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第04讲-一元二次不等式与其他不等式(解析版)
学习目标： 1、一元二次不等式的解法2、分式不等式3、绝对值不等式4、根式不等式5、韦达定理的应用6、含参不等式的解法与参数的范围
教学内容
1．判断下列命题是否成立，并说明理由．
（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么.
【答案】（1）不成立；（2）不成立；（3）不成立
解析：这类题最好的方法是赋值法， ( http: / / www.21cnjy.com )具体的代入一个数，比如a=10，b=-10，c=-1，d=100。只要能证明命题是否成立即可，赋值一般大一些和小一些比较好判断结果。
2．对于实数中，判断下列命题的真假：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤若，则；
⑥若，则；
⑦若，则；
⑧若，则.
【答案】②③⑥⑦⑧是真命题
解析：根据真假命题的定义，赋值即可判断。
3. 设，且，则与的大小关系是________.
【答案】．
解析：假设n=2，则9>6，故答案是。
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知识点一：一元二次不等式的解法
知识梳理
的根的判别式
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，
例题精讲
例1.解下列不等式
（1）
【答案】
解析：因为6x +5x-4=0的根是1/2和-4/3，由二次函数的图像可得不等式的解集是，故答案为
（2）
【答案】
解析：由，得：|x| -5|x|+6>0，所以（|x|-2）（|x|-3）>0，解的|x|<2或|x|>3，所以x<-3或-2
3，所以解集为。2-1-c-n-j-y
（3）
【答案】
解析：此题较简单，过程略。
巩固练习
1.
【答案】
解析： ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.
【答案】见解析
解析：
知识点二：分式不等式
知识梳理
分式不等式：
①；②．
注意：
1.分式不等式需注意分母不等于零；
2.高次分式不等式需要注意；
3.穿线法解不等式需要注意所有未知数前的系数需为正，注意奇穿偶不穿；
4.不等式大于等于或者小于等于零时，需注意分子上能够等于零的根；
5.分式不等式右边为不为零的数字 ( http: / / www.21cnjy.com )时，需注意分母是否恒正或恒负，是的或可以两边同乘分母，注意是否变号，不是的话注意只能把数字移到左边，然后通分。21·世纪*教育网
例题精讲
例1、解不等式
解：原不等式等价于
或
∴原不等式的解为：
例2、解不等式
解：移项，通分得，∴．
转化为，∴
则所求不等式的解集为
例3、 解关于x的不等式
解: 原不等式等价于
由于恒成立，∴
当a>0时，；当a=0时，；当a<0时，
例4、k为何值时，下式恒成立：
解：原不等式可化为：，
而，∴原不等式等价于，
由得1巩固练习
1．不等式的解集是___________．
【答案】
【分析】
移项通分化简，等价转化为，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得.
【详解】
原不等式等价于，化简得，又等价于，
解得：，
故答案为：.
2．不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】
对和讨论，转化为整式不等式即可解得.
【详解】
不等式可化为：
或，
解得：或无解，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
3．不等式的解集为______．
【答案】
【分析】
通过移项通分处理后转化为，解一元二次不等式即可.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：.
知识点三：绝对值不等式
知识梳理
含有绝对值不等式的性质：
①；②．
含绝对值的不等式：
注意：
1.应用绝对值不等式时，需要注意等号是否能够成立，成立的条件是什么；
2.绝对值不等式不能应用时需要分类讨论，注意每种情况的解要和分类讨论的条件取交集，所有情况要取并集
例题精讲
例1、解不等式|x2－5x+5|＜1.
解法一：利用不等式|x|＜a (a＞0)的解集是﹛x|－a＜x＜a＝和整体的思想|f(x)|<1-1因此，这个不等式可化为 ，
解不等式①得解集 ﹛x|1＜x＜4﹜解不等式②得解集 ﹛x|x＜2或x＞3﹜
∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即解集为{x|1解法二：平方去绝对值．原不等式可化为：
利用“数轴标根法”
∴原不等式的解集是{x|1例2 解关于的不等式
解：若 ，即 ，则 恒不成立，此时原不等式无解；
若 ，即 ，则 ，所以
综上，当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式解集为 ．
例3 解不等式．
解法一 由代数式 ， 知，－2，1把实数集分为三个部分：
， ， ．
当 时，原不等式变为 ，即；
当 时，原不等式变为 ，即 ；
当 时，原不等式变为 ，即 ．
综上，知原不等式的解集为 ．
解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：
（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．
不等式 的几何意义是表示数轴上与 及b（1）两点距离之和小于4的点．而a，b两点距离为3，因此线段ab上每一点到a，b的距离之和都等于3．如下图，要找到与a，b的距离
之和为4的点，问题就迎刃而解了．
解法二 如上图，要找到与a，b距离之和为4的点，只需由点b向右移动个单位，这时距离之和
增加1个单位，即移到点．或由点a向左移动 个单位，即移到点 ．
可以看出，数轴上点 向左的点或者 向右的点到a，b两点的距离之和均小于4．
所以，原不等式的解集为．
例4 解不等式
解法一 原不等式等价于
（ⅰ） 或 （ⅱ）
解（ⅰ），得 ，或 ．
解（ⅱ），得解集为空集．
所以，原不等式的解集为 ．
解法二 原不等式等价于
（ⅰ） ，或（ⅱ） ．
解（ⅰ），得 ，或 ． 解（ⅱ），得解集为空集．
所以，原不等式的解集为 ．
比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系：
若 ，则 等价于 ，或 ．
例5、某段城铁线路上依次有A B C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整
从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差 21世纪教育网版权所有
（I）分别写出列车在B C两站的运行误差
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围
解：（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是 和
（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 （*）
当时，（*）式变形为解得
当时，（*）式变形为解得
当时，（*）式变形为, 解得
综上所述，的取值范围是[39，]
巩固练习
1．求不等式的解集
【答案】或
【分析】
将原不等式开绝对值化为两个不等式，依次解不等式即可.
