中小学教育资源及组卷应用平台
第32讲-复数（解析版）
学习目标： 1.掌握复数的概念和复数的运算性质；2.理解复数的几何意义；3.掌握实系数的一元二次方程.
教学内容
1.已知，若是纯虚数，则m的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为是纯虚数，
所以.
故选：A.
2．i是虚数单位.若复数为纯虚数，则复数i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】解：因为复数为纯虚数，
所以且，解得，
所以ii，其在复平面内对应的点为，位于第四象限，
故选：D
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：复数的相关概念
知识梳理
1.理解复数的有关概念
（1）虚数单位:它的平方等于-1，即.
（2）复数的定义与表示：
形如的数叫复数，叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，
记作；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示.
复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.
（3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：
对于复数，当且仅当时，复数是实数，；
当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；
当且仅当时，就是实数0.
（4）两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.
这就是说，如果、、、，那么
【注意】
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
（5）复数集与其它数集之间的关系：.
（6）共轭复数：
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示，也就是当时，.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
【注意】
共轭复数的几何与代数特征:
①几何特征：
非零复数互为共轭复数对应点（或对应向量，）关于实轴对称.
②代数特征：①为纯虚数或零； ②.
（7）复数的模：
复数在复平面内所对应的点到坐标原点的距离叫做复数的模，记作.
由模的定义，可知.
2.理解复数的有关运算及性质
（1）复数的四则运算：设，则
①加减：；
②乘法：；
③除法：.
【特别提醒】
（1）对于代数形式的四则运算法则，要特别注意除法可以用“分母实数化”理解；
（2）复数的加减法满足交换律、结合律；
（3）复数的乘除法满足交换律、结合律及对加法的分配律；
（4）复数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的；
（5）复数加、减法几何意义，即是向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则.
（2）共轭复数的运算：
①； ② ； ③； ④；
⑤； ⑥；
⑦若z为纯虚数且且；⑧.
（3）模的运算：
① ； ②； ③； ④；
⑤（当z≠0时，）； ⑥；
⑦；
⑧非零复数，，
对应向量（矩形的对角线相等）.
【注意】
(1)性质⑥通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（不作要求）；21教育网
(2)性质⑦的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和.
（4） 重要结论：
①对复数和自然数有；
② ，，，；，，，；
③ ，；④ ；
例题精讲
例1.已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）21·cn·jy·com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：对于①，复数的虚部为，所以①错误；
对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；
对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，
故选：B
例2.已知复数，且，求的值.
【答案】.
【解析】因为，所以
求得.
例3.已知复数zC，且，C，且，求的值。
【答案】1
【解析】由，得：，
所以。
例4.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，
所以复数在复平面内对应坐标为（1,1），
所以复数对应的点位于第一象限，
故选：A.
例5.已知复数满足且 ( http: / / www. / )为实数，求．
【答案】，或
【解析】，因为 ( http: / / www. / )带入得，所以 ( http: / / www. / )
又因为为实数，所以 ( http: / / www. / )，
化简得，所以有或 ( http: / / www. / )
由得 ( http: / / www. / )；由得 ( http: / / www. / )。
所以
例6.已知 ( http: / / www. / )为复数，为纯虚数， ( http: / / www. / )，且．求复数 ( http: / / www. / )．
【答案】
【解析】设，则 ( http: / / www. / )=为纯虚数，所以 ( http: / / www. / )，
因为，所以 ( http: / / www. / )；又。解得 ( http: / / www. / ) 所以。
例7.求同时满足下列两个条件的所有复数z；
（1） ( http: / / www. / )，且；（2）的实部与虚部都是整数．
【答案】或
【解析】方法一：使用例7题的方法解得 ( http: / / www. / )或，然后解决。
方法二：设 ( http: / / www. / )
则 ( http: / / www. / )
因为 ( http: / / www. / )，所以。所以 ( http: / / www. / )。
当时， ( http: / / www. / )，又，所以 ( http: / / www. / )，而，所以在实数范围内无解。
当 ( http: / / www. / )时，则。由 ( http: / / www. / )
因为为正整数，所以 ( http: / / www. / )的值为 1，或2，或3。
当当 ( http: / / www. / )；当。
则 ( http: / / www. / )。
巩固练习
1.己知，下列结论正确的是（ ）.
