围．
30．在平面直角坐标系中，M（m，n），B（0，b），m，n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于C点，过C点作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．
（1）求M点的坐标．
（2）如图1，在B点运动过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值．若变化，写出A点横坐标a的取值范围．
（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM垂足为H（垂足H在x轴的下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK．在B点运动过程中，求∠OKB的度数并直接写出b的取值范围．
31．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y＝mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值；
（3）如图3，过点A的直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过N点的直线y＝交AP于点M，若的值不变，请你加以证明和求出其值．
参考答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．C． 2．A． 3．D． 4．D． 5．B．
6．C． 7．D． 8．C． 9．C． 10．D．
二．填空题（共9小题）
11． 　　． 12．　217　． 13．　+m　． 14．　﹣4＜m≤2　．
15．　①②④ 16．　1　． 17．　，）　． 18．　　． 19．　　．
三．解答题（共12小题）
20．小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．
（1）求大卷和小卷壁纸的单价；
（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．
①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；
②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．
【解答】解：（1）设大卷壁纸单价为m元/卷，小卷壁纸单价为n元/卷，
由题意得：，
解得：，
答：大卷壁纸单价为400元/卷，小卷壁纸单价为250元/卷；
（2）①购买大卷壁纸x卷，购买小卷壁纸（40﹣x）卷，
则y＝400x+250（40﹣x）＝150x+10000，
∴y与x的函数关系式为y＝150x+10000；
②∵y≤15000，
∴150x+10000≤15000，
解得：x≤，x为整数，
设贴墙壁的面积为S，
则S＝10x+5（40﹣x）＝5x+200，
∵5＞0，
∴S随x的增大而增大，
∵x最大值为33，
∴Smax＝5×33+200＝365，
答：可贴墙壁的最大面积为365平方米．
21．已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．
（1）求∠ABO的度数；
（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．
【解答】解：（1）∵|a+b|+（b﹣4）2＝0，
∴a＝﹣4，b＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），
∴AO＝BO＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO的度数为45°；
（2）△COD是等腰直角三角形．
证明：如图1：
∵BE⊥AC，OA⊥OB，
∴∠EFB+∠EBF＝∠OFA+∠OAF，
又∵∠OFA＝∠EFB，
∴∠EBF＝∠OAF，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠DOC，
∴∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴△COD为等腰直角三角形；
（3）过点C作CK⊥OB交AB于K，
∵∠ACP＝90°，
∴∠BCP＝∠OAC，
∵OA＝OB，
∴∠OAC+∠CAF＝∠OAB＝45°，
∴∠OBA＝∠F+∠BCF＝45°，
∵AC＝CF，
∴∠CAF＝∠F，
∴∠BCF＝∠OAC＝∠BCP，即OB平分∠PCF，
∵△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，
∴CA＝CP，
∵AC＝CF，
∴CP＝CF，
∵CB＝CB，
∴△BCF≌△BCP （SAS），
∴BF＝BP，
∵∠OBA＝45°，CK⊥OB，
∴△BCK为等腰直角三角形，
∴△ACF和△BCK均为等腰三角形，
∵CQ⊥AF，
∴FQ＝AQ，BQ＝QK，
∴BF＝AK，
∵△BCK为等腰直角三角形，
∴BQ＝QK＝CQ，
∴＝＝＝2．
22．如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD＝2CD，直线AD交y轴于点E．
（1）点C的坐标为 　（3，6）　；
