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第33讲-直线与平面及空间向量（解析版）
学习目标： 掌握直线与平面的基本性质以及直线、平面垂直平行的判定；2. 掌握空间中各种角度和距离的概念； 3. 熟练运用空间向量计算空间中的角度与距离.
教学内容
1、已知圆锥曲线的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为__________.
2、空间四点中，三点共线是这四点共面的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件www.21-cn-jy.com
3、若正方体的侧面内动点到棱的距离等于它到棱的距离，则点所在的曲线为( )
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆
4、如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则 ( )．21·世纪*教育网
A、 B、 C、 D、
( http: / / www.21cnjy.com / )
莫比乌斯环，灵感来自数学家们的一个发现。这个平面没有开始与结尾，循环往复且无止无休，因此“∞”被定义为无限大的同时，也象征亘古永恒。21教育网
一条纸带，却形成了边界无交叉的两侧曲面，相似没有完结的故事，困于其中，维持永恒。
对于永恒这个话题，从古至今从 ( http: / / www.21cnjy.com )未停歇，有时我们渴望永恒，有时我们又惧怕永恒，巴金在《家》里写到：“他跟她的中间，搁着一个‘永恒’。他们永远不能够接近了。”这里，永恒是生死相隔，生命永逝。2-1-c-n-j-y
永恒实在是蕴藏着太多的理解，相比图形的包容性，文字有一种难承其意之重的乏力，另一个象征永恒的符号，是约鲁巴人的所罗门之结。【版权所有：21教育】
里面的每一个线条，放眼看去都为一条整线，难 ( http: / / www.21cnjy.com )觅线条起于何地，终于何处，以此象征永恒事物以及无尽循环。完整成圈的线条，组合成抽象精神的具象之形。
桑塔玛丽亚阿孙塔教堂的马赛克地砖就排布着整齐的所罗门之结，教徒们踩踏着神秘永恒之徽，步入圣堂，走上那寻求至高精神的漫漫长路。
无论是莫比乌斯环还是一些其他的经典的数理符号，它们穿越千百年的时间与空间，传递温柔的情感和坚毅的力量。
大概是因为人类的生命是有限的，所以才会对无限的事物如此的痴迷，在此之上赋予其意义深远的情感让它能经久不衰、流传至今
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知识点一：直线与直线的位置关系
知识梳理
1.空间两条直线的位置关系
（1）相交——有且仅有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线。
2.平行直线
在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
4．异面直线判定定理
连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线的画法常用的有下列三种：
5、异面直线所成的角：
已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角．为了简便，点通常取在异面直线的一条上。
1）异面直线所成的角的范围：
2）求异面直线所成的角的方法：先找后求。
（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点作另一直线的平行线；
（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角或补角即为所求。
6、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则两条异面直线垂直。记作。
7、两条异面直线的公垂线、距离
（1）和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。
（2）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。
（3）两条异面直线的公垂线有且只有一条。
例题精讲
例1、若是异面直线，则只需具备的条件是( )
A、平面，平面，与不平行
B、平面，平面， ，与无公共点
C、直线，，与不相交
D、平面，是的一条斜线
例2、如果异面直线与所成角为，为空间一定点，则过点与所成的角都是的直线有_____条.
例3、如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．
例4、空间四边形中，，且与所成锐角为，分别为的中点，求与所成角的大小．
例5、如图，在长方体中，，，.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求三棱锥的体积.
巩固练习
1、判断下列命题的真假。
（1）可画一个平面，是它的长为4,宽为2.
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把一个空间分成两部分。
（3）平面与平面只有一个公共点。
（4）经过平面内的任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面
2、在正四面体中，点为△所在平面上的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是（ ）21世纪教育网版权所有
A、圆 B.、椭圆 C.、双曲线 D.、抛物线2·1·c·n·j·y
知识点二：直线与平面的位置关系
知识梳理
1、直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）。
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2、线面平行的判定定理与性质定理
1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。即
2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。即【来源：21cnj*y.co*m】
3、线面垂直的判定定理与性质定理
1）判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2）性质定理：
①如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内所有的直线。
②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
例题精讲
例1、下列四个命题中正确命题的个数是( )
①如果是两条直线，，那么平行于经过的任何一个平面；
②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行；
③如果直线和平面满足，，，那么；
④如果与平面上的无数条直线平行，那么直线必平行于平面.
