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第03讲-不等式的性质和证明（原卷版）
学习目标： 1、了解不等式的定义；2、熟练掌握不等式基本性质；3、能够利用不等式基本性质判断命题的真假。
教学内容
1、是的 条件．
2、设A、B、C三个集合，AB是A(B∪C)的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知：集合，：，则与的推出关系是 （ ）
. . . .
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知识点一：不等式的基本性质
知识梳理
1. 不等式的基本性质。
性质1.（不等式的传递性质）：如果，那么
性质2.（不等式的加法性质）：如果，那么
性质3.（不等式的乘法性质）：如果，那么；如果，
那么
2. 从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？
推论1.
推论2.
推论3.
推论4.
推论5.
推论6.
推论7.
例题精讲
例1.设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_______
例2.下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
例3.设，下面四个不等式中，正确的是________
①②③④
A、①和② B、①和③C、①和④ D、②和④
例4.已知，则下列不等式成立的是_________
A、 B、C、 D、
例5.已知三个不等式：
（1） (2) (3)
以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成_____个正确命题.
例6.用不等式的性质证明；若m>n>0,q
例7.克糖水中有克糖，若再加入克糖，则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示的为________．21教育网
巩固练习
1．是的 条件．
2．是的 条件．
3．实数满足条件：①；②；③，则有（ ）
A． B．
C． D．．
4．给出下列命题：①a＞b ac2＞bc2； ( http: / / www.21cnjy.com )②a＞|b| a2＞b2；③a＞b a3＞b3；④|a|＞b a2＞b2.其中正确的命题是( )．21cnjy.com
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
5．下列说法不正确的是________．
若都是正数，则 若，则
若都是正数，且则 若，则
知识点二：不等式的证明方法
知识梳理
（1）比较法
①求差比较法 要证，只需证；要证，只需证．
其步骤是：作差变形判断（与零比较）．
②求商比较法 要证，而，只需证；要证，而，只需证．
其步骤是：作商（除式分母大于零）变形判断（与1比较）
（2）综合法
利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种由因导果的证明方法叫做综合法．www.21-cn-jy.com
（3）分析法
肯定待证的不等式成立，逆 ( http: / / www.21cnjy.com )推到与已知条件或基本不等式相符合，这一系列的不等式中后者总是前者的充分条件．这种由果索因的证明方法叫做分析法，又称逆证法．
例题精讲
例8.已知，记，则的大小关系是______
例9.设，则中最大的是_______
例10.设，比较与的大小．
例11.设，且，比较：与的大小。
（附：）
例12.设为正数，且，求证：.
例13.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走，如果，则先到达指定地点的是__________
例14.设a1≈，令a2=1+.
（1）证明介于a1、a2之间；
（2）求a1、a2中哪一个更接近于；
（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.
巩固练习
1．已知，下列不等式中正确的是 ( )
A． B．
C． D．
2．如果，，那么的大小关系为 ．
3.,则的大小关系为 ．
4．设x,y都是正实数，与的大小关系式.
5．，比较与（）的大小．
知识点三：范围问题
例题精讲
例15.若，则的取值范围是_________
例16.已知，且则的取值范围是______
例17.“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要
例18.已知函数，求的取值范围.
例19.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰和4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格哪个更贵？21·cn·jy·com
例20.若为的3条边，且，则（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1．已知实数满足；，求：的取值范围．
2. 已知函数满足：试求的取值范围
3.已知是非负整数，且，则的范围是
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一、填空题：
1. A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．21世纪教育网版权所有
2. 若，则下列各式中一定成立的是________
A． B． C． D．
3. 若，下列4个命题：①；②；③；④，其中真命题的序号是__________
4.已知，，则的大小关系为_________
5. 若，则的取值范围是_______
二、选择题：
6.设R，则 “” 是“” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件
7.设实数、、满足,且,那么下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. ； B. ； C.； D. .
三、解答题：
8.已知，比较与的大小
9. 已知、为正实数，，，.试比较与的大小，并指出两式相等的条件；
10. 已知为正数，，求证：
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第03讲-不等式的性质和证明（解析版）
学习目标： 1、了解不等式的定义；2、熟练掌握不等式基本性质；3、能够利用不等式基本性质判断命题的真假。
教学内容
1、是的 条件．
【答案】充分非必要
2、设A、B、C三个集合，AB是A(B∪C)的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵AB是B(B∪C)∴A(B∪C)．但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，
显然A(B∪C)，但AB不成立，
综上所述：“AB”“A(B∪C)”，而“A(B∪C)”“AB”．
即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．
3．已知：集合，：，则与的推出关系是 （ ）
. . . .
【答案】
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知识点一：不等式的基本性质
知识梳理
1. 不等式的基本性质。
性质1.（不等式的传递性质）：如果，那么
性质2.（不等式的加法性质）：如果，那么
性质3.（不等式的乘法性质）：如果，那么；如果，
那么
2. 从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？
推论1.
推论2.
推论3.
推论4.
推论5.
推论6.
推论7.
例题精讲
例1.设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_______
【答案】
【解析】，根据，可知要使两者同时成立，则．
例2.下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
例3.设，下面四个不等式中，正确的是________
①②③④
A、①和② B、①和③C、①和④ D、②和④
【答案】
【解析】，所以同号，再根据不等式性质即可求得
例4.已知，则下列不等式成立的是_________
A、 B、C、 D、
【答案】
【解析】本题的范围均限制的非常具有区分度，此类问题可以采用赋值法的方式进行排除判断，本题是此类方法较为典型的例题，赋值法也是考试中较为快捷的排除手段，准确率高
例5.已知三个不等式：
（1） (2) (3)
以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成_____个正确命题.
