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第1讲-集合 (原卷版)
学习目标： 1、给定集合，直接考查集合的交、并、补集的运算，及与方程、不等式等知识相结合，考查集合的交、并、补集的运算.2、利用集合运算的结果，考查集合运算的结果,考查集合间的基本关系.3、以新概念或新背景为载体,考查对新情景的应变能力.
教学内容
1、若，，则（ ）
A. B． C． D．
2、设集合，则（ ）
B. C. D.
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由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割。
下列选项中，不可能成立的是（）
没有最大元素，有一个最小元素；
没有最大元素，也没有最小元素；
有一个最大元素，有一个最小元素；
有一个最大元素，没有最小元素.
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知识点一：集合的概念
知识梳理
集合：
（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；
（2）元素与集合的关系：
①属于集合；②不属于集合．
（3）常用的数集：自然数集；正整数集；整数集；
有理数集；实数集；空集；复数集；
；；．
（4）集合的表示方法：
集合；例如：①列举法：；②描述法：．
（5）集合之间的关系：
①（读作包含于）（读作包含）集合是集合的子集；
特别地，；．
②或集合与集合相等；
③集合是集合的真子集．
例：；．
④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
例题精讲
例1、已知，若，则的值为 ；
例2、若集合，且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是________．
例3、若集合具有以下性质：（1）；（2）若，则，且时，，则称集合是“好集”，下列命题正确的个数是（ ）21教育网
集合是“好集”；
有理数集是“好集”；
设集合是“好集”，若，则；
21cnjy.com
例4、已知集合，若实数满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ）
例5、若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，则称是集合上的一个拓扑。已知集合，对于下面给出的四个集合：【来源：21·世纪·教育·网】
①； ②
③； ④
其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是 ；
例6、若集合满足，必有，则称集合为自倒关系集合.在集合的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（ ）21·cn·jy·com
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例7、设绝对值小于1的全体实数构成集合S，在S中定义一种运算“*”，使得，求证：如果a，，那么.www-2-1-cnjy-com
巩固练习
1、设集合，，则集合中元素的个数为 ；
2、如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，则为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
3、已知，若集合中恰有3个元素，则的取值范围为 ；
4、设为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是_______．
5、设A，B为非空集合，定义，已知，，则________.
6、对于任意非空集合、，定义，若，则________（用列举法表示）
知识点二：集合的运算
知识梳理
1、集合的运算：
①交集：集合与集合的交集；
②并集：集合与集合的并集；
③补集：设为全集，集合是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合在全集中的补集，记作；21*cnjy*com
④得摩根定律：；；
⑤容斥原理：用表示集合的元素个数，则
；．
2、集合的子集个数：
若集合有个元素，那么该集合有个子集；个真子集；个非空子集；个非空真子集．
例题精讲
例1、设集合，,求.
例2、已知，集合，记，( )
A． B． C． D．
例3、用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则（ ）2-1-c-n-j-y
A．1 B．2 C．3 D．5
例4、设数集，且，都是集合的子集，如果把叫做数集的长度，那么集合的长度的最小值是_________.
例5、已知，.
（1）求和；
（2）定义且，求和.
例6、对任意两个集合和．是指所有属于，但不属于的元素的集合；和对称差规定为．设集合，．求．
巩固练习
1、设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：.如果，则 ；
2、定义集合A与B的运算：，已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
知识点三：集合新定义
知识梳理
解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点： ( http: / / www.21cnjy.com )(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．21世纪教育网版权所有
例题精讲
例1、设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域例如有理数集是数域，有下列命题：①数域必含有两个数：②整数集是数域：③若有理数集，则数集必为数域：④数域必为无限集。其中正确的命题的序号是 ；
例2、设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；
（i）；（ii）对任意，当时，恒有．
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：
①；②；③．
其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）
例3、设整数,集合.令集合，若和都在中,则下列选项正确的是( )
A. , B．,
例4、已知为合数，且，当的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为的“衍生质数”，
（1）若的“衍生质数”为2，则 ;
（2）设集合，，则集合中元素的个数是 ；
例5、设全集，用的子集可表示由组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为，第4个字符为。其余均为0的6位字符串，并规定空集表示的字符串为.
