2021-2022学年度北师版八年级数学下册2　图形的旋转（教案）

2　图形的旋转
第1课时　旋转的定义和性质
教学目标
一、基本目标
1．能说出旋转的意义，知道什么是旋转角、什么是旋转中心，知道旋转前后两个图形的形状和大小不变．
2．掌握旋转的性质，能够运用旋转的意义和旋转的性质分析、判断一些简单的旋转现象．
二、重难点目标
【教学重点】
探索和理解旋转的性质．
【教学难点】
利用旋转的性质解决相关问题．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P75～P76的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．旋转不改变图形的形状和大小．
2. 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．
3．如图，将左边叶片图案旋转180°后，得到的图形是(　D　)
4．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)AF的长度是多少？
(4)如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
解：(1)旋转中心是点A.　(2)90°.　(3)AF＝.　(4)△EAF是等腰直角三角形．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，将△AOB绕着点O旋转180°得到△DOC，过点O的一条直线分别交BA、CD的延长线于点E、F.求证：AE＝DF.
【互动探索】(引发学生思考)先利用旋转的性质得到OB＝OC，AB＝CD，∠B＝∠C，再证明△OBE≌△OCF，则BE＝CF，从而可证得AE＝DF.
【证明】∵△AOB绕着点O旋转180°得到△DOC，
∴OB＝OC，AB＝CD，∠B＝∠C.
在△OBE和△OCF中，∵
∴△OBE≌△OCF，
∴BE＝CF，
∴BE－AB＝CF－CD，即AE＝DF.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质及判定是关键．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　C　)
A．30°　 B．45°　　
C．90°　 D．135°
2．如图所示，把菱形ABOC(四条边都相等)绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中，不是旋转角的为(　D　)
A．∠BOF　 B．∠AOD
C．∠COE　 D．∠AOF
3．如图所示，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是(－1,0)．现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是(2,1)．
4．如图所示，边长为4的正方形ABCD绕点D逆时针旋转30°后能与四边形A′B′C′D′重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)四边形A′B′C′D′是怎样的图形？面积是多少？
(3)求∠C′DC和∠CDA′的度数；
(4)连结AA′，求∠DAA′的度数．
解：(1)旋转中心是点D.
(2)四边形A′B′C′D′是正方形，其面积为16.
(3)∠C′DC＝30°，∠CDA′＝60°.
(4)∠DAA′＝∠DA′A＝75°.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝4，OC＝OD＝2，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α(0＜α≤360°)．
(1)当OC∥AB时，旋转角α＝________，OC⊥AB时旋转角α＝________；
(2)线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明；
(3)当A、C、D三点共线时，求BD的长．
【互动探索】(1)当点D在线段AO和线段AO的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α＝60°或240°，同理可求OC⊥AB时的旋转角；(2)结论：AC＝BD.只要证明△AOC≌△BOD即可；(3)分两种情况分别求解即可．
【解答】(1)60°或240°　150°或330°
(2)结论：AC＝BD.证明如下：
∵∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠COA＝∠DOB.
在△AOC和△BOD中，∵
∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD.
(3)①如图3，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于点H.
在Rt△COH中，∵OC＝2，∠COH＝30°，
∴CH＝HD＝1，OH＝，
∴在Rt△AOH中，AH＝＝，
∴BD＝AC＝CH＋AH＝1＋.
②如图4，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于点H.
易知AC＝BD＝AH－CH＝－1.
综上所述，当A、C、D三点共线时，BD的长为＋1或－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解，正确添加辅助线，构造直角三角形．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．旋转的概念
将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
2．旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时　旋转作图
教学目标
一、基本目标
1．进一步理解掌并握旋转的意义和性质．
2．能够根据旋转的性质作出一些简单的平面图形旋转后的图形．
3．能够综合运用平移和旋转分析、解释一些简单图形的变换．
二、重难点目标
【教学重点】
根据旋转的性质作出一些简单的平面图形旋转后的图形．
【教学难点】
综合运用平移和旋转分析、解释一些简单图形的变换．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P78～P79的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．确定一个图形旋转后的位置的条件：(1)图形原来的位置；(2)旋转中心；(3)旋转方向及角度．这三个条件缺一不可．只有这三个条件都具备，我们才能准确地找到一个图形绕点旋转后的位置，进而作出它旋转后的图形．
2．将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示)．你知道旋转角是多少吗？连结BB′，△ABB′有什么特征？
解：由旋转可知，旋转角为∠BAB′，它的度数为180°－30°＝150°.连结BB′，△ABB′为顶角为150°的等腰三角形．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3,2)、B(0,4)、C(0,2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据网格结构找出点A、B、C旋转180°后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连结即可．找出平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连结即可；
(2)根据旋转的定义结合图形，连结两对对应点，交点即为旋转中心．
【解答】(1)△A1B1C1、△A2B2C2如图所示．
(2)如上图，旋转中心为.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了利用旋转变换和轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题关键．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．△ABC是等腰直角三角形，其中∠ACB是直角，将△ABC绕着点A逆时针旋转45°，旋转前后的图形组成图1；再将图1作为“基本图形”绕着点A经过逆时针连续旋转得到图2.三次旋转的角度分别为(　A　)
A．90°，180°，270°　 B．90°，45°，180°
C．60°，30°，90°　 D．30°，60°，180°
2．如图所示，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C.若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是(　B　)
A．110°　 B．80°　　
C．40°　 D．30°
3．如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，若∠A＝25°，则∠CED等于(　B　)
A．55°　 B．65°　　
C．45°　 D．75°
4．如图所示，△A′B′C可以看成是由△ABC以O为旋转中心，旋转180°形成的，如果AO＝2，则AA′＝4.
5．如图，画出△ABC绕点O逆时针旋转60°后得到的△DEF，使A、B、C的对应点分别为D、E、F.
解：如题图所示．
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，分别以正方形ABCD的边AD和DC为直径画两个半圆交于点O.若正方形的边长为10 cm，求阴影部分的面积．
【互动探索】整个阴影部分比较复杂和分散，像此类问题通常使用割补法来计算．连结BD、AC，由正方形的对称性可知，AC与BD必交于点O，从而通过割补求解．
【解答】如图，把阴影部分Ⅰ绕点O逆时针旋转90°至阴影部分①处，把阴影部分Ⅱ绕点O顺时针旋转90°至阴影部分②处，使原阴影部分变为如图的阴影部分，即正方形的一半，故阴影部分面积为×10×10＝50(cm2)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是利用旋转的特征：旋转前、后图形的形状和大小不变，把图形利用割补法补全为一个面积可以计算的规则图形．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．简单的旋转作图
2．旋转图形的应用
练习设计
请完成本课时对应练习！