2021-2022学年度北师版八年级数学下册 3　公式法（教案）

3　公式法
第1课时　平方差公式
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解平方差公式的本质：结构的不变性，字母的可变性．
2．会用平方差公式进行因式分解．
3．了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法，再考虑用公式法分解．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握运用平方差公式分解因式的方法．
【教学难点】
用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P99的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积．
2．当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解．
3．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；
(y＋5)(y－5)＝y2－25.
(2)根据(1)中等式填空：
x2－4＝(x＋2)(x－2)；
y2－25＝(y＋5)(y－5)．
4．下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是②.(填序号)
①x2＋y2；②1－x2；③－x2－y2；④x2－xy.
5．分解因式：
(1)4x2－9y2；(2)16－a4；(3)(a2＋1)2－4a2.
解：(1)(2x＋3y)(2x－3y)．
(2)(4＋a2)(2＋a)(2－a)．
(3)(a＋1)2(a－1)2.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】分解因式：
(1)a4－b4；　(2)x3y2－xy4.
【互动探索】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解．
【解答】(1)原式＝＝.
(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
【例2】 248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．
【互动探索】被自然数整除的含义是什么？248－1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？
【解答】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．
∵26＝64，∴26－1＝63,26＋1＝65，
∴这两个数是65和63.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　D　)
A．a2＋(－b)2　 B．5m2－20mn
C．－x2－y2　　 C．－x2＋9
2．下列各式从左到右的变形正确的是(　D　)
A．－2x＋4y＝－2(x－4y)
B．a2－6＝(a＋2)(a－3)
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
3．当整数a为－4时(只写一个)，多项式x2＋a能用平方差公式分解因式．
4．分解因式：
(1)x3y2－xy4；
(2)(a＋b)2－4a2；
(3)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)xy2(x＋y)(x－y)．
(2)(b－a)(3a＋b)．
(3)4(m＋2n)(2m＋n)．
5．已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例3】利用因式分解计算：
(1)1012－992；
(2)5722×－4282×.
【互动探索】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解．
【解答】(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400.
(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36 000.
【互动总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，使运算简便．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时　完全平方公式
教学目标
一、基本目标
1．了解运用公式法分解因式的意义．
2．会用公式法分解因式．
3．知道提公因式法是因式分解首先考虑的方法，然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行因式分解．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握多步骤、多方法分解因式的过程．
【教学难点】
学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P101的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
2．根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．
3．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是③.(填序号)
①x2－2x－2；②x2＋1；③x2－4x＋4；④x2＋4x＋1.
4．分解因式：
(1)9x2＋6x＋1；
(2)3m2n－12mn＋12n；
(3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
解：(1)(3x＋1)2.
(2)3n(m－2)2.
(3)(a＋b－6)2.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
【互动探索】(引发学生思考)观察式子中的各项，提取公因式，用公式进行因式分解．
【解答】(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2.
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)·(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
【例2】已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
【互动探索】(引发学生思考)将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，由运用整体代入的数学思想来解答．
【解答】a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　B　)
(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；
(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.
A．1个　 B．2个　　
C．3个　 D．4个
2．有一个式子为x2＋6x＋△＝(x＋Ω)2，则(　A　)
A．△＝9，Ω＝3　 B．△＝6，Ω＝3
C．△＝3，Ω＝9　 D．△＝3，Ω＝6
3．若x2＋(m－3)x＋16可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于－5或11.
4．因式分解：
(1)2a3－4a2b＋2ab2；
(2)(x＋2)(x＋3)＋；
(3)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.
解：(1)2a(a－b)2.
(2)2.
(3)(x＋2)2(x－2)2.
5．利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500.
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知x＋＝4，求：
(1)x2＋的值；
(2)2的值．
【互动探索】确定x＋与所求式子之间的联系→利用完全平方公式变形x2＋＝2－2，2＝2－4→代入数据求值．
【解答】(1)x2＋＝2－2＝42－2＝14.
(2)2＝2－4＝42－4＝12.
【互动总结】(学生总结，老师点评)这里需要活用公式，如x2＋＝2－2，2＝2－4，将两个完全平方公式进行互相转化．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
2．完全平方公式的特点：
(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；
(2)有两个同号的平方项；
(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．
练习设计
请完成本课时对应练习！