A.若，则 B. 若，则
C.若 ，则 D. 若（为复数的共轭复数），则纯虚数.
【答案】C
【解析】对于A举反例：时，成立，但是不成立，A错误;
对于B举反例：成立，有大小关系，说明是实数，但是和
不一定为实数，比如，，但是，虚数不能比较大小，表达错误，所以，B错误;
对于C若 ，说明不等式左右都是实数，当然可以移项，成立，C正确;
对于D举反例：时，成立，但是实数，不是纯虚数，D错误.综上，选：C
2.若复数满足：，则＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设，原式化为，得，求得.
3．若复数满足为虚数单位)，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以的实部为，
故选：C.
知识点二：复数的几何意义
知识梳理
理解复数的几何意义
(1）复平面的有关概念：实轴是轴,虚轴是轴；与复数 一一对应的点是； 非零复数与复平面上自原点出发以点为终点的向量一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.2·1·c·n·j·y
【特别提醒】
(1)虚轴上的原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.www-2-1-cnjy-com
(2)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，这就是复数的一种几何意义,也是复数的另一种表示方法，即几何表示法.2-1-c-n-j-y
(2）另外，要熟悉如下复数式的几何意义：
①两点间的距离公式：；
②线段的中垂线：；
③圆的方程：（以点为圆心，为半径）；
④圆的内部：（以点为圆心，为半径）；
⑤闭圆环：（以点为圆心，为半径）；
⑥椭圆： （为正常数，）；
线段: （为正常数，）；
无轨迹:（为正常数，）；
⑦双曲线：（为正常数，）；
射线: （为正常数，）；
无轨迹: （为正常数，）.
例题精讲
例1.已知为虚数单位，，则复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，
所以,
复数对应的点是，
所以对应的点在第一象限.
故选：A.
例2.若复数满足,则_________________.
【答案】
【解析】满足的复数在复平面上对应点是三条中垂线的交点.
例3. 设复数，满足.求:
（1）的最大值和最小值； （2）的最大值和最小值.
【答案】（1）的最大值为，最小值为；
（2）的最大值和最小值分别为和.
【解析】（1）由，可知，
得：的最大值为，最小值为.
（2）设，与联立，可知，
例4.（1）设，且有，求表示的点的轨迹；
（2）复数满足，求在复平面内对应点的轨迹；
（3）复数满足，求复数在复平面内对应点的轨迹；
【答案】
（1）或
（2）
（3）
例5.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积
【解析】（1）因为为纯虚数，
所以，即，解得，
此时，由韦达定理得，.
（2）复数满足，即，
不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，
不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，
所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.
.
巩固练习
1.复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】设，
，复数对应点在以为圆心，1为半径的圆上运动.
由图可知当点位于点处时，点到原点的距离最大，最大值为3.
故选：C.
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.已知复数．
（1）若复数是实数，则实数________________；
（2）若复数对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________________．
【答案】 ．
【解析】（1）z是实数，则有m2﹣m﹣6＝0，解得m＝3，或m＝﹣2；又当m＝﹣2时，m2+2m﹣14＜0，
所以z是实数时，m＝3；
（2）z所对的点位于第二象限，则有0＜m2+2m﹣14＜1且m2﹣m﹣6＞0,解得﹣5＜m＜﹣1
3.若表示的动点的轨迹是椭圆，则的取值范围是＿＿＿.
【答案】
【解析】表示复数对应的动点到复数与对应的两定点之间的距离之和等于4.而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有，而此式又表示对应的点在以对应点为圆心，4为半径的圆内，由模的几何意义知.21世纪教育网版权所有
4.为虚数单位，设复数满足，则的最大值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，数形结合易知，所求最大值为．
知识点三：复数的根和实系数的一元二次方程
知识梳理
（1）复数的平方根与立方根：
如果复数和满足：，则称是的一个平方根．因为，所以，也是的平方根；
如果复数和满足：，则称是的一个立方根．
【注意】关于复数有如下性质：
①为1的立方虚根，即；
②满足以下等式：
,；
，；
，，；
，.
