2021-2022学年度北师版八年级数学下册 2　平行四边形的判定（教案）

2　平行四边形的判定
第1课时　利用边的关系判定平行四边形
教学目标
一、基本目标
1．理解并能够证明平行四边形的前两个判定定理，即两组对边分别相等的四边形是平行四边形和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．能够应用平行四边形的定义和平行四边形的前两个判定定理判定四边形为平行四边形．
二、重难点目标
【教学重点】
运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形．
【教学难点】
对平行四边形判定方法的探究．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P140～P142的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是AB＝CD(答案不唯一)．(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段)
3．如图所示，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE∥DF，若∠EAF＝45°，则∠ECF的度数是45度．
4．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F.
(1)求证DE＝BF；
(2)连结EF，写出图中所有的全等三角形．(不要求证明)
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDE＝∠AED.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD.同理CF＝CB.又AD＝CB，∴CF＝AE，∴DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF.
(2)解：△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．
【解答】四边形ABCD是平行四边形．证明如下：
∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.
又∵AF＝CE，DF＝BE，
∴△AFD≌△CEB(SAS)，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB.
【例2】如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF.求证：四边形DAEF是平行四边形．
【互动探索】(引发学生思考)题中给出了三个等边三角形，利用等边三角形的性质可证两组三角形全等，从而可得四边形DAEF的两组对边相等．
【证明】∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△DBF≌△ABC，
∴AC＝DF＝AE，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明边相等，可通过三角形全等解决．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．在四边形ABCD中，已知AB＝7 cm，BC＝5 cm，CD＝7 cm，当AD＝5 cm时，四边形ABCD为平行四边形．
2．如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，求证：四边形ACFD为平行四边形．
证明：∵∠B＝∠DEF，∴AB∥DE.又AB＝DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD＝BE.∵BC＝EF，∴BE＝CF，∴AD＝CF.又AD∥CF，∴四边形ACFD为平行四边形．
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD、BC上两点，且BF＝DE，连结AF、CE、BE、DF.AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．
证明：∵DE平行且等于BF，∴四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥DF.同理：AF∥CE，∴四边形FMEN为平行四边形．
4．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO.
证明：(1)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∵AB＝CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)．　(2)∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD.∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6 cm，点P、Q分别从A、C两点的位置同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C出发向点B运动．试探究：几秒后四边形ABQP是平行四边形？
【互动探索】由已知条件可得四边形ABQP中有一组对边平行，只需这组对边相等即可．
【解答】设t s后四边形ABQP是平行四边形，
则AP＝t cm，QC＝2t cm，BQ＝(6－2t) cm.
∵AD∥BC，∴ AP∥BQ.
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知：当AP＝BQ 时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝6－2t，∴t＝2.
当t＝2时，AP＝BQ＝2 cm综上所述，2 s后四边形ABQP是平行四边形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题运用了方程思想，在动态问题中，往往需要根据数量关系列方程求解．该题给出了一组对边平行的条件，所以该题首先考虑利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来求解．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时　利用对角线的关系判定平行四边形
教学目标
一、基本目标
1．会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理．
2．理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，并学会简单运用．
二、重难点目标
【教学重点】
运用对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理．
【教学难点】
平行四边形的性质和判定的综合运用．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P143～P144的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．判断下列说法是否正确．
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形．(?)
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(?)
(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．(?)
(4)一组对边平行且一组邻角互补的四边形是平行四边形．(?)
3．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(　B　)
A．3种　 B．4种　　
C．5种　 D．6种
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
【互动探索】(引发学生思考)(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，只需证OE＝OF.
【证明】(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(AAS)．
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．如图所示，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，则下列条件中，使四边形DEBF不一定是平行四边形的是(　B　)
A．OE＝OF
B．DE＝BF
C．∠ADE＝∠CBF
D．∠ABE＝∠CDF
2．在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AC＝12 cm，BD＝10 cm，那么，当AO＝6 cm，OD＝5 cm时，四边形ABCD为平行四边形．
3．如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB、CD的延长线交于点E、F.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC.∵AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，∴△FDO≌△EBO，∴OF＝OE，∴四边形AECF是平行四边形．
4．如图所示，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
解： CD＝AE，CD∥AE.证明如下：∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO.在△ADO和△CEO中，∴△ADO≌△CEO(ASA)，∴AD＝CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD∥AE且CD＝AE.
