2021-2022学年度北师版八年级数学下册教案 3.1图形的平移

1　图形的平移
第1课时　平移的认识
教学目标
一、基本目标
1．认识平移，说出平移的定义，理解平移的基本内涵．
2．经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，探索图形平移的基本性质．
3．通过探究，归纳平移的定义、特征、性质，积累数学活动经验，进一步发展空间观念，增强空间想象力．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握平移的定义及性质．
【教学难点】
根据平移的性质进行简单的平移作图．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移不改变图形的形状和大小．
2. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．
3．下列运动属于平移的是(　A　)
A．急刹车时汽车在地面上的滑动
B．冷水加热中，小气泡上升为大气泡
C．随风飘动的风筝在空中的运动
D．随手抛出的彩球的运动
4．如图所示，下列每组图形中的两个三角形不是通过平移得到的是(　B　)
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】(教材P66例1)如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D.
(1)指出平移的方向和距离；
(2)画出平移后的三角形．
【互动探索】(引发学生思考)平移的方向和距离怎么确定？(对应点从起点到终点所指的方向，对应点间的线段长度为平移距离)→画平移图形的方法是什么？
【解答】(1)如图，连结AD，平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度．
(2)如图，分别过点B、C按射线AD的方向作线段BE、CF，使得它们与线段AD平行且相等，连结DE、DF、EF，△DEF就是△ABC平移后的图形．
【例2】如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于(　　)
A．1　　 B．　　
C．　 D．2
【互动探索】(引发学生思考)观察重叠部分是哪种特殊三角形？由它的面积可以求出哪条边的长？
【分析】设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴×x×2x＝2，解得x＝(舍去负值)，∴B1C＝2，∴BB1＝BC－B1C＝.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质，关键是判断重叠部分为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求出重叠部分的底边长．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．下列说法正确的是(　B　)
A．两个全等的图形可看作其中一个是由另一个平移得到的
B．由平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线)
C．由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等，但面积未必相等
D．边长相等的两个正方形一定可以通过平移得到
2．下列现象：①电风扇的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动．其中属于平移的是②④.(填序号)
3．如图所示，一张白色正方形纸片的边长是10 cm，被两张宽为2 cm的纸条(阴影部分)分为四个白色的长方形部分，请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积．
解：把图中的阴影部分平移到正方形纸片相邻的两边上，这时图中的四个白色长方形变成了一个正方形，且边长为10－2＝8(cm)，则面积为82＝64(cm2)，故图中白色部分的面积为64 cm2.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有(　　)
①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为.
A．1个　 B．2个　　
C．3个　 D．4个
【互动探索】根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．
【分析】①由对应线段平行可得AC∥DF，正确；②由对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝(AB＋EH)·BE＝×(8＋5)×5＝，错误．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查平移的基本性质：(1)平移不改变图形的形状和大小；(2)对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．平移的定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
2．平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．
3．简单的平移作图
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时　坐标系中的点沿x轴、y轴的一次平移
教学目标
一、基本目标
1．进一步理解平移的意义和平移的性质．
2．通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系．
3．理解并掌握图形平移在平面直角坐标系中的坐标变化规律，即：向右平移几，就是横坐标加几；向左平移几，就是横坐标减几；向上平移几，就是纵坐标加几；向下平移几，就是纵坐标减几．
二、重难点目标
【教学重点】
理解和掌握直角坐标系中图形的坐标变化规律．
【教学难点】
对图形平移在平面直角坐标系中的坐标变化规律的探究．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P68～P69的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在平面直角坐标系中，如果把图形中点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着x轴向右(或向左)平移a个单位长度．
2．在平面直角坐标系中，如果把图形中点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着y轴向上(或向下)平移a个单位长度．
3．如果一个图案沿x轴负方向平移3个单位长度，那么这个图案上的点的坐标变化为(　B　)
A．横坐标不变，纵坐标减少3个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标减少3个单位长度
C．横、纵坐标都没有变化
D．横、纵坐标都减少3个单位长度
4．点M(－2,5)是由点N向上平移3个单位长度得到的，则点N的坐标为(　A　)
A．(－2,2)　 B．(－5,5)　　
C．(－2,8)　 D．(1,5)
5．如图所示，经过平移，小船上的点A移到了点B，作出平移后的小船．
解：如图所示．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别是A(4,3)、B(3,1)、C(1,2)．
(1)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连结A1、B1、C1各点，所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
(2)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去4，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连结A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
【互动探索】(引发学生思考)(1)△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，就是把△ABC向左平移了5个单位得到△A1B1C1；
(2)△ABC三个顶点的纵坐标都减去4，横坐标不变，就是把△ABC向下平移了4个单位得到△A2B2C2.