①若，则表示的6位字符串为 ；
②若，集合表示的字符串为，则满足条件的集合的个数是 ；
巩固练习
1、已知集合，若数列是等差数列，记集合的元素个数为，则关于
的表达式为 ；
小结：本题考查简单的合情推理、新定义问题以 ( http: / / www.21cnjy.com )及转化与划归思想，属于难题。新定义题型的特点是：通过给岀一个新概念，或约定一种新运算，或给岀几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的。遇到新定义问题应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决。www.21-cn-jy.com
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1、若集合中只有一个元素，则=（ ）
A．4 B． 2 C．0 D．0或4
2、定义集合的商运算为，已知集合，，则集合中的元素个数为 ；
3、设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（ ）
A． B．
C． D．
4、设全集为定义集合与的运算：且，则（ ）
A． B． C． D．
5、定义集合运算：，设集合 ，，则集合 的所有元素个数为 ；
6、设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：且.如果，，则 ；2·1·c·n·j·y
7、已知集合，定义集合，则等于 ；
8、用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则实数的取值范围是 ；
9、已知集合，．
（1）求出集合；
（2）试定义一种新集合运算△，使；
（3）若有，按（2）的运算，求出．
10、对于集合 ,我们把集合{且}叫做集合与的差集,记作.
(1)若集合,求；
(2)若集合,,且,求实数的取值范围.
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笔耕不辍
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第1讲-集合 (解析版)
学习目标： 1、给定集合，直接考查集合的交、并、补集的运算，及与方程、不等式等知识相结合，考查集合的交、并、补集的运算.2、利用集合运算的结果，考查集合运算的结果,考查集合间的基本关系.3、以新概念或新背景为载体,考查对新情景的应变能力.
教学内容
1、若，，则（ ）
A. B． C． D．
【答案】A
【解析】因为,，所以故答案为A
2、设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
.
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由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割。
下列选项中，不可能成立的是（）
没有最大元素，有一个最小元素；
没有最大元素，也没有最小元素；
有一个最大元素，有一个最小元素；
有一个最大元素，没有最小元素.
【答案】C
【解析】若，；则没有最大元素，有一个最小元素0；故A正确；若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故B正确；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确；若，；有个最大元素，没有最小元素，故D正确；故选C21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：集合的概念
知识梳理
集合：
（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；
（2）元素与集合的关系：
①属于集合；②不属于集合．
（3）常用的数集：自然数集；正整数集；整数集；
有理数集；实数集；空集；复数集；
；；．
（4）集合的表示方法：
集合；例如：①列举法：；②描述法：．
（5）集合之间的关系：
①（读作包含于）（读作包含）集合是集合的子集；
特别地，；．
②或集合与集合相等；
③集合是集合的真子集．
例：；．
④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
例题精讲
例1、已知，若，则的值为 ；
【答案】；
【解析】由题意可知，，则，所以；
于是，即或；
又根据集合中元素的互异性可知应舍去，
因此，故。
例2、若集合，且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是________．
【答案】6
【解析】(1)若仅有①正确，则有，，，，与集合元素的互异性不符，无解；
（2）若仅有②正确，则有，，，，，这时或，共2 个；
（3）若仅有③正确，则有，，，，这时，共1个；
（4）若仅有④正确，则有，，，，这时=或或，共3 个；
综上，所求的个数为个。
例3、若集合具有以下性质：（1）；（2）若，则，且时，，则称集合是“好集”，下列命题正确的个数是（ ）21·cn·jy·com
1 集合是“好集”；
2 有理数集是“好集”；
3 设集合是“好集”，若，则；
www.21-cn-jy.com
【答案】
【解析】根据题目中对于“好集”的定义：
对于①中的集合不满足性质（2），因为，；
②中的有理数集是“好集”，因为，对任意的，有，且时，，所以有理数集是“好集”；
③是正确的，因为集合是“好集”，所以，若，则，所以。
例4、已知集合，若实数满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ）
【答案】
【解析】由题意可知,表示一个圆及圆内的点集；中表示的一条直线，中表示的是一个圆；中表示的是抛物线；中表示的是双曲线；问题就转化为判断圆面和选项表示的曲线有交点。2-1-c-n-j-y
例5、若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，则称是集合上的一个拓扑。已知集合，对于下面给出的四个集合：21*cnjy*com
①； ②
③； ④
其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是 ；
【答案】②④
【解析】对于①，由于，所以①错；
对于③，由于，即，所以③错；
例6、若集合满足，必有，则称集合为自倒关系集合.在集合的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（ ）【出处：21教育名师】
21*cnjy*com
【答案】D
【解析】根据自倒关系集合的定义可知，当时，；当时，无意义；当时，；当时，；当时，；当时，不存在；所以必须分别在一起，可以把它们看作一个元素，所以自倒关系集合的个数为.故选D.
