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第05讲-基本不等式（原卷版）
学习目标： 1、基本不等式概念辨析2、利用基本不等式求最值3、利用基本不等式证明不等式4、基本不等式的实际应用5、基本不等式的综合运用
教学内容
1、解下列不等式
（1）；
（2）；
（3）。
2、已知函数其中
（1）解关于的不等式；
（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数.
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知识点一：基本不等式
知识梳理
知识点1：基本不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3、不等式链：当为正数时, （当且仅当时取“”号），即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数；21cnjy.com
4、利用基本不等式求最值
基本不等式可以用来求最值，但要注意条件的满足：一正、二定、三相等；
如：若变数，则若（常数），则当且仅当时，有最小值；
若（常数），当且仅当时，有最大值.
知识点2：耐克函数
1、函数图象及性质
（1）函数图象如右图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
题型一：基本不等式概念辨析
例题精讲
例1、条件“且”是结论“”成立的 条件。
例2、已知实数、，判断下列不等式中哪些一定是正确的？
（1） ； （2）； （3）； （4）
（5）； （6） （7）
例3、如果正数满足，那么（ ）
（A），且等号成立时的取值唯一
（B），且等号成立时的取值唯一
（C），且等号成立时的取值不唯一
（D），且等号成立时的取值不唯一
巩固练习
1、设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4
C ≥a+b D ≥
2、若，，且，则在中最大的一个是_____________。
题型二：利用基本不等式求最值
例题精讲
例1、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．
例2、设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是________．
例3、已知，且，则的最小值 。
例4、求的最小值.
例5、已知，求的最大值.
例6、当时，求的最大值．
例7、已知，求的最大值.
例8、设为实数，若，则的最大值是 ．
例9、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值．
例10、已知且，求的最小值.
例11、若已知，则的最小值为 ．
巩固练习
1、已知：求的最小值。
2、设，求函数的最大值．
3、的最小值____________.
4、已知a，b都是负实数，则的最小值是________.
5、求函数的最大值．
6、若实数满足，则的最大值是 ．
7、已知，且，则的最大值为.
8、已知为正实数，且，求的最大值.
9、设是不全为零的实数，求的最大值．
10、已知，则的最小值是__________.
题型三：利用基本不等式证明不等式
例题精讲
例1、已知求证.
例2、已知，且，求证：．
巩固练习
1、已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
题型四：基本不等式的实际应用
例题精讲
例1、为了提高产品的年产量，某企业拟在2020年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用万元(≥0)满足 (k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．21世纪教育网版权所有
(1)将2020年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；21·cn·jy·com
(2)该企业2020年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
巩固练习
1、如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
图3-4-1
（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？21教育网
题型五：基本不等式的综合运用
例题精讲
例1、关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（ ）
A.2∈M，0∈M； B.2M，0M； C.2∈M，0M； D.2M，0∈M．
例2、已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为____．
例3、已知a、b满足，若恒成立，则实数c的取值范围是________。
例4、若不等式对恒成立，求实数m的取值范围。
例5、
例6、关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围。
例7、某工厂拟建一座平面图为矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )且面积为400m2的三级污染水处理池，由于受场地限制，长、宽不能超过25m.池外圈建造单价每米为200元，中间两条隔墙建造单价每米为250元，池底建造单价每平方米为80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．www.21-cn-jy.com
(1)设污水处理池和隔墙垂直一边长为x(m)，写出总造价y(元)与x的函数关系式，并指出其定义域；
(2)求污水处理池的两邻边长各为多少米时，池的总造价最低，并求出最低总造价．
巩固练习
1、判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，≥.( )
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(3)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为2.( )
(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．( )
2、已知x、yR+，求使恒成立的实数t的取值范围。
3、若，则的大小关系是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
1、求函数的最小值时，指出当为______取得最小值。
2、已知为正实数，，求函数的最小值______.
3、已知，则的最小值为_________
4、若实数、满足，则的取值范围是_________.
5、己知，，，且，则的最小值为 ．
6、已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为( )
【A】2 【B】4 【C】6 【D】82·1·c·n·j·y
7、已知, , 当取到最小值时, _________.
8、
9、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m，问、分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）
10、围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m。设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
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第05讲-基本不等式（解析版）
学习目标： 1、基本不等式概念辨析2、利用基本不等式求最值3、利用基本不等式证明不等式4、基本不等式的实际应用5、基本不等式的综合运用
教学内容
1、解下列不等式
（1）；
【答案】
（2）；
【答案】
（3）。
【答案】
2、已知函数其中
（1）解关于的不等式；
（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数.
【答案】（1）见解析（2）当时，在区间上是单调减函数
【解析】解：（1）不等式即为
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为
（2）任取则
所以要使在递减即只要即
故当时，在区间上是单调减函数.