【解答】(1)根据题意，得点A1(－1,3)、B1(－2,1)、C1(－4,2)，所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状完全一样，只是把△ABC向左平移了5个单位．
(2)根据题意，得点A2(4，－1)、B2(3，－3)、C2(1，－2)，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全一样，只是把△ABC向下平移了4个单位．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了坐标与图形变化—平移：向右平移a(a>0)个单位，坐标P(x，y)→P(x＋a，y)；向左平移a(a>0)个单位，坐标P(x，y)→P(x－a，y)；向上平移b(b>0)个单位，坐标P(x，y)→P(x，y＋b)；向下平移b(b>0)个单位，坐标P(x，y)→P(x，y－b)．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,5)、B(1,2)、C(4,2)，将△ABC向左平移5个单位长度后，点A的对应点A′的坐标是(　B　)
A．(0,5)　 B．(－1,5)
C．(9,5)　 D．(－1,0)
2．一个三角形最初的一个顶点为A，把它先向下平移4个单位长度后的位置记为B，再向左平移3个单位长度后的位置记为C，则由A、B、C三点所组成的三角形的周长为(　C　)
A．7　 B．14　　
C．12　 D．15
3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(－1,2)，点C的坐标为(－3,0)，将线段AC沿x轴向右平移3个单位长度，此时点A的对应点的坐标为(2,2)．
4．如图所示，△OAB的顶点B的坐标为(4,0)，把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE.如果CB＝1，那么OE的长为7.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3.已知A(－3,1)、A1(－3,2)、A2(－3,4)、A3(－3,8)；B(0,2)、B1(0,4)、B2(0,6)、B3(0,8)．
(1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成OA4B4，则点A4的坐标为______，点B4的坐标为______；
(2)若按(1)题找到的规律，将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则点An的坐标是______，Bn的坐标是______．
【互动探索】(1)根据题意得出点A、B横、纵坐标的变化规律，进而得出答案；
(2)结合(1)中发现的规律得出一般公式即可得解．
【分析】(1)∵A(－3,1)、A1(－3,2)、A2(－3,4)、A3(－3,8)，
∴其变化规律：横坐标为－3，纵坐标依次为20,2,22,23，…
∴A4的纵坐标为24＝16，
∴A4(－3,16)．
∵B(0,2)、B1(0,4)、B2(0,6)、B3(0,8)，
∴其变化规律：横坐标为0，纵坐标依次为2,2×1＋2,2×2＋2,2×3＋2，…，
∴B4的纵坐标为2×4＋2＝10，
∴B4(0,10)．
(2)由(1)得出：An(－3,2n)、Bn(0,2n＋2)．
【答案】(1)(－3,16)　(0,10)
(2)(－3,2n)　(0,2n＋2)
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了规律型点的坐标，根据题意得出点A、B横、纵坐标变化规律是解题关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
设(x，y)是原图形上的一点，经过平移后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：
平移方向 平移距离 对应点的坐标
沿x轴方向 向右平移 a个单位长度(a>0) (x＋a，y)
向左平移 (x－a，y)
沿y轴方向 向上平移 (x，y＋a)
向下平移 (x，y－a)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时　坐标系中的点沿x轴、y轴的两次平移
教学目标
一、基本目标
1．继续探究平移既有横向又有纵向时坐标的变化特点．
2．经历沿x轴、y轴方向和综合方向平移时位置和数量的关系，通过观察、分析以及抽象、概括等过程，发现平移时坐标变化的特点．
3．通过欣赏生活中的平移图形与学生自己设计的平移图案，使学生感受数学的美．
二、重难点目标
【教学重点】
沿x轴、y轴方向和综合方向平移时位置和数量的关系．
【教学难点】
坐标变化和图形平移的关系．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P71～P73的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一个图形依次沿着x轴方向、y轴方向平移后所得到图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．
2．如图所示，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位．将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，下面正确的平移步骤是(　A　)
A．先把三角形ABC向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先把三角形ABC向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
3．将点A(－3，－3)向右平移5个单位长度，得到点A1，再把A1向上平移4个单位长度，得到点A2，则点A2的坐标为(　B　)