【注意】-1的立方根是-1，
（2）实系数的一元二次方程在复数集中解的情况：
设一元二次方程 ，
①原方程可变形为 ，即 ，
当 时，原方程有两个不等的实数根；
当时，原方程有两个相等的实数根 ；
当时，原方程有两个不等的虚数根，它们互为共轭虚数．
②韦达定理：无论还是，总有.
③虚根成对出现的性质：当＜0时，且.
【注意】
（1）在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅
在实数集上有效；
（2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现；
（3）齐二次实系数二次方程，将等式两端除以后，将得到一个关于得实系数一元二次方程；
（4）虚系数一元二次方程至少有一个为虚数）
①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效；
如，虽然，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.
例题精讲
例1．已知，求的值.
【答案】
【解析】时，原式；时，原式；
例2．已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】解：方程的根为，
即，，
所以，
所以，，
，
所以，
所以，
故选：B
例3．若为虚数且为实系数一元二次方程的两个根，且，求的值．
【答案】
【解析】设，则，于是，即
，
从而 即此一元二次方程的根为
所以
例4．设为实系数一元二次方程两虚根，且，求的值。
【答案】
【解析】由得，即，因，故从而，因为共轭复数，故为虚数，即
本题若直接设,代入得出与的关系，同样可求出的值。
例5． 已知关于x的方程（R）的两根分别为、，若，求实数p的值.
【答案】或.
【解析】解法1：当即或时，，，所以，，
由，得：；
当即时，，，
所以，，
由，得：。
综上所述，实数p的值为或。
解法2：由根与系数的关系得：，，
所以，，
由，得：或。
例6．设关于的方程的两根为、，且，求实数的值.
【答案】或.
【解析】(1) ,
同号，
或 经检验都符合条件
（2）为虚数，，
即，经检验不符合要求舍去.
综上所述或．
例7．方程至少有一实根，求实数m的值和这方程的解．
【答案】,或
【解析】将方程重新整理，，∵m是实数，也可取实数，∴方程组有解，解得，∴原方程为，，∴方程的解为21cnjy.com
例8．已知关于x的方程至少有一个模为1的复数根，求实数a的值。
【答案】或
【解析】设是方程的一个复数根，且，
若是实数，则方程有两个实数根，所以，解得：或。
当时，代入原方程得：，解得：R，舍去；
当时，代入原方程得：，解得：。
若是虚数，则方程有两个共轭虚根，所以，解得：，
设另一根为，则，所以，即，解得：（舍）或。综上，实数a的值为或。
巩固练习
1.已知方程有两个根，.若，求实数的值.
【答案】或.
【解析】因为,所以．
所以．．或．因此或.
2.已知是模为的虚数，且是方程的实数根，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】设，则，
∵是方程的实数根，
∴，即，
由得，，∴
3.方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然0是它的一个解，不是它的解；
由于，；
所以也是它的解；
故选：C.
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】①由，则是的一个平方根，正确；
②是一个虚部为的纯虚数，实数分正数、0、负数，错误；
③如果，当时，当时不一定，错误；
故正确命题为1个.
故选：B
2.复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故
故选：B3. 设是方程的两根, 则 _________.
【答案】
3．已知复数满足，，则正数（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】解：，∴，
∵，
∴，
解得正数．
故选：A．
4．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以
所以.
故选：B.
5. 设实数，如果复平面上的动点满足，则动点的轨迹是（ ）
．焦距为4的椭圆 ．焦距为的椭圆 ．焦距为2的椭圆 ．焦距为的椭圆
【答案】A
【解析】 设，．
由 得，所以表示椭圆，选A．
6. 设为关于的方程的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求的值
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.
【解析】（1）由已知可得、均为关于的方程（）的虚根， 故由韦达定理，得， 即.