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知识点一：基本不等式
知识梳理
知识点1：基本不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3、不等式链：当为正数时, （当且仅当时取“”号），即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数；【来源：21·世纪·教育·网】
4、利用基本不等式求最值
基本不等式可以用来求最值，但要注意条件的满足：一正、二定、三相等；
如：若变数，则若（常数），则当且仅当时，有最小值；
若（常数），当且仅当时，有最大值.
知识点2：耐克函数
1、函数图象及性质
（1）函数图象如右图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
题型一：基本不等式概念辨析
例题精讲
例1、条件“且”是结论“”成立的 条件。
【答案】充分非必要条件
【解析】必要性不满足，反例：
例2、已知实数、，判断下列不等式中哪些一定是正确的？
（1） ； （2）； （3）； （4）
（5）； （6） （7）
【答案】（2）（3）（6）（7）
【解析】（1）错误。、为负实数时不正确
（2）正确
（3）正确
（4）错误。、为负实数时不正确
（5）错误。、为负实数时不正确
（6）正确
（7）正确
例3、如果正数满足，那么（ ）
（A），且等号成立时的取值唯一
（B），且等号成立时的取值唯一
（C），且等号成立时的取值不唯一
（D），且等号成立时的取值不唯一
【答案】A
【解析】
巩固练习
1、设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4
C ≥a+b D ≥
【答案】D
【解析】 A,B显然满足，而C中，
2、若，，且，则在中最大的一个是_____________。
【答案】
【解析】已知若，，则
题型二：利用基本不等式求最值
例题精讲
例1、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．
【答案】81
【解析】，当且仅当x＝y＝9时等号成立．
例2、设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是________．
【答案】4
【解析】由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.21教育网
例3、已知，且，则的最小值 。
【答案】5
【解析】
例4、求的最小值.
【答案】9
【解析】方法一：当时，，
当且仅当即时取等号.
方法二：设，则，原式
当且仅当即时取等号.
例5、已知，求的最大值.
【答案】
【解析】，由于，，
所以，，
当且仅当即时取等号.
例6、当时，求的最大值．
【答案】8
【解析】，当，即时取等号，∴当时，的最大值为8．
例7、已知，求的最大值.
【答案】1
【解析】 ，当且仅当，即时取等，所以y得最大值为1.
例8、设为实数，若，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】，可解得的最大值为．
例9、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值．
【答案】2
【解析】法一：＋ ≤ eq \r(（）2＋（）2) ＝＝2．
法二：W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20，∴W≤＝2． 21·cn·jy·com
例10、已知且，求的最小值.
【答案】
【解析】
.
例11、若已知，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】时可取得函数的最小值，此时，此时，最小值为．
巩固练习
1、已知：求的最小值。
【答案】25
【解析】＝（）（4＝
当且仅当4时，得：
2、设，求函数的最大值．
【答案】
【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．
3、的最小值____________.
【答案】3
【解析】由得，代入 得，
当且仅当＝3 时取“＝”．
4、已知a，b都是负实数，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
5、求函数的最大值．
【答案】
【解析】注意到与的和为定值．
，又，，当且仅当=，即时取等号，故．
6、若实数满足，则的最大值是 ．
【答案】．
【解析】即
7、已知，且，则的最大值为.
【答案】
【解析】方法一（直接法）：由 ，即；
方法二（消元法）：，由于，所以，
下面转化为求二次函数在区间上的最大值，不难求得最大值为.
8、已知为正实数，且，求的最大值.
【答案】
【解析】由于，，又
所以.
9、设是不全为零的实数，求的最大值．
【答案】
【解析】显然我们只需考虑的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数满足：故www.21-cn-jy.com
依据取等号的条件得，，参数就是我们要求的最大值．消去我们得到一个方程，此方程的最大根为我们所求的最大值，得到．
10、已知，则的最小值是__________.
【答案】4
【解析】，
，当且仅当即时取等号。
题型三：利用基本不等式证明不等式
例题精讲
例1、已知求证.
【答案】略
【解析】当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，
∴，即．当且仅当时等号成立
例2、已知，且，求证：．
【答案】略
【解析】
当且仅当时，等号成立．
巩固练习
1、已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
【答案】略
【解析】
∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，
∴(－1)(－1)(－1)＝
＝≥＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
题型四：基本不等式的实际应用
例题精讲
例1、为了提高产品的年产量，某企业拟在2020年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用万元(≥0)满足 (k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．21cnjy.com
(1)将2020年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；21·世纪*教育网
(2)该企业2020年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】(1) (元)( )．(2)3.
【解析】(1)由题意可知，当时， (万件)，∴，∴＝2，∴，
每件产品的销售价格为1.5× (元)，
∴2010年的利润(元)( )．
(2)∵，∴，
∴，
当，即，.
∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．
巩固练习
1、如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
图3-4-1
（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？www-2-1-cnjy-com
【答案】见解析
【解析】（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.