A、0 B、1 C、2 D、3
例2、如图，已知正四棱柱的侧棱长为，底面边长为1，则直线和底面所成的角的大小为 .【出处：21教育名师】
例3、《九章算术》中称四个角均为直角三角形的四面体为鳖臑。如图，若四面体为鳖臑，且平面，，则与平面所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）21教育名师原创作品
例4、如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面,，点是线段上任意一点．
（1）求证：；
（2）试确定点的位置，使与平面所成角的大小为．
巩固练习
1、如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线( )
A、有一条 B、有二条
C、有无数条 D、不存在
2、在中，，为中点，平面，若与平面所成角分别为，求与平面所成角的大小．
知识点三：平面与平面的位置关系
知识梳理
1、平面与平面的位置关系
（1）平行――没有公共点；
（2）相交――有一条公共直线.
2、二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的大小用它的平面角来度量。
（2）范围：
（3）求法：①转化为求二面角的平面角；②面积射影法：利用面积射影公式
例题精讲
例1、如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形， ．是上一动点，则的最小值为 。21·cn·jy·com
例2、已知是正三角形，平面且，求二面角的大小．
例3、如图，在直三棱柱中，，，是的中点。
（1）若三棱柱的体积的体积为，求三棱柱的高；
（2）若，求二面角的大小。
巩固练习
1、如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．
（1）求正四棱锥的全面积；
（2）若平面与棱交于点，求平面与平面所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．
知识点四：利用空间向量求解立体几何
知识梳理
1、求平面的法向量的坐标的步骤:
第一步(设):设出平面法向量的坐标为.
第二步(列):根据且可列出方程组
第三步(解):把看作常数,用表示
第四步(取):取为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量的坐标.
2、异面直线所成的角
分别在直线上取定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），则
3、异面直线的距离
分别在直线上取定向量求与向量都垂直的
向量，分别在上各取一个定点，则异面直线的距离等于在上的射影长，即.
4、直线与平面所成的角
在上取方向向量，求平面的法向量，再求
5、二面角
方法一：构造二面角的两个半平面的法向量，则
①若二面角是“钝角型”的，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即
②若二面角是“锐角型”的，那么其大小等于两法向量的夹角，即
方法二：在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量，则二面角的大小等于向量的夹角，即
点评：是锐角或是钝角需要结合图形加以判断。
6、平面外一点到平面的距离
先求出平面的法向量，在平面内任取一定点，则点到平面的距离等于在上的射影长，即.
例题精讲
例1、已知空间三点、、，则与的夹角的大小是_________.
例2、如图所示三棱锥的三条棱两两互相垂直，，点在棱上，且.
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当三棱锥的体积为时，求的值.
例3、已知四棱锥的底面是矩形，底面，且，设、、分别为、、的中点，为的中点，如图.21cnjy.com
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
巩固练习
1如图，在四棱锥中，，，的中点是，面，，，，.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求面与平面所成二面角的大小.
2、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，
，平面，，．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
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1、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是________________ 【来源：21·世纪·教育·网】
2、如图所示，所在平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，，若，则动点在平面内的轨迹是（ ）
A．线段； B．椭圆的一部分； C．抛物线； D．双曲线的一部分.
3、如图，已知直线平面，垂足为，在中，，点是边上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：www-2-1-cnjy-com
(1)，(2).则的最大值为( )
A．； B．； C．； D．.
4、在正方体 中，两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，在运动过程中，直线与平面所成角的变化范围为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
5、对于两条不同的直线、和两个不同的平面、，以下结论正确的是（ ）
A、若，∥，、是异面直线，则、相交
B、若，，∥，则∥
C、若，∥，、共面于，则∥
D、若，，、不平行，则、为异面直线
6、如图所示的正四棱柱的底面边长为，侧棱,点在棱上，
且().