【答案】3
【解析】解法一：显然
第三个命题是下面证明这个命题也正确.
首先,由知则由可得这与bc>ad矛盾.因此只能ab>0.
综上所述,可以组成3个正确命题.
解法二：由式（2）式（1）就是分母大于0，式（3）等价于分子大于0。显然（1）（2）（3）；（1）（3）（2）；（2）（3）（1），所以可以构成3个正确命题。
例6.用不等式的性质证明；若m>n>0,q【答案】
【解析】
得证
例7.克糖水中有克糖，若再加入克糖，则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示的为________．21cnjy.com
【答案】
巩固练习
1．是的 条件．
【答案】必要非充分
2．是的 条件．
【答案】充分非必要
3．实数满足条件：①；②；③，则有（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】
4．给出下列命题：①a＞b ac ( http: / / www.21cnjy.com )2＞bc2；②a＞|b| a2＞b2；③a＞b a3＞b3；④|a|＞b a2＞b2.其中正确的命题是( )．2·1·c·n·j·y
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【答案】
5．下列说法不正确的是________．
若都是正数，则 若，则
若都是正数，且则 若，则
【答案】
知识点二：不等式的证明方法
知识梳理
（1）比较法
①求差比较法 要证，只需证；要证，只需证．
其步骤是：作差变形判断（与零比较）．
②求商比较法 要证，而，只需证；要证，而，只需证．
其步骤是：作商（除式分母大于零）变形判断（与1比较）
（2）综合法
利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种由因导果的证明方法叫做综合法．【来源：21·世纪·教育·网】
（3）分析法
肯定待证的不等式成立，逆推到与已知 ( http: / / www.21cnjy.com )条件或基本不等式相符合，这一系列的不等式中后者总是前者的充分条件．这种由果索因的证明方法叫做分析法，又称逆证法．
例题精讲
例8.已知，记，则的大小关系是______
【答案】
【解析】作差法，
，
例9.设，则中最大的是_______
【答案】
【解析】作差法，，；
，最大
例10.设，比较与的大小．
【答案】1）当时，即，∴；
2）当，即时，，
∴；
3）当但，即或时，，
∴
【解析】作差，本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．
例11.设，且，比较：与的大小。
（附：）
【答案】
【解析】，当时，，
当时，，即，
又，．
例12.设为正数，且，求证：.
【答案】见解析
【解析】证明：当时，取得等号3。作差比较：
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>0 所以，
例13.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走，如果，则先到达指定地点的是__________
【答案】甲
【解析】设从出发地到指定地点的路程为，甲乙两人所需时间分别为，则：，可得，，所以，即甲先到达21世纪教育网版权所有
例14.设a1≈，令a2=1+.
（1）证明介于a1、a2之间；
（2）求a1、a2中哪一个更接近于；
（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）证明：（－a1）（－a2）=（－a1）· （－1－）=＜0.
∴介于a1、a2之间.
（2）解：|－a2|=|－1－|
=||
=|－a1|＜|－a1|.
∴a2比a1更接近于.
（3）解：令a3=1+，
则a3比a2更接近于.
由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.
巩固练习
1．已知，下列不等式中正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
2．如果，，那么的大小关系为 ．
【答案】<
3.,则的大小关系为 ．
【答案】≥
4．设x,y都是正实数，与的大小关系式.
【答案】>
5．，比较与（）的大小．
【答案】见解析
【解析】作差
知识点三：范围问题
例题精讲
例15.若，则的取值范围是_________
【答案】
【解析】，
例16.已知，且则的取值范围是______
【答案】
例17.“”是“”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要
【答案】
【解析】根据不等式的性质：；若取
即它们满足且，但都不满足，因此选（B）
例18.已知函数，求的取值范围.
【答案】
【解析】
例19.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰和4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格哪个更贵？21教育网
【答案】见解析
【解析】由题意，分别设单枝玫瑰与康乃馨的价格分别为元，
则，可知，即2枝玫瑰更贵
例20.若为的3条边，且，则（ ）
（A），（B），（C），（D）
【答案】D
巩固练习
1．已知实数满足；，求：的取值范围．
【答案】见解析
【解析】设：
由①+②×2得：
即：．
2. 已知函数满足：试求的取值范围
【答案】见解析
【解析】∵
∴
故
∴
3.已知是非负整数，且，则的范围是
【答案】
【解析】
又为非负整数，，所以的范围是
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一、填空题：
1. A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．21·cn·jy·com
【答案】
2. 若，则下列各式中一定成立的是________
（A） （B） （C） （D）
【答案】
3. 若，下列4个命题：①；②；③；④，其中真命题的序号是__________
【答案】①，③
【解析】对于①作差即得；对于②作差并因式分解，因大小而变；对于③作差配方即得；对于④，由于符号不定，显然当小于0不成立www.21-cn-jy.com
4.已知，，则的大小关系为_________
【答案】
5. 若，则的取值范围是_______
【答案】
【解析】本题难度不高，但是要注意之间的大小关系.
二、选择题：
6.设R，则 “” 是“” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【答案】
7.设实数、、满足,且,那么下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. ； B. ；C.；D. .
【答案】
三、解答题：
8.已知，比较与的大小
【答案】见解析
【解析】=
∵ ∴同理，
从而，即>
9. 已知、为正实数，，，.试比较与的大小，并指出两式相等的条件；
【答案】见解析
【解析】作差比较：=.所以，.当时，两式相等.
10. 已知为正数，，求证：
【答案】见解析
【解析】作差法
= ①
若n=1①式为0，原不等式取“=”
若当时且①式大于0
当时且①式仍大于0；
当时①式等于0
综上，当或n=1时取等号。
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笔耕不辍
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