A．(－2，－1)　 B．(2,1)
C．(－3,1)　 D．(3,1)
4．将点A(－2,5)沿x轴负方向平移6个单位长度，再将横坐标乘－2，所得点的坐标为(16,5)．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P(x0，y0)经平移后的对应点为P′(x0＋5，y0－2)．
(1)已知A(－1,2)、B(－4,5)、C(－3,0)，请写出A′、B′、C′的坐标；
(2)试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；
(3)请直接写出△A′B′C′的面积．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据点P(x0，y0)经平移后的对应点为P′(x0＋5，y0－2)可得A、B、C三点的坐标变化规律；(2)根据点的坐标的变化规律可得△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位；(3)把△A′B′C′放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．
【解答】(1)A′(4,0)、B′(1,3)、C′(2，－2)．
(2)△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位(或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位)．
(3)△A′B′C′的面积为6.
【互动总结】(学生总结，老师点评)熟练掌握平移规律是解题关键：上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减；左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．把点M(1,3)先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的点是(　A　)
A．(3,2)　 B．(－1,4)
C．(0,5)　 D．(2,1)
2．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′，则平移后点B的对应点B′的坐标为(－2,1)．
3．如图所示，A、B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，若将线段AB平移到线段A1B1，A1、B1的坐标分别为(2，a)，(b,3), 则a＋b＝2.
4．已知长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，将长方形ABCD沿x轴向左平移到使点C与坐标原点重合后，再沿y轴向下平移到使点D与坐标原点重合，此时点B的坐标是(－5，－3)．
5．如图所示的一小船，将其向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，试确定A、B、C、D、E、F、G平移后对应点的坐标，并画出平移后的图形．
解：对应点坐标分别为A′(－5，－3)、B′(－3，－4)、C′(－2，－4)、D′(－1，－3)、E′(－3，－3)、F′(－3，－1)、G′(－4，－2)．描出这些对应点并按原来的顺序连结起来，可得平移后的图形，如图所示．
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
(1)求下列各点的坐标：A4、A8、A10、A12；
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；
(3)按此移动规律，若点Am在x轴上，请用含n的代数式表示m(n是正整数)；
(4)指出蚂蚁从点A2019到点A2020的移动方向．
【互动探索】(1)观察图形可知，A4、A8、A12都在x轴上，求出OA4、OA8、OA12的长度，然后写出坐标即可；(2)根据(1)中规律写出点A4n的坐标即可；(3)根据以上所求即可得出在x轴上点的变化规律以及下标为4n或4n－1；(4)根据2019÷4＝504……3，可知从点A2019到点A2020的移动方向与从点A3到A4的方向一致．
【解答】(1)由图可知，A4、A8、A12…都在x轴上．
∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴OA4＝2，OA8＝4，OA12＝6，
∴A4(2,0)、A8(4,0)、A12(6,0)，
∴A10(5,1)．
(2)根据(1)可知，OA4n的横坐标为4n÷2＝2n，纵坐标为0，
∴A4n(2n,0)．
(3)∵只有下标为4的倍数或比4的倍数小1的数在x轴上，而点Am在x轴上，
∴用含n的代数式表示为m＝4n或m＝4n－1.
(4)∵2019÷4＝504……3，
∴从点A2019到点A2020的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出A4n都在x轴上是解题关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
设(x，y)是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度，沿y轴方向平移b(b>0)个单位长度后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 (x＋a，y＋b)
向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 (x＋a，y－b)
向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 (x－a，y＋b)
向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 (x－a，y－b)
练习设计
请完成本课时对应练习！