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值.
7、在三棱锥中，已知、、两两垂直，，，
且三棱锥的体积为10.
（1）求点到直线的距离；
（2）若是棱的中点，求异面直线、
所成角大小（结果用反三角函数值表示）.
8、如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，。另一个侧面是正三角形.21*cnjy*com
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）在段线上是否存在一点,使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
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笔耕不辍
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B
O
y
A
C
z
x
S
D
B
A
C
E
P
C
B
A
E
A
B
C
D
P
A
B
l
C
N
P
O
A
D
B
C
A1
B1
C1
D1
E
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第33讲-直线与平面及空间向量（解析版）
学习目标： 掌握直线与平面的基本性质以及直线、平面垂直平行的判定；2. 掌握空间中各种角度和距离的概念； 3. 熟练运用空间向量计算空间中的角度与距离.
教学内容
1、已知圆锥曲线的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为__________.
【答案】
【解析】(为底面圆周长，为母线长)，因为所以，所以母线与底面所成角的大小为
2、空间四点中，三点共线是这四点共面的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件21教育网
【答案】
【解析】空间四点中，无三 ( http: / / www.21cnjy.com )点共线，则任取三个点都能确定一个平面，但第四个点不一定在整平面上，反之，如果空间四点共面，则这个平面内一定有三点不共线。21cnjy.com
3、若正方体的侧面内动点到棱的距离等于它到棱的距离，则点所在的曲线为( )
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆
【答案】C
【解析】p到棱的距离即P到B1的距离，又因为动点P到棱的距离等于它到棱的距离，所以平面内动点到定直线BC和定点B1距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分，所以点P所在的曲线为抛物线，故选C。www.21-cn-jy.com
4、如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则 ( )．21·世纪*教育网
A、 B、 C、 D、
【答案】C.
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( http: / / www.21cnjy.com / )
莫比乌斯环，灵感来自数学家们的一个发现。这个平面没有开始与结尾，循环往复且无止无休，因此“∞”被定义为无限大的同时，也象征亘古永恒。
一条纸带，却形成了边界无交叉的两侧曲面，相似没有完结的故事，困于其中，维持永恒。
对于永恒这个话题，从古至今从未停歇，有时我 ( http: / / www.21cnjy.com )们渴望永恒，有时我们又惧怕永恒，巴金在《家》里写到：“他跟她的中间，搁着一个‘永恒’。他们永远不能够接近了。”这里，永恒是生死相隔，生命永逝。
永恒实在是蕴藏着太多的理解，相比图形的包容性，文字有一种难承其意之重的乏力，另一个象征永恒的符号，是约鲁巴人的所罗门之结。
里面的每一个线条，放眼看去都为一 ( http: / / www.21cnjy.com )条整线，难觅线条起于何地，终于何处，以此象征永恒事物以及无尽循环。完整成圈的线条，组合成抽象精神的具象之形。
桑塔玛丽亚阿孙塔教堂的马赛克地砖就排布着整齐的所罗门之结，教徒们踩踏着神秘永恒之徽，步入圣堂，走上那寻求至高精神的漫漫长路。
无论是莫比乌斯环还是一些其他的经典的数理符号，它们穿越千百年的时间与空间，传递温柔的情感和坚毅的力量。
大概是因为人类的生命是有限的，所以才会对无限的事物如此的痴迷，在此之上赋予其意义深远的情感让它能经久不衰、流传至今
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知识点一：直线与直线的位置关系
知识梳理
1.空间两条直线的位置关系
（1）相交——有且仅有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线。
2.平行直线
在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
4．异面直线判定定理
连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线的画法常用的有下列三种：
5、异面直线所成的角：
已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角．为了简便，点通常取在异面直线的一条上。
1）异面直线所成的角的范围：
2）求异面直线所成的角的方法：先找后求。
（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点作另一直线的平行线；
（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角或补角即为所求。
6、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则两条异面直线垂直。记作。
7、两条异面直线的公垂线、距离
（1）和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。
（2）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。
（3）两条异面直线的公垂线有且只有一条。
例题精讲