（2）①求直线AD的解析式；②P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以点O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）F是线段AB上一动点，连接EF，将△EFB翻折得△EFB′，B′在直线AE的上方，若△EFB′与△AEF的重叠部分为直角三角形，请直接写出线段BF的长．
【解答】解：（1）由题意得，
A（6，0），B（0，12），
∴C（3，6），
故答案是（3，6）；
（2）①如图1，
作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，
∴DN//CM
∴△ODN∽△OCM，
∴，
∴＝＝，
∴DN＝4，ON＝2，
∴D（2，4）
设直线AD的解析式是y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为：y＝﹣x+6；
②设P（a，﹣a+6），
又∵O（0，0），A（6，0），
∴OA2＝36，
OP2＝a2+（a﹣6）2＝2a2﹣12a+36，
AP2＝（a﹣6）2+（a﹣6）2＝2a2﹣24a+72，
（Ⅰ）若以OA为对角线，
∴Q（a，a﹣6），
∵OP＝AP，即OP2＝AP2，
∴2a2﹣12a+36＝2a2﹣24a+72，
∴a＝3，
∴Q（3，﹣3）；
（Ⅱ）若以OP为对角线，
∴Q（a﹣6，﹣a+6），
∵OA＝AP，即OA2＝AP2，
∴36＝2a2﹣24a+72，
∴a＝6，
∴Q（，）或（，），
③若以AP为对角线，
∴Q（a+6，﹣a+6），
∵OA＝OP，即OA2＝OP2，
∴36＝2a2﹣12a+36，
∴a＝0或a＝6（舍去），
∴Q（6，6）；
综上所述，点Q的坐标为（3，﹣3）或（，）或（，）或（6，6）；
（3）如图2，
当EF⊥AB时，重合部分的是△EFB′是直角三角形，
∵∠EBF是公共角，
∠BFE＝∠AOB＝90°，
∴△BEF∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
如图3，
当EB′⊥BF时，作FG⊥BE于G，
由上知，
BH＝，EH＝，
∵∠EF平分∠BEB′，
∴∠HFE＝∠GFE，
∴GE＝EH＝，
∴BG＝BE﹣GE
＝6﹣，
∵GF∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝3﹣，
综上所述：BF＝或3﹣．
23．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C．点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）若点D在线段BO上；
①当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
②当△DEF与△AFC的面积相等时，求线段AD的长；
（3）若△DEF为直角三角形，请直接写出点D的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣6，0）代入kx+3，
∴﹣6+3＝0，
∴k＝，
∴直线AB解析式：y＝x+3，
把点A（2，n）代入y＝x+3，
∴n＝4，
∴A（2，4），
把（2，4）代入y＝﹣2x+b得，
﹣4+b＝4，
∴b＝8，
∴直线AC的函数表达式：y＝﹣2x+8．
（2）①如图，过点A作AH⊥y轴于点H，
∴AH＝2，AE2＝AB2＝（﹣6﹣2）2+（0﹣4）2＝80，
∴HE＝＝2，
∴OE＝HE﹣OH＝2﹣4，
∴E点的坐标为（0，4﹣2），
②∵S△DEF＝S△APC，
∴S△DEF+S△ADF＝S△AFC+S△ADF，即S△ADE＝S△ADC，
∵S△ABD＝S△ADE，
∴S△ABD＝S△ADC，
∴D为BC中点，
∵y＝﹣2x+8，
当y＝0时，
∴﹣2x+8＝0，
∴x＝4，
∴C（4，0），
∵B（﹣6，0），
∴D（，0），即D（﹣1，0），
∴AD＝＝5．
（3）由对折得，∠E＝∠ABD＝90°，
∴△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
当∠EDF＝90°时，
如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE＝＝135°，
∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°，
过点A作AG⊥BC于G，
∴AG＝DG＝4，
∵OG＝2，
∴OD＝2，
∴D（﹣2，0），
当∠DFE＝90°时，
由对折得，AE＝AB＝＝4，BD＝DE，
∴EF＝4﹣4，
由A、B两点坐标可得：BF＝2﹣（﹣6）＝8，
设DF＝m，则BD＝8﹣m，
∴DE＝8﹣m，
∴（8﹣m）2＝m2+（4﹣4）2，
∴m＝2﹣2，
∴OD＝DF﹣OF＝2﹣2﹣2＝2﹣4，
∴D（4﹣2，0），
综上，D（﹣2，0）或（4﹣2，0）．
24．如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒（t＞0）．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是AP＝AQ的等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B，