（2）依题意得也是方程（）的虚根，所以 ，即 ，
因此，为圆上的点，由复数几何意义可知，，从而，的取值范围是．
7.设复数满足.(1)若，求；
(2)若，是否存在常数，使得等式恒成立，若存在，试求出；若不存在，请说明理由.【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】(1) 由，
代入已知方程得:
设，则，或
∴，或
(2)由已知得. 又∵，
∴，
即
∴存在常数，使得等式恒成立.21·世纪*教育网
8. 设复数，其中，，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．
（1）求复数，，的值；
（2）是否存在正整数使得∥？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；
（3）求数列的前项之和．
【解析】（1），，．…………（4分）
（算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）
（2）若∥，则存在实数，使得，故，
即， ……………………（3分）
又，故，即为实数， ………………（5分）
故为的倍数，即，，． ……………………（6分）
（3）因为，故，， …………（2分）
所以， ……………………………………………………………（3分）
又，，，，
， …………………………………………（6分）
而，， ………………（7分）
所以数列的前项之和为．………（8分）
( http: / / www.21cnjy.com / )
笔耕不辍
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第32讲-复数（解析版）
学习目标： 1.掌握复数的概念和复数的运算性质；2.理解复数的几何意义；3.掌握实系数的一元二次方程.
教学内容
1.已知，若是纯虚数，则m的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
2．i是虚数单位.若复数为纯虚数，则复数i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：复数的相关概念
知识梳理
1.理解复数的有关概念
（1）虚数单位:它的平方等于-1，即.
（2）复数的定义与表示：
形如的数叫复数，叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，
记作；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示.
复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.
（3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：
对于复数，当且仅当时，复数是实数，；
当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；
当且仅当时，就是实数0.
（4）两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.
这就是说，如果、、、，那么
【注意】
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
（5）复数集与其它数集之间的关系：.
（6）共轭复数：
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示，也就是当时，.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
【注意】
共轭复数的几何与代数特征:
①几何特征：
非零复数互为共轭复数对应点（或对应向量，）关于实轴对称.
②代数特征：①为纯虚数或零； ②.
（7）复数的模：
复数在复平面内所对应的点到坐标原点的距离叫做复数的模，记作.
由模的定义，可知.
2.理解复数的有关运算及性质
（1）复数的四则运算：设，则
①加减：；
②乘法：；
③除法：.
【特别提醒】
（1）对于代数形式的四则运算法则，要特别注意除法可以用“分母实数化”理解；
（2）复数的加减法满足交换律、结合律；
（3）复数的乘除法满足交换律、结合律及对加法的分配律；
（4）复数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的；
（5）复数加、减法几何意义，即是向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则.
（2）共轭复数的运算：
①； ② ； ③； ④；
⑤； ⑥；
⑦若z为纯虚数且且；⑧.
（3）模的运算：
① ； ②； ③； ④；
⑤（当z≠0时，）； ⑥；
⑦；
⑧非零复数，，
对应向量（矩形的对角线相等）.
【注意】
(1)性质⑥通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（不作要求）；21世纪教育网版权所有
(2)性质⑦的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和.
（4） 重要结论：
①对复数和自然数有；
② ，，，；，，，；
③ ，；④ ；
例题精讲
例1.已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）21cnjy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2.已知复数，且，求的值.
例3.已知复数zC，且，C，且，求的值。
例4.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例5.已知复数满足且 ( http: / / www. / )为实数，求．
例6.已知为复数， ( http: / / www. / )为纯虚数，，且 ( http: / / www. / )．求复数．
例7.求同时满足下列两个条件的所有复数z；
（1） ( http: / / www. / )，且；（2）的实部与虚部都是整数．
巩固练习
1.己知，下列结论正确的是（ ）.
A.若，则 B. 若，则
C.若 ，则 D. 若（为复数的共轭复数），则纯虚数.
2.若复数满足：，则＿＿＿＿＿.