例1、若是异面直线，则只需具备的条件是( )
A、平面，平面，与不平行
B、平面，平面， ，与无公共点
C、直线，，与不相交
D、平面，是的一条斜线
【答案】分析：结合立体几何中的重 ( http: / / www.21cnjy.com )要图形：正方体，根据空间中点、线、面的位置关系及异面直线的判定．
解答：对于A，AB 平面ABCD（a 平面α），AA1 平面ABCD（b 平面α），AB与AA1不平行（a与b不平行），但AB与AA1不是异面直线；故A错；
对于B，A1B1 平面ABB1A1，CD 平面ABCD（a 平面α，b 平面β），平面ABB1A1∩平面ABCD=AB（α∩β=l），但A1B1与CD不是异面直线；故B错；
对于D，A1A⊥平面ABCD（a⊥平面α），A1B是平面ABCD的一条斜线（b是α的一条斜线），但A1A与A1B不是异面直线；故D错．
故C正确．
故选C．
点评：考查空间中点、线、面的位置关系的判断与证明，考查空间想象力，概念性较强．
例2、如果异面直线与所成角为，为空间一定点，则过点与所成的角都是的直线有_____条. 21世纪教育网版权所有
【答案】两条
【解析】省
例3、如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．
【答案】
【解析】将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填．【来源：21cnj*y.co*m】
例4、空间四边形中，，且与所成锐角为，分别为的中点，求与所成角的大小．
【答案】或
【解析】如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG=AB，GF=CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
例5、如图，在长方体中，，，.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求三棱锥的体积.
【参考答案】（1）；（2）
（1） 是异面直线与所成的角或其补角.2分
在等腰中，
易得……………………4分
即：异面直线与所成的角……………………1分
（2）……………………4分
……………………3分
巩固练习
1、判断下列命题的真假。
（1）可画一个平面，是它的长为4,宽为2.
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把一个空间分成两部分。
（3）平面与平面只有一个公共点。
（4）经过平面内的任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面
【答案】（1）假 （2）真 （3）假 （4）真
【解析】根据定义即可判断。
2、在正四面体中，点为△所在平面上的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是（ ）21·cn·jy·com
A、圆 B.、椭圆 C.、双曲线 D.、抛物线2-1-c-n-j-y
【答案】
【解析】由题，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，则以为轴，为轴，建立空间直角坐标系。设,则,,【版权所有：21教育】
与所成角为定值，
，则
故为椭圆。
知识点二：直线与平面的位置关系
知识梳理
1、直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）。
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
2、线面平行的判定定理与性质定理
1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。即
2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。即【出处：21教育名师】
3、线面垂直的判定定理与性质定理
1）判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2）性质定理：
①如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内所有的直线。
②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
例题精讲
例1、下列四个命题中正确命题的个数是( )
①如果是两条直线，，那么平行于经过的任何一个平面；
②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行；
③如果直线和平面满足，，，那么；
④如果与平面上的无数条直线平行，那么直线必平行于平面.
A、0 B、1 C、2 D、32·1·c·n·j·y
【答案】 B
【解析】 如图，在正方体ABCD－A′ ( http: / / www.21cnjy.com )B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确，故答案为B.21*cnjy*com
例2、如图，已知正四棱柱的侧棱长为，底面边长为1，则直线和底面所成的角的大小为 .
【答案】
【解析】由题意可得， 即为所求角，易得其为
例3、《九章算术》中称四个角均为直角三角形的四面体为鳖臑。如图，若四面体为鳖臑，且平面，，则与平面所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）
【答案】或（或）
【解析】易证角为所求角，设，可以求出。
例4、如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面,，点是线段上任意一点．
（1）求证：；
（2）试确定点的位置，使与平面所成角的大小为．
【解析】解法一：（1）证明：联结，因为四边形为正方形，
所以，，又因为⊥平面，平面，
所以．
由平面．
又因为平面，所以．
（2）设，因为⊥平面，
所以与平面所成角为．
在中，由．
所以，当时，与平面所成角的大小为．
巩固练习
1、如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线( )
A、有一条 B、有二条
C、有无数条 D、不存在
【答案】C
【解析】平面内与直线平行的直线都与平面平行,所以有无数条.