∴B（7，0），A（3，4），
（2）①当0＜t＜4时，PO＝t，PC＝4﹣t，BR＝T，OR＝7﹣t，
过A作AM⊥x轴于点M，
∵以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，
∴S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB＝8，
∴（3+7）×4﹣×3×（4﹣t）﹣×t×（7﹣t）﹣×4t＝8，
∴t2﹣8t+12＝0，
解得t1＝2，t2＝6（舍），
当4≤t≤7时，
∴S△APR＝×AP×OC＝2（7﹣t）＝8，
∴t＝3（舍），
∴当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
②存在，
当0＜t≤4时，直线l与AB相交于Q，直线AB与y轴交于点N，
∵NO＝OB，
∴∠OBN＝∠ONB＝45°，
∵直线l∥y轴，
∴RQ＝RB＝t，AM＝BM＝4，
∴QB＝，AQ＝4，
∵RB＝OP＝QR＝t，
∴PQ∥OR，
PQ＝OR＝7﹣t，
∵AP＝AQ，
∴7﹣t＝2×3，
∴t＝1，
当4≤t≤7时，
若AP＝AQ，
∴7﹣t＝5﹣（7﹣t），
∴t＝．
∴t＝1或t＝，以A、P、Q为顶点的三角形是AP＝AQ的等腰三角形．
25．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（6，8）且四边形OABC是矩形，
∴点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，8），
设AC的表达式为y＝kx+b，
把A、C两点的坐标分别代入上式得，解得，
∴直线AC所表示的函数的表达式是；
（2）∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8），
∴OA＝6，OC＝8．
∴Rt△AOC中，AC＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，
∵沿CD折叠，
∴∠CED＝90°，BD＝DE，CE＝6，AE＝4，
∴∠AED＝90°，
设BD＝DE＝a，则AD＝8﹣a，
∵Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴42+a2＝（8﹣a）2，解得a＝3，
∴点D的坐标为（6，5）；
（3）过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵EN⊥OC，EM⊥OA，OC⊥OA，
∴∠ENO＝∠NOM＝∠OME＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴EM＝ON．
①当EC＝EO时，
∵EC＝EO，NE⊥OC，
∴ON＝OC＝4＝EM，
△OEA的面积＝×OA×EM＝×6×4＝12；
②当OE＝OC时，
∵EN⊥OC，
∴∠ENC＝∠ENO＝90°，
设ON＝b，则CN＝8﹣b，
在Rt△NEC中，NE2＝EC2﹣CN2，
在Rt△ENO中，NE2＝EO2﹣ON2，
即62﹣（8﹣b）2＝82﹣b2，
解得：b＝，
则EM＝ON＝，
△OEA的面积＝×OA×EM＝×6×＝；
故△OEA的面积为12或．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x折叠，点B落在y轴的点C处．
（1）点C的坐标为　（0，3）　；
（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；
（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）直线l1：y＝﹣x+4分别交x、y轴于B、A两点，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（6，0），
设直线l2与y轴交于点H（0，﹣），则BH＝＝，
则CH＝BH＝，则OC＝HC﹣OH＝﹣＝3，
故答案为：（0，3）；
（2）①点D在第一象限时，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴CD∥OB，
∴点D的纵坐标为3，
当y＝3时，﹣x+4＝3，
解得：x＝，
∴点D的坐标为（，3），
∴直线OD的解析式为：y＝2x；
②点D在第二象限时，AC＝4﹣3＝1．
设点D到y轴的距离为a，
则S△CDB＝S△CDA+S△CAB
＝×1 a+×1×6
＝a+3，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴a+3＝×3a，
解得a＝3，
∴点D的横坐标为﹣3，
当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）+4＝6，
∴点D的坐标为（﹣3，6），
∴直线OD的解析式为：y＝﹣2x；
（3）存在，理由：
设直线OD平移后的解析式为y＝2x+b，
令y＝0，则2x+b＝0，解得x＝﹣b，
令x＝0，则y＝b，
所以OE＝﹣b，OF＝b，
过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，