3．若复数满足为虚数单位)，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
知识点二：复数的几何意义
知识梳理
理解复数的几何意义
(1）复平面的有关概念：实轴是轴,虚轴是轴；与复数 一一对应的点是； 非零复数与复平面上自原点出发以点为终点的向量一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.www.21-cn-jy.com
【特别提醒】
(1)虚轴上的原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2·1·c·n·j·y
(2)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，这就是复数的一种几何意义,也是复数的另一种表示方法，即几何表示法.21教育网
(2）另外，要熟悉如下复数式的几何意义：
①两点间的距离公式：；
②线段的中垂线：；
③圆的方程：（以点为圆心，为半径）；
④圆的内部：（以点为圆心，为半径）；
⑤闭圆环：（以点为圆心，为半径）；
⑥椭圆： （为正常数，）；
线段: （为正常数，）；
无轨迹:（为正常数，）；
⑦双曲线：（为正常数，）；
射线: （为正常数，）；
无轨迹: （为正常数，）.
例题精讲
例1.已知为虚数单位，，则复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2.若复数满足,则_________________.
例3. 设复数，满足.求:
（1）的最大值和最小值； （2）的最大值和最小值.
例4.（1）设，且有，求表示的点的轨迹；
（2）复数满足，求在复平面内对应点的轨迹；
（3）复数满足，求复数在复平面内对应点的轨迹；
例5.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积.
巩固练习
1.复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
2.已知复数．
（1）若复数是实数，则实数________________；
（2）若复数对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________________．
3.若表示的动点的轨迹是椭圆，则的取值范围是＿＿＿.
4.为虚数单位，设复数满足，则的最大值为 ( )
A． B． C． D．
知识点三：复数的根和实系数的一元二次方程
知识梳理
（1）复数的平方根与立方根：
如果复数和满足：，则称是的一个平方根．因为，所以，也是的平方根；
如果复数和满足：，则称是的一个立方根．
【注意】关于复数有如下性质：
①为1的立方虚根，即；
②满足以下等式：
,；
，；
，，；
，.
【注意】-1的立方根是-1，
（2）实系数的一元二次方程在复数集中解的情况：
设一元二次方程 ，
①原方程可变形为 ，即 ，
当 时，原方程有两个不等的实数根；
当时，原方程有两个相等的实数根 ；
当时，原方程有两个不等的虚数根，它们互为共轭虚数．
②韦达定理：无论还是，总有.
③虚根成对出现的性质：当＜0时，且.
【注意】
（1）在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅
在实数集上有效；
（2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现；
（3）齐二次实系数二次方程，将等式两端除以后，将得到一个关于得实系数一元二次方程；
（4）虚系数一元二次方程至少有一个为虚数）
①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效；
如，虽然，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.
例题精讲
例1．已知，求的值.
例2．已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
例3．若为虚数且为实系数一元二次方程的两个根，且，求的值．
例4．设为实系数一元二次方程两虚根，且，求的值。
例5． 已知关于x的方程（R）的两根分别为、，若，求实数p的值.
例6．设关于的方程的两根为、，且，求实数的值.
例7．方程至少有一实根，求实数m的值和这方程的解．
例8．已知关于x的方程至少有一个模为1的复数根，求实数a的值。
巩固练习
1.已知方程有两个根，.若，求实数的值.
2.已知是模为的虚数，且是方程的实数根，求实数的取值范围.
3.方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（ ）21·cn·jy·com
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数满足，，则正数（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
5. 设实数，如果复平面上的动点满足，则动点的轨迹是（ ）
．焦距为4的椭圆 ．焦距为的椭圆 ．焦距为2的椭圆 ．焦距为的椭圆
6. 设为关于的方程的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求的值
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.
7.设复数满足.(1)若，求；
(2)若，是否存在常数，使得等式恒成立，若存在，试求出；若不存在，请说明理由.【来源：21·世纪·教育·网】
8. 设复数，其中，，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．
（1）求复数，，的值；
（2）是否存在正整数使得∥？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；
（3）求数列的前项之和．
( http: / / www.21cnjy.com / )
笔耕不辍
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