2、在中，，为中点，平面，若与平面所成角分别为，求与平面所成角的大小．
【答案】.
【解析】因为，所以，设，则，又因为，所以，为中点，，所以，在中，，又因为，在平面上射影为，就是与平面所成角，，所以.
知识点三：平面与平面的位置关系
知识梳理
1、平面与平面的位置关系
（1）平行――没有公共点；
（2）相交――有一条公共直线.
2、二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的大小用它的平面角来度量。
（2）范围：
（3）求法：①转化为求二面角的平面角；②面积射影法：利用面积射影公式
例题精讲
例1、如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形， ．是上一动点，则的最小值为 。21教育名师原创作品
【答案】
【解析】连结，沿将展开与在同一个平面内，
如图所示，连，则的长度就是所求的最小值．通过计算可得，又故，
由余弦定理可求得．
例2、已知是正三角形，平面且，求二面角的大小．
【答案】．
【解析】过作于，连结，
平面，平面
∴平面平面，平面平面
∴平面
是在平面上的射影
设，则，，
则,，
由射影面积公式得，．
例3、如图，在直三棱柱中，，，是的中点。
（1）若三棱柱的体积的体积为，求三棱柱的高；
（2）若，求二面角的大小。
【答案】（1）6；（2）
【解析】
解：（1）由题意，求得， ……………………………………………2分
所以， …………………………………………………4分
由， ………………………………………………………5分
解得.……………………………………………………………………………6分
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，建立如图所示的坐标系.
则，，，……………………………………7分
，，……………………………………8分
设平面的法向量为，则由得，
所以，平面的法向量为， ……………………………………10分
平面的法向量为， ……………………………………11分
记二面角为，则，………………………13分
所以。 ………………………………………………………14分
巩固练习
1、如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．
（1）求正四棱锥的全面积；
（2）若平面与棱交于点，求平面与平面所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为正四棱锥，取中点，连接，，，
（2）连接，连接，记，因为，，两两互
相垂直，如图建立空间直角坐标系．因为，所以．
所以．
所以，，，，，，．
所以，．
设平面的法向量为，所以即
所以．令，，所以．
因为平面平面的一个法向量为
设与的夹角为，
所以平面与平面所成锐二面角的大小是．
知识点四：利用空间向量求解立体几何
知识梳理
1、求平面的法向量的坐标的步骤:
第一步(设):设出平面法向量的坐标为.
第二步(列):根据且可列出方程组
第三步(解):把看作常数,用表示
第四步(取):取为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量的坐标.
2、异面直线所成的角
分别在直线上取定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），则
3、异面直线的距离
分别在直线上取定向量求与向量都垂直的
向量，分别在上各取一个定点，则异面直线的距离等于在上的射影长，即.
4、直线与平面所成的角
在上取方向向量，求平面的法向量，再求
5、二面角
方法一：构造二面角的两个半平面的法向量，则
①若二面角是“钝角型”的，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即
②若二面角是“锐角型”的，那么其大小等于两法向量的夹角，即
方法二：在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量，则二面角的大小等于向量的夹角，即
点评：是锐角或是钝角需要结合图形加以判断。
6、平面外一点到平面的距离
先求出平面的法向量，在平面内任取一定点，则点到平面的距离等于在上的射影长，即.
例题精讲
例1、已知空间三点、、，则与的夹角的大小是_________.
【答案】
【解析】，，
所以.
所以
例2、如图所示三棱锥的三条棱两两互相垂直，，点在棱上，且.