例7、设绝对值小于1的全体实数构成集合S，在S中定义一种运算“*”，使得，求证：如果a，，那么.
【答案】见解析
【解析】由题意，绝对值小于1的全体实数构成集合S，
因为，，所以，，可得，，
则，，所以，即，
所以，即，
所以，即，所以.
巩固练习
1、设集合，，则集合中元素的个数为 ；
【答案】1
【解析】若，则，故只可能是，
当时，则；当时，则；
当时，则；当时，则；
所以，故集合中元素的个数为1.
2、如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，则为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】对于集合的定义来说。
3、已知，若集合中恰有3个元素，则的取值范围为 ；
【答案】
【解析】中恰有3个元素，所以，故的取值范围为。
4、设为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是_______．
【答案】8
【解析】∵，
∴当时，，；
当时，， ；
当时，，；
∴，故答案为：8.
5、设A，B为非空集合，定义，已知，，则________.
【答案】
【解析】由得，即，又
，
由，则
故答案为：
6、对于任意非空集合、，定义，若，则________（用列举法表示）
【答案】
【解析】由题：对于任意非空集合、，定义，
若，各取一个元素形成有序数对，
所有可能情况为，所有情况两个数之和构成的集合为：
知识点二：集合的运算
知识梳理
1、集合的运算：
①交集：集合与集合的交集；
②并集：集合与集合的并集；
③补集：设为全集，集合是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合在全集中的补集，记作；
④得摩根定律：；；
⑤容斥原理：用表示集合的元素个数，则
；．
2、集合的子集个数：
若集合有个元素，那么该集合有个子集；个真子集；个非空子集；个非空真子集．
例题精讲
例1、设集合，,求.
【答案】
【解析】：由，
(1)当时,此时, ;
(2)当时,
①当或时，；
②当且时，.
例2、已知，集合，记，( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据对集合的定义：
故.故选：A.
例3、用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则（ ）21cnjy.com
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【解析】因为，有两个元素，，
所以B中有一个或者三个元素。
当B有一个元素时，有一个解，可得。
当B有3个元素时，有三个解，其中，
当有一个解时，则，可得
当有两个解且其中一个和0或者相等时也满足条件。
此时， 显然，不等于0
所以或者
解出或者也满足条件。
综上所述的取值为，-3，3 构成集合S的个数为：5
故选：D
例4、设数集，且，都是集合的子集，如果把叫做数集的长度，那么集合的长度的最小值是_________.
【答案】
【解析】由题可知，的长度为 ，的长度为，
因为，都是集合的子集，当的长度的最小值时，
所以与应分别在区间的左右两端，
即，则，
故此时的长度的最小值是：.
故答案为：.
例5、已知，.
（1）求和；
（2）定义且，求和.
【答案】（1），；（2），
【解析】(1)因为，所以，所以，
所以，又因为，
所以或，所以，所以，
所以，；
(2)因为且，
所以，.
例6、对任意两个集合和．是指所有属于，但不属于的元素的集合；和对称差规定为．设集合，．求．
【答案】或
【解析】由新运算可知，
或
巩固练习
1、设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：.如果，则 ；
【答案】
【解析】由题意知，，，，
则且。
2、定义集合A与B的运算：，已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（方法一）利用Venn图，如图.
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由题意可知为阴影部分所示，即.
（方法二）由新运算，得，
则.
