2021-2022学年度北师版八年级数学下册教案 1.2直角三角形

2　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
教学目标
一、基本目标
1．掌握勾股定理及其逆定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题．
2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，明确原命题成立，其逆命题不一定成立．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法．
【教学难点】
运用定理解决与直角三角形有关的问题．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P14～P16的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)直角三角形的性质与判定
1．直角三角形的两个锐角互余．反之，有两个角互余的三角形是直角三角形．
2．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
3．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是(　D　)
A．a＝1，b＝2，c＝3
B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5
D．a＝3，b＝4，c＝5
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若b＝5，c＝13，则a＝12；若a＝8，b＝6，则c＝10.
(二)命题与逆命题
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
2．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，CD⊥AB于点D.求：
(1)AC的长；
(2)△ABC的面积；
(3)CD的长．
【互动探索】(引发学生思考)观察图形与已知条件，利用勾股定理求AC的长，利用三角形的面积公式计算△ABC的面积，利用等面积法求CD的长．
【解答】(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，∴AC＝＝12 cm.
(2)S△ABC＝CB·AC＝30 cm2.
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，
∴CD＝＝ cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
【例2】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？逆命题一定是真命题吗？
【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．该逆命题是真命题．
(2)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)．该逆命题是真命题．
(3)逆命题：内错角相等．该逆命题是假命题．
(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°.该逆命题是真命题．
【互动总结】(学生总结，老师点评)逆命题的条件是原命题的结论，逆命题的结论是原命题的条件．
【例3】如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD，求证：CE⊥EF.
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证CE⊥EF，考虑证△CFE是直角三角形．结合已知条件，可考虑利用勾股定理的逆定理进行证明．
【证明】如题图，连结CF，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3，∴由勾股定理，得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　D　)
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
2．如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(　A　)
A．直角三角形　 B．锐角三角形
C．钝角三角形　 D．以上答案都不对
3．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形．
4．如图所示，以Rt△ABC的三条边为边长分别向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1＝4，S2＝8，则S3＝ 12.
5．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
(1)求证：∠ACD＝∠B；
(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则求CD的长．
(1)证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B.
(2)解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB·CD＝AC·BC，∴CD＝＝＝.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例4】如图所示，在等腰直角三角形OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰直角三角形OA1A2，以OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，…，则OAn的长度为______．
【互动探索】∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1，∴OA1＝OA＝.∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴OA2＝OA1＝2＝()2.∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝OA2＝2＝()3.∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝OA3＝4＝()4，…，∴OAn＝OAn－1＝()n.
【答案】()n
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理是解题关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)．
2．直角三角形的判定
3．逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
4．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 直角三角形全等的判断
教学目标
一、基本目标
1．能够证明直角三角形全等的“HL”定理，并能利用“HL”定理解决实际问题．
2．进一步掌握推理证明的方法，提升演绎推理能力和思维能力．
二、重难点目标
【教学重点】
直角三角形全等的判定方法．
【教学难点】
直角三角形全等的判定的应用．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P18～P20的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．证明三角形全等的方法有：AAS 、ASA、SAS、SSS.
2．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”．
3．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是(　A　)
A．HL　 B．ASA
C．SAS　 D．AAS
4．下列条件中能判定两个直角三角形全等的有(　D　)
①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角对应相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．
A．6个　 B．5个　　
C．4个　 D．3个
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
【互动探索】(引发学生思考)证明三角形全等的方法有哪些？已知两边对应相等可以寻找哪些条件证明三角形全等？
【证明】∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵ ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．
【例2】如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
【互动探索】(引发学生思考)从图中可以知道，要证BC＝BE，可以从三角形全等入手．观察图形判断Rt△ADC和Rt△AFE全等吗？Rt△ABD和Rt△ABF呢？
【证明】∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，∵∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD＝EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中，∵∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．下列条件中能说明两个直角三角形全等的是(　D　)
A．锐角分别相等
B．一条直角边分别相等
C．斜边分别相等
D．两直角边分别相等
2．如图所示，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90° ，AB＝DC，那么图中共有全等三角形(　C　)
A．5对　 B．4对　　
C．3对　 D．2对
3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再补充一个条件BC＝EF(答案不唯一)，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF.
4．如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，BE＝DF. 求证：Rt△BCE≌Rt△DCF.
证明：连结BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC.∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt△DCF中，∵ ∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.点P、Q分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A、C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
【互动探索】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出点P的位置；(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．
【解答】分情况讨论：(1)当点P运动到AP＝BC时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，∠C＝∠QAP＝90°，BC＝AP，AB＝PQ，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；(2)当点P运动到与点C重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”．
练习设计
请完成本课时对应练习！