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当三棱锥的体积为时，求的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）本题需用空间向量解决立体几何，如图建立空间直角坐标系，
则，所以，，
所以故而异面直线与所成角为
（2）因为，，两两互相垂直，所以平面,
则，又，所以，那么，
故而
例3、已知四棱锥的底面是矩形，底面，且，设、、分别为、、的中点，为的中点，如图.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）略；（2）与平面所成角的大小为
【解析】(1)因的中点，故
从而 …… 2分
又故 …… 4分
由得 …… 6分
（2）以为原点，直线分别
为轴,建立空间直角坐标系，如图所示.
则由已知条件，得相关点的坐标为
于是 ……8分
设面的一个法向量为则
取……11分
设所成的角为则
故所成角的大小为 …… 14分
巩固练习
1如图，在四棱锥中，，，的中点是，面，，，，.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求面与平面所成二面角的大小.
【答案】（1）；（2）
【解析】如图所示建立空间直角坐标系：
（1）
,
（2）设平面PDC的法向量为，则
，则
，，
2、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，
，平面，，．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
【参考答案】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，
则,,,
所以， ……3分
设异面直线与所成角为
则 ……6分
所以异面直线与所成角大小为 ……7分
（2）设平面的一个法向量为
则 所以
取，得 ……4分
所以点到平面的距离 ……7分
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1、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是________________ 21*cnjy*com
【答案】
【解析】建系求得,所以夹角为
2、如图所示，所在平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，，若，则动点在平面内的轨迹是（ ）
A．线段； B．椭圆的一部分； C．抛物线； D．双曲线的一部分.
【答案】D．
【点评】较难的题目我们可以将立体问题转化为平面问题再进行考虑.
3、如图，已知直线平面，垂足为，在中，，点是边上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：
(1)，(2).则的最大值为( )
A．； B．； C．； D．.
【答案】C．
【点评】可以把立体几何问题转换为平面问题再进行求解，这样思路会更清晰.
4、在正方体 中，两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，在运动过程中，直线与平面所成角的变化范围为（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】
【解析】设，由已知得：，由线面角的定义找到，易得：
，所以
5、对于两条不同的直线、和两个不同的平面、，以下结论正确的是（ ）
A、若，∥，、是异面直线，则、相交
B、若，，∥，则∥
C、若，∥，、共面于，则∥
D、若，，、不平行，则、为异面直线
【答案】C
【解析】选项面也可以平行；选项也可以属于平面；选项也可以是共面的.
6、如图所示的正四棱柱的底面边长为，侧棱,点在棱上，
且().
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值.
【参考答案】解：（1）由，得， 又正四棱柱，则平面，
则 …………………………… 4分
.………………………… 6分
（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如图），……………… 2分
则，，，，
即， ………………………………………………… 4分
又异面直线与所成角的大小为，则,……………………… 6分
化简整理得，又，即. ……………………………………… 8分
7、在三棱锥中，已知、、两两垂直，，，
且三棱锥的体积为10.
（1）求点到直线的距离；
（2）若是棱的中点，求异面直线、
所成角大小（结果用反三角函数值表示）.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，，所以平面， ……1分
由，可得． ………………………………………3分
过作于，连，由平面，可得，
由，，可知平面，故，………………………4分
又，所以，
所以点到直线的距离为．………6分
（2）设为棱的中点，连，由
分别是棱的中点，可得∥，所以
与的夹角即为异面直线与所成
的角． ……………………………………8分
因为平面，所以，
又，，，
所以， …………………………………………12分
故异面直线所成的角为． ………………………………………14分
8、如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，。另一个侧面是正三角形.www-2-1-cnjy-com
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）在段线上是否存在一点,使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析 （2） （3）存在
【解析】
（1）作⊥面于连.
，∵，
∴ ∴
又，则是正方形，
则. ∴，
（2）作于，作交，
则就是二面角的平面角.
∵，∴是的中点，且.
则
由余弦定理得.
（3）设为所求的点，作于，连，则，
∴⊥面，就是与面所成的角，则，
设，易得，则，.
故线段上存在点，且时，与面成角
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笔耕不辍
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B
O
y
A
C
z
x
S
D
B
A
C
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P
C
B
A
E
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
A
B
l
C
N
P
O
A
D
B
C
A1
B1
C1
D1
E
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