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连结DE、FG.
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积．
【互动探索】(1)证明四边形AGCD是平行四边形，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定定理推出即可；(2)由点G是BC的中点，得到BG＝CG＝BC，根据四边形AGCD是平行四边形可知AG＝DC，根据勾股定理求出AB的长，从而求出四边形AGCD的面积．
【解答】(1)∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE＝AG，DF＝DC，
即GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形．
(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，
∴BG＝CG＝BC＝6.
∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，
∴AG＝DC＝10.
在Rt△ABG中，根据勾股定理，得AB＝8，
∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时　两平行线间的距离
教学目标
一、基本目标
1．理解平行线之间的距离的意义．
2．进一步理解和掌握平行四边形的性质和判定方法．
3．能够综合应用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题．
二、重难点目标
【教学重点】
平行线之间的距离．
【教学难点】
综合应用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P146～P147的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．
2．夹在两条平行线间的平行线段一定相等．
3．如图所示，直线l1∥l2，A、C、F在l1上，B、D、E、G在l2上，且AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，则下列说法不正确的是(　D　)
A．AB＝CD
B．A、B两点之间的距离就是线段AB的长
C．CE＝FG
D．直线l1、l2的距离就是线段CD的长
4．在 ABCD中，AD＝16，AB＝20，AB与CD之间的距离为8，则AD与BC之间的距离为10.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G、H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等．
【互动探索】(引发学生思考)结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
【证明】∵l1∥l2，∴点E、F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是明确同底等高的两个三角形的面积相等．
活动2　 巩固练习(学生独学)
1．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为(　A　)
A．4　 B．5　　
C．6　 D．7
2．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4 cm，到直线b的距离是2 cm，那么直线a和直线b之间的距离为2 cm或6 cm.
3．如图所示，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
(1)请写出图中面积相等的三角形：△ABC和△ABP；△ACP和△BCP；△AOC和△BOP.
(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置，总有△ABP与△ABC的面积相等，理由是同底等高的三角形面积相等．
4．如图所示，平行四边形ABCD的周长为36，过D作AB、BC边上的高DE、DF，且DE＝4，DF＝5，求平行四边形ABCD的面积．
解：设AB＝x，则BC＝18－x.由AB·DE＝BC·DF，得4x＝5(18－x)，解得x＝10，所以平行四边形ABCD的面积S＝10×4＝40.
5．如图所示，ABCD是长方形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．求证：四边形AECG是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.由折叠可知∠1＝∠DAC，∠2＝∠BCA，∴∠1＝∠2，∴AG∥CE.又AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．
活动3　 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O.
(1)△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
(2)若S△AOB＝21 cm2，求S△COD；
(3)若S△AOD＝10 cm2，且BO∶OD＝2∶1，求S△ABD.
【互动探索】(1)根据已知得出△ABC的边BC上的高和△DBC边BC上的高相等，设此高为h，根据三角形的面积公式求出即可；(2)根据△ABC的面积和△DBC的面积相等，都减去△OBC的面积，即可得出△AOB的面积和△DOC的面积相等；(3)求出BD＝3OD，根据面积公式代入求出即可．
【解答】(1)△ABC与△DBC的面积相等．理由如下：
∵AD∥BC，
∴△ABC的边BC上的高和△DBC边BC上的高相等，设此高为h，
∴△ABC的面积是BC×h，△DBC的面积是BC×h，
∴△ABC与△DBC的面积相等．
(2)∵S△ABC＝S△DBC，
∴S△ABC－S△OBC＝S△DBC－S△OBC，
∴S△AOB＝S△DOC＝21 cm2，
即S△COD＝21 cm2.
(3)∵BO∶OD＝2∶1，∴BD＝3OD.
∵△AOD的边OD上的高和△ABD的边BD上的高相等，设此高为a，
∴S△AOD＝OD×a＝10 cm2，
∴S△ABD＝BD×a＝×3OD×a＝3×10＝30( cm2)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了平行线间的距离和三角形的面积，注意等高的三角形的面积之比等于对应底边之比．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．
练习设计
请完成本课时对应练习！