知识点三：集合新定义
知识梳理
解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两 ( http: / / www.21cnjy.com )点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．21世纪教育网版权所有
例题精讲
例1、设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域例如有理数集是数域，有下列命题：①数域必含有两个数：②整数集是数域：③若有理数集，则数集必为数域：④数域必为无限集。其中正确的命题的序号是 ；
【答案】①④
【解析】当时，，故可知①正确；当不满足条件，故可知②不正确；对③当中多一个元则会岀现，所以它也不是一个数域；故可知③不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确，故答案为①④。【来源：21·世纪·教育·网】
例2、设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；
（i）；（ii）对任意，当时，恒有．
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：
①；②；③．
其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）
【答案】①②③
【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知为函数的一个定义域，为其所对应的值域，且函数为单调递增函数．对于集合对①，可取函数，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数，是“保序同构”．故答案为①②③．www-2-1-cnjy-com
例3、设整数,集合.令集合，若和都在中,则下列选项正确的是( )
A. , B．,
C．, D．,
【答案】B
【解析】B；特殊值法,不妨令,,
则,,故选B．
如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.【来源：21cnj*y.co*m】
例4、已知为合数，且，当的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为的“衍生质数”，
（1）若的“衍生质数”为2，则 ;
（2）设集合，，则集合中元素的个数是 ；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题设，则，又，则，故应填入；
（2）由（1）知“衍生质数”为2的合数有，同理可推“衍生质数”为3的合数有，“衍生质数”为5的合数有，“衍生质数”为7的合数有16、25、34、52、70，“行生质数”为11的合数有38、56、65、74、92，“衍生质数”为13的合数有49、58、76、85、94，“衍生质数”为17的合数有98，所以A有7个元素，B有21个元素，故应填入302·1·c·n·j·y
例5、设全集，用的子集可表示由组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为，第4个字符为。其余均为0的6位字符串，并规定空集表示的字符串为.
①若，则表示的6位字符串为 ；
②若，集合表示的字符串为，则满足条件的集合的个数是 ；
【答案】100110；4
【解析】题意表示的6位字符串为011001，故表示的6位字符串为100110若，集合表示的字符串为101001，则集合中必含有4，且至多含有1，3，故满足的集合有。【版权所有：21教育】
巩固练习
1、已知集合，若数列是等差数列，记集合的元素个数为，则关于
的表达式为 ；
【答案】
【解析】当时，集合中有个元素成等差数列，，当时，集合中有4个元素成等差数列，由于，，当时，集合中有4个元素成等差数列，由于，，，，可见形成一个等差数列，根据等差数列通项公式，按照归纳推理可知：即有个元素时，。
或者直接赋特殊值：取可得。
小结：本题考查简单的合情推理、 ( http: / / www.21cnjy.com )新定义问题以及转化与划归思想，属于难题。新定义题型的特点是：通过给岀一个新概念，或约定一种新运算，或给岀几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的。遇到新定义问题应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决。21教育名师原创作品
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1、若集合中只有一个元素，则=（ ）
A．4 B． 2 C．0 D．0或4
【答案】A
【解析】集合中只有一个元素，那么就需要分类讨论
2、定义集合的商运算为，已知集合，，则集合中的元素个数为 ；
【答案】7
【解析】由题意可知，，，
则，共7个元素。
3、设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】【解析】因为=,
又因为，所以，故选：B
4、设全集为定义集合与的运算：且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】且
故选：B
5、定义集合运算：，设集合 ，，则集合 的所有元素个数为 ；
【答案】3
【解析】当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以集合 的共有3个元素.
6、设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：且.如果，，则 ；21·世纪*教育网
【答案】
【解析】因为且.，，所以，，
则.即.
7、已知集合，定义集合，则等于 ；
【答案】
【解析】因为集合，所以，
则，所以.
8、用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则实数的取值范围是 ；
【答案】
【解析】要使，则，
所以或或，
解得或，
又当时，，不合题意，
综上，实数的取值范围是。
9、已知集合，．
（1）求出集合；
（2）试定义一种新集合运算△，使；
（3）若有，按（2）的运算，求出．
【答案】（1），；（2）且；（3）；
【解析】（1），．
（2）中的元素都在M中但不在N中，∴定义且．
（3），
，．
10、对于集合 ,我们把集合{且}叫做集合与的差集,记作.
(1)若集合,求；
(2)若集合,,且,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）由题：，
，所以；
（2）集合,,
，即，
当时，，符合题意；
当时，，，解得：；
当时，，，解得：；
综上所述：
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笔耕不辍
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