2021-2022学年度北师版八年级数学下册教案 　6.1平行四边形的性质

1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形边和角的性质
教学目标
一、基本目标
1．理解平行四边形的定义．
2．理解并掌握平行四边形的对称性和对边相等、对角相等的性质，且能够证明．
3．经历平行四边形性质的探究、归纳过程，体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握平行四边形的性质．
【教学难点】
证明平行四边形的性质．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P135～P136的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线．四边形ABCD是平行四边形，记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．
2．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．
3．平行四边形的对边相等，对角相等．
4．在 ABCD中，若AB＝3，BC＝5，则AD＝5，CD＝3.
5．在 ABCD中，若∠B＝60°，则∠A＝120°，∠C＝120°，∠D＝60°.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，由∠B＝∠D，∠1＝∠2→得出∠DAC＝∠ACB.从而可以得出AD∥BC，AB∥CD，进而由平行四边形的定义得出结论．
【证明】∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.
∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．
【例2】如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连结FP、EP.求证：FP＝EP.
【互动探索】(引发学生思考)要证明线段相等可以考虑证明它们所在的两个三角形全等，已知条件中有一组边相等，并且有一组公共边，只需找它们的夹角相等．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.
∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，
∴∠DCG＝∠GCB.
∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，
∴∠ECP＝∠FCP.
在△PCF和△PCE中，
∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题的综合性比较强，利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质获得三角形全等的条件，从而应用全等三角形的性质得到线段相等．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为(　A　)
A．35°　 B．55°　　
C．25°　 D．30°
2．如图所示，在 ABCD中，∠B＝110°，延长AD至点F，延长CD至点E，连结EF，则∠E＋∠F的值为(　D　)
A．110°　 B．30°　　
C．50°　 D．70°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝7.
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH相交于点O，图中共有平行四边形的个数为9.
5．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.
(1)求∠EDF的度数；
(2)若AE＝4，CF＝7，求平行四边形ABCD的周长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A＝∠C＝60°，∠C＋∠B＝180°.∵∠C＝60°，∴∠B＝180°－∠C＝120°.∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，∴∠EDF＝360°－∠DEB－∠DFB－∠B＝60°.　(2)在Rt△ADE和Rt△CDF中，∠A＝∠C＝60°，∴∠ADE＝∠CDF＝30°，∴AD＝2AE＝8，CD＝2CF＝14，∴平行四边形ABCD的周长为2×(8＋14)＝44.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点．如图，连结DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
【互动探索】由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、 CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．
【解答】DM与MC互相垂直．证明如下：
∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.
又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，
∴∠ADM＝∠AMD.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，
即∠MDC＝∠ADC.
同理∠MCD＝∠BCD.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠MCD＋∠MDC＝∠BCD＋∠ADC＝90°，
∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两直线的位置关系一般是证明两直线平行或垂直，平行就找角相等或互补，垂直就找角互余．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形的边和角的性质
平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时　平行四边形对角线的性质
教学目标
一、基本目标
1．理解平行四边形的对角线互相平分的性质，且能够进行证明．
2．能够运用平行四边形的定义和性质证明或解决有关问题．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并能够证明平行四边形的对角线互相平分．
【教学难点】
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P137～P138的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．判断对错．
(1)在 ABCD中，AC交BD于O，则AO＝OB＝OC＝OD.(?)
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．(?)
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等．(?)
(4)平行四边形是轴对称图形．(?)
2．如图所示，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为(　C　)
A．BE＝DF　 B．BF＝DE
C．AE＝CF　 D．∠1＝∠2
3．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，OA、OB、AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm，则AC＝6 cm ，BD＝8 cm.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图， ABCD的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长．
【互动探索】(引发学生思考)要求平行四边形各边的长只需求出任意一组相邻两边的长，已知平行四边形的周长可求出平行四边形相邻两边长的和．△AOB与△DOA有一组公共边，一组相等的边，还有一组是平行四边形的邻边，它们的周长差就是平行四边形相邻两边的差．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，
∴AB－AD＝5 cm.
又∵ ABCD的周长为60 cm，
∴AB＋AD＝30 cm，
∴AB＝CD＝ cm，AD＝BC＝ cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为(　B　)
A．4C．122．如图所示，在周长为20 的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为10.
3．如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为6.
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝2，求BD长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝1，OB＝OD.∵AB⊥AC，∠DAC＝45°，∴AB＝AC＝2.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB＝，∴BD＝2OB＝2.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
【互动探索】根据平行四边形的对角线互相平分得OA＝OC，OB＝OD，利用中点得出OE＝OF，从而利用三角形全等得出BE＝DF，∠FDB＝∠EBD，从而得出BE∥DF.
【解答】BE＝DF，BE∥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE＝OF.
在△OEB和△OFD中，
∴△OEB≌△OFD，
∴BE＝DF，∠EBD＝∠BDF，∴BE∥DF.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决平行四边形的问题，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平行四边形对角线的性质：平行四边形对角线相互平分．
练习设计
请完成本课时对应练习！