∵四边形EFMP为正方形，
∴△MNF≌FOE≌△EQP，
∴MN＝OF＝EQ，NF＝OE＝PQ，
M（m，3），
∴ON＝b+b＝3，
解得b＝2
∴OE＝1，OF＝2，
∴OQ＝OE+QE＝1+2＝3，
∴M（﹣2，3），P（﹣3，1）．
故存在点M（﹣2，3）和点P（﹣3，1），使四边形EFMP为正方形．
当直线在EF经过一，二，三象限时，如图3﹣1中，同法可得M（6，3），P（3，﹣3）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣3，1）或（3，﹣3）．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；
（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标；
（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2）；
△COB的面积＝×OB×xC＝×3×2＝3；
（2）设点P（m，﹣m+3），
S△COP＝S△COB，则BC＝PC，
则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，
解得：m＝4或0（舍去0），
故点P（4，1）；
（3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），
①当∠MQN＝90°时，
∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，∴∠MQH＝∠GNQ，
∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，
∴△NGQ≌△QHM（AAS），
∴GN＝QH，GQ＝HM，
即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，
解得：m＝，n＝；
②当∠QNM＝90°时，
则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，
n＝yN＝3﹣＝；
③当∠NMQ＝90°时，
同理可得：n＝；
综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
28．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，
∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+2；
（2）同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣…①，则点E（0，﹣），
直线AD的表达式为：y＝﹣3x+2…②，
联立①②并解得：x＝1，即点D（1，﹣1），
点B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1），
故点E是BD的中点，即BE＝DE；
（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝，
直线AC的表达式为：y＝x+2，则点M（﹣6，0），
S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，
解得：NB＝，
故点N（﹣，0）或（，0）．
29．如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，
（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；
（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；
（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围．
【解答】解：（1）将点A、B坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线AB的表达式为：y＝2x﹣4，
直线CD的表达式为：y＝﹣x+5…①，
则点C、D的表达式分别为：（5，0）、（0，5），
联立直线AB表达式与直线CD表达式：y＝﹣x+5并解得：x＝3，
故点E（3，2）；
（2）如图，设点M（m，2m﹣4），
过点M作MN⊥CD交于点N，
则MN＝3，
∵MN⊥CD，
∴直线MN表达式中的k值为1，
设直线MN的表达式为：y＝x+b′，将点M坐标代入上式并解得：
直线MN的表达式为：y＝x+（m﹣4）…②，
联立①②并解得：x＝，则点N（，），
MN2＝（m﹣）2+（﹣2m+4）2＝（3）2，
解得：m＝1或5（舍去），
故点M（1，﹣2）；
（3）①如图2（左侧图），
当2≤t≤3时，图象到达O′Q′P′A′的位置，
OA＝2，OB＝4，∵GA′∥OB，则＝2，则GA′＝2AA′
则S＝AA′×A′G＝AA′×AA′tanα＝（t﹣2）2；
②3＜t≤4时，如图3，设A′P′交直线CD于点H，
此时，点A′（t，0），则A′C＝5﹣t＝A′H，
∴P′H＝P′E＝2﹣A′H＝3﹣（5﹣t）＝t﹣3，
∴S＝S梯形AA′P′E﹣S△EHP′＝（t﹣3+t﹣2）×2（t﹣3）2＝﹣t2+5t﹣；
③如图4，
4＜t≤5时，图象到达O′′Q′′P′′A′′的位置，
