2021-2022学年度北师版八年级数学下册 3　分式的加减法（教案）

3　分式的加减法
第1课时　同分母分式的加减
教学目标
一、基本目标
1．类比同分母分数的加减法法则归纳出同分母的分式加减法法则．
2．理解同分母的分式加减法法则，能进行同分母的分式加减法运算及分母互为相反数的分式加减法运算．
二、重难点目标
【教学重点】
理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减运算．
【教学难点】
分母互相反数的分式加减法运算．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P117～P118的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为：±＝.
2．计算：＋＝；－＝.
3．计算：
(1)－；　(2)－.
解：(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝＋＝＝a－b.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)－；
(2)＋；
(3)－.
【互动探索】(引发学生思考)利用同分母分式的加减法则进行计算．
【解答】(1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝＝＝－a－1.
(3)原式＝＝＝－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式．
【例2】计算：
(1)＋；
(2)＋－.
【互动探索】(引发学生思考)这两道题的分母相同吗？有什么关系？用什么方法可以将它们化成同分母分式？
【解答】(1)原式＝－
＝
＝＝
＝x＋y.
(2)原式＝－－
＝
＝＝
＝－2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)分式的分母互为相反数时，可以把分母化为完全相同，再根据同分母分式相加减的法则进行运算．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．化简＋的结果是(　D　)
A．x＋1　　 B．x－1
C．－x　　 D．x
2．计算：－＋＝1.
3．计算：－＝－2.
4．计算：(1)－；(2)＋－.
解：(1)原式＝＝1.
(2)原式＝＝0.
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时　异分母分式的加减
教学目标
一、基本目标
1．会找最简公分母，能进行分式的通分．
2．理解并掌握异分母的分式加减法法则．
3．培养学生在学习中将未知问题转化为已知问题的能力和意识，进一步通过实例，培养学生的符号感和应用数学的意识．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握异分母的分式加减法法则．
【教学难点】
找到最简公分母，能进行分式的通分．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P119～P121的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分时，关键是确定公分母，一般取各分母系数的最小公倍数与字母因式最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母．
2．异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．用式子表示为：±＝±＝.
3．通分：
(1)与；　(2)与.
解：(1)，－.
(2)，.
4．计算：
(1)＋；(2)－.
解：(1)原式＝＋＝.
(2)原式＝－＝.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)－；
(2)＋a＋2；
(3)－＋.
【互动探索】(引发学生思考)如何计算异分母分式的加减？
【解答】(1)原式＝－
＝－
＝＝.
(2)原式＝＝＝2a.
(3)原式＝－＋＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．计算＋的结果是(　C　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
2．计算－的结果是(　D　)
A．－　　 B．　　
C．－　　 D．
3．计算：
(1)＋；　(2)＋；
(3)－－.
解：(1).　(2).　(3)－.
5．已知实数a、b满足ab＝1，求下列分式的值．
(1)＋；　(2)＋.
解：(1)原式＝＋
＝＋＝1.
(2)原式＝＋＝＋＝1.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？
【互动探索】重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．
【解答】设两次航行的路程都为s.
第一次所用时间为＋＝，
第二次所用时间为＋＝.
∵b＞a，∴b2＞a2，
∴v2－b2＜v2－a2，
∴＞.
∴第一次的时间要短些．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；(2)比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．分式的通分
2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式的加减法的法则进行计算．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时　分式的混合运算
教学目标
一、基本目标
1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算．
2．提高学生对代数式化简变形的能力．
3．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值．
二、重难点目标
【教学重点】
分式的混合运算及较复杂的分式化简、求值．
【教学难点】
运用分式建立数学模型，从而解决实际问题．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P122～P123的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式．
2．化简：1－·＝.
3．计算：
(1)÷；(2)＋.
解：(1)a－b.　(2).
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】计算：
(1)÷；
(2)÷.
【互动探索】(引发学生思考)分式的混合运算需要注意哪些问题？
【解答】(1)原式＝÷
＝÷
＝·
＝－.
(2)原式＝÷
＝÷
＝·
＝－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．
【例2】已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求－·的值．
【互动探索】(引发学生思考)本题没有直接给出a的值，应该如何化简求值呢？
【解答】－·
＝－·
＝－＝
＝.
∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，
∴原式＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．计算÷的结果为(　A　)
A．a　 B．－a　　
C．(a＋3)2　 D．1
2．化简÷的结果是(　A　)
A.　　B.　　C.　　D.
3．化简·＋的结果是.
4．化简(m＋1)的结果是m.
5．甲、乙两工程队分别承担一条2 km公路的维修工作，甲队有一半时间每天维修公路x km，另一半时间每天维修公路y km.乙队维修前1 km公路时每天维修x km，维修后1 km公路时，每天维修y km.(x≠y)
(1)求甲、乙两队完成任务需要的时间(用含x，y的代数式表示)；
(2)甲、乙两队哪队先完成任务？
解：(1)甲队完成任务需要的时间为2÷＝(天)．乙队完成任务需要的时间为＋＝(天)．所以甲、乙两队完成任务需要的时间分别为天，天．
(2)－＝＝.∵x≠y，x>0，y>0，∴(x－y)2>0，xy(x＋y)>0，∴－(x－y)2<0，∴－<0，∴<，∴甲队先完成任务．
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知＝－，其中A、B为常数，求4A－B的值．
【互动探索】要求4A－B的值，需要先求出A与B的值．通过化简等式右边，再对比可求出A、B的值．
【解答】－＝－＝.
因为＝－＝，
所以
解得 故4A－B＝4×－＝13.
【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对比等式中等号两边的分式，得出关于A、B的二元一次方程，求出A、B的值，从而求解．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．
练习设计
请完成本课时对应练习！