设每间虎笼的面积为S，则S=xy.
由于2x+3y≥2=2,
∴2≤18,得xy≤，即S≤.
当且仅当2x=3y时等号成立.
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大。
(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
由xy=24，得x=.
∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.
故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小.
题型五：基本不等式的综合运用
例题精讲
例1、关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（ ）
A.2∈M，0∈M； B.2M，0M； C.2∈M，0M； D.2M，0∈M．
【答案】A
【解析】方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是否为；
方法2：求出不等式的解集：≤＋4
；
例2、已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为____．
【答案】
【解析】因为x>a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为. 2·1·c·n·j·y
答案：
例3、已知a、b满足，若恒成立，则实数c的取值范围是。
【答案】
【解析】法1：由题意，得：。因为，所以，，即（此时，），所以。
法2：设，则，（下同）
例4、若不等式对恒成立，求实数m的取值范围。
【答案】
【解析】因为，所以恒成立，因此。
而函数在单调递增，在单调递减，，，所以，即，所以实数m的取值范围是。
例5、
【答案】4
【解析】
例6、关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围。
【答案】
【解析】因为，所以在恒成立，
因此。又因为，当且仅当时等号成立，
，当且仅当或时等号成立，所以当时，取最小值10，因此，实数a的取值范围是。
例7、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )400m2的三级污染水处理池，由于受场地限制，长、宽不能超过25m.池外圈建造单价每米为200元，中间两条隔墙建造单价每米为250元，池底建造单价每平方米为80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．21世纪教育网版权所有
(1)设污水处理池和隔墙垂直一边长为x(m)，写出总造价y(元)与x的函数关系式，并指出其定义域；
(2)求污水处理池的两邻边长各为多少米时，池的总造价最低，并求出最低总造价．
【答案】见解析
【解析】（1）∵污水处理池的一边长为xm，∴它的邻边长为m，隔壁长也为m.
根据题意得，y＝200＋250××2＋80×400，即y＝400＋32000.
由得定义域为，{x|16≤x≤25}．
(2)y＝f(x)＝400＋32000≥800＋32000＝24000＋32000＝56000，当且仅当x＝(x>0)，即x＝30时取等号，但由(1)知x≤25，即x＝30不在[16,25]上，因此y的最小值不能是56000.
不妨研究f(x)的单调性，对任意的x1，x2∈[16,25]，设x1∵f(x2)－f(x1)＝400
＝400(x2－x1)，而x2－x1>0，
又x1x2<252<900，故1－<0.∴f(x2)－f(x1)<0.
故f(x)在[16,25]上是减函数．
于是y＝f(x)≥f(25)＝400×＋32000＝56000＝56400(元)．
巩固练习
1、判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，≥.( )
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(3)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为2.( )
(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．( )
【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
【解析】
(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.
(5)x>0且y>0是＋≥2的充分条件．
2、已知x、yR+，求使恒成立的实数t的取值范围。
【答案】
【解析】由题意，得：恒成立，因此恒成立，
所以。又因为x、y∈R+，所以，即，从而，，即实数t的取值范围是。
3、若，则的大小关系是 ．
【答案】R>Q>P．
【解析】∵ ∴，（，，∴R>Q>P．
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1、求函数的最小值时，指出当为______取得最小值。
【答案】
【解析】当且仅当时，有最小值为
2、已知为正实数，，求函数的最小值______.
【答案】
【解析】由于为正实数，，而代入不等式,
即得，解得，即.
3、已知，则的最小值为_________
【答案】64
【解析】。
当且仅当时，即，上式取“=”，故。
4、若实数、满足，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】 方法一：，则的取值范围是
法二：参数方程
5、己知，，，且，则的最小值为 ．
【答案】．
【解析】由题意得，，
当且仅当时等号成立，∴
，当且仅当时，等号成立，综上，即所求最小值为．
6、已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为( )
【A】2 【B】4 【C】6 【D】82-1-c-n-j-y
【答案】B
【解析】不等式对任意正实数恒成立，则，
∴ 或舍去)，所以正实数的最小值为4，选B．
7、已知, , 当取到最小值时, _________.
【答案】
【解析】, , ，当时取等号，
，（当且仅当取等号）解得
8、
【答案】
【解析】
一正二定三相等再次忽略。
，
9、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m，问、分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）
【答案】为m，为2.828m时,用料最省.
【解析】由题意得，∴ ，
于是框架用料长度为，
当，即=8－4时等号成立.
此时， ,=2≈2.828.
故当为m，为2.828m时,用料最省.
10、围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m。设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；21*cnjy*com
(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
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【答案】(1) ;10440元.
【解析】(1)设矩形的另一边长为 m.
则.
由已知，得，
所以．
(2)∵，
∴.
∴.当且仅当时，等号成立．
即当 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
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