直线BE交O″Q″于点H′，直线CD交A″P″于点G′，
AA''＝t﹣2，AO''＝t﹣4，A''C＝5﹣t，H'O''＝2AO''＝2（t﹣4）＝2t﹣8，G'A''＝A''C＝5﹣t，
S△AO″H′＝×AO''×O''H'＝（t﹣4）2，同理S△A″CG′＝（5﹣t）2，S＝S△ACE﹣S△AO″H′﹣S△A″CG′＝3﹣（t﹣4）2﹣（5﹣t）2＝﹣t2+13t﹣．
则AA″＝t，AO″＝t﹣2，A″C＝3﹣t，
H′O″＝2AO″＝2（t﹣2），G′A″＝A″C＝3﹣t，
S△AO″H′＝×AO″×O″H′＝（t﹣2）2，
同理：S△A″CG′＝（3﹣t）2，
S＝S△ACE﹣S△AO″H′﹣S△A″CG′＝3﹣（t﹣2）2﹣（3﹣t）2＝﹣t2+7t﹣，
故：S＝．
30．在平面直角坐标系中，M（m，n），B（0，b），m，n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于C点，过C点作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．
（1）求M点的坐标．
（2）如图1，在B点运动过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值．若变化，写出A点横坐标a的取值范围．
（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM垂足为H（垂足H在x轴的下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK．在B点运动过程中，求∠OKB的度数并直接写出b的取值范围．
【解答】解：（1）∵m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，∴（m﹣n）2+（n+2）2＝0，
∴；解得：；
∴M（﹣2，﹣2）
（2）在B点运动过程中，A点的横坐标不变，a＝﹣4；
如图1，连接CM，OM，过点M作MD⊥x轴于D，作ME∥x轴，过点A作AE∥y轴交ME于E，交x轴于T，
∵AC⊥CB，∠ABC＝45°，∴∠ATC＝∠ACB＝∠BOC＝90°，
∴∠BCO+∠ACT＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∠CAB＝∠ABC
∴∠ACT＝∠CBO，AC＝BC
∴△ACT≌△CBO（AAS）
∴CT＝BO，AT＝CO
∴a＝t+b
∵OD＝DM＝2，∠ODM＝90°，
∴∠DOM＝∠ABC＝45°，
∵∠DOM+∠COM＝180°
∴∠ABC+∠COM＝180°，
∴B、C、O、M四点共圆，
∴∠COB＝∠CMB＝90°，即CM⊥AB，
∵AC＝BC，
∴AM＝BM，即M为AB中点，
∴b+t＝﹣4，∴a＝﹣4．
（3）如图2，连接TM、OM，过O作ON⊥BM于N，由（2）知，点T（﹣4，0），
易证△OMT是等腰直角三角形，
∴TM＝OM，∠OMT＝90°，
∵TH⊥BM，ON⊥BM，
∴∠THM＝∠ONM＝90°
∴∠TMH+∠OMN＝90°，∠MON+∠OMN＝90°，
∴∠TMH＝∠MON
∴△TMH≌△MON（AAS）
∴HT＝MN＝HK，KN＝HM＝ON
∴∠OKB＝45°；
字母b的取值范围是：﹣4＜b＜0．
同理当b＞0时，∠OKB＝135°．
31．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y＝mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值；
（3）如图3，过点A的直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过N点的直线y＝交AP于点M，若的值不变，请你加以证明和求出其值．
【解答】解：（1）由题意得：a2﹣4≥0，4﹣a2≥0，故a＝±2（舍去﹣2），
故：a＝2，b＝4，
即点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，4），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+n得：，解得：，
故直线AB的表达式为：y＝﹣2x+4；
（2）①当∠MBA为直角时，
如左侧图，则AB＝BM，
∵∠HBM+∠HMB＝90°，∠MBH+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠MBH，又∵∠MHB＝∠BOA＝90°，AB＝BM，
∴△MHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，HM＝OB＝4，
故点M坐标为（4，6），
把点M坐标代入y＝mx，
解得：m＝；
②当∠BAM是直角时，
同理可得：点M（6，2），
故m＝；
③当∠BMA为直角时，
如右侧图，
同理可得：点M（3，3），则m＝1；
综上，m＝或或1；
（3）N点在直线y＝上，则点N（﹣1，﹣k），
联立y＝kx﹣2k、y＝并解得：x＝3，故点M（3，k），
直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，则点P（0，﹣2k），
PM﹣PN＝﹣＝2，
而AM＝＝，
故：＝2为常数