【详解】
由，
可得或．
解得或．
故答案为：或．
2．不等式的解集为________
【答案】
【分析】
由绝对值不等式的解法可直接求得结果.
【详解】
由得：，解得：，
的解集为.
故答案为：.
3．不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】
分，，三种情况讨论，即可求出结果．
【详解】
当时，原不等式可化为，解得，所以；
当时，原不等式可化为，解得，所以；
当时，原不等式可化为，显然不成立；
综上，原不等式的解集为．
故答案为：．
4．不等式的解集是_____.
【答案】
【分析】
利用两边平方的方法，求出不等式的解集.
【详解】
由两边平方并化简得，解得，故原不等式的解集为.
故答案为
【点睛】
本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，属于基础题.
5．不等式的解集为______．
【答案】
【分析】
依据绝对值的定义可知，恒成立，所以只需有意义即可。
【详解】
依据绝对值的定义知恒成立，所以，即，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查绝对值的定义应用。
6．方程的解集为________
【答案】
【分析】
分类讨论的范围，最终求出答案.
【详解】
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以，
所以综上所示：方程的解集为.
故答案为：.
知识点四：根式不等式
知识梳理
（4）
注意：
1. 注意定义域，根里的式子需要大于等于零；
2. 只有两边都是非负的才可以同时平方；
3. 不能确定一边的正负时，要分类讨论。
例题精讲
例1．已知，则不等式等号成立时，x=__________.
【答案】
【分析】
直接构造基本不等式求最值，判断取最值的条件即可.
【详解】
因为，因为，
则不等式.
当且仅当，即时，取等号.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；21教育网
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．21cnjy.com
例2．不等式的解集为___________.(用区间表示)
【答案】
【分析】
根据题意得到或，再解不等式组即可.
【详解】
由题知：或，解得或.
故答案为：
例3．已知集合，，则________.
【答案】
【分析】
解不等式确定集合，然后由交集定义计算．
【详解】
，又，∴，∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查解无理不等式，属于基础题．
例4．如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
利用绝对值三角不等式可求得，根据不等式解集不为空集可得根式不等式，根据根式不等式的求法可求得结果.www.21-cn-jy.com
【详解】
由绝对值三角不等式得：，即.
原不等式解集不是空集，，即
当时，不等式显然成立；
当时，，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据不等式的解集 ( http: / / www.21cnjy.com )求解参数范围的问题，涉及到绝对值三角不等式的应用、根式不等式的求解等知识；关键是能够根据利用绝对值三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题.2·1·c·n·j·y
例5．不等式的解为______.
【答案】
【分析】
由题意可知，解不等式组即可.
【详解】
因为，所以，解得，
故不等式的解集为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了不等式的解法，属于基础题.
巩固练习
1．不等式的解是______________ .
【答案】
【分析】
由偶次根数分母大于等于零和平方后所得不等式可解得结果.
【详解】
由得： ，即不等式的解为
故答案为：
【点睛】
本题考查根式不等式的求解问题，易错点是忽略偶次根式被开方数大于等于零的要求，造成求解错误.
2．关于的不等式的解集为_________.
【答案】
【分析】
根据二次根式有意义的条件及不等式,即可求解.
【详解】
因为的不等式
化简可得
则解不等式组可得
即
所以不等式的解集为
故答案为:
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件,解二次根式不等式,属于基础题.
3．不等式的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】
通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。
【详解】
由得，解得，
所以解集是。
【点睛】
本题主要考查无理不等式的解法。
知识点五：韦达定理的应用
知识梳理
一元二次方程的两根为，则
例题精讲
例1. 已知不等式解集是．求不等式解集．
【答案】
【解析】由题可判断出，是方程的两根，∴，．
又的解集是，说明．
而，，∴．
∴，即，即．
又，∴，∴的解集为．
例2. 已知关于的不等式解集为，其中，
求解集。
【答案】若，解集为；若，则解集为
巩固练习
1. 关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )
A．(4,5) B．(－3，－2)∪(4,5) C．(4,5] D．[－3，－2)∪(4,5]
【答案】D
【解析】原不等式可能为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，得1则42. 已知M是关于x的不等式2 ( http: / / www.21cnjy.com )x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.21·cn·jy·com
【解析】原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由适合不等式故得，所以，或.
若，则，
∴，此时不等式的解集是；
若，由，∴，
此时不等式的解集是。
3．已知方程的两个根是和，若，求实数．
【答案】或
【分析】
利用韦达定理即可求解.
【详解】
方程的两个根是和,
由韦达定理得,,
又
即 ,得 ,
解得或.
故答案为：或.
知识点六：含参不等式的解法与参数的范围
知识梳理
1.分离参变量，然后利用函数的值域求参变量的范围
2.利用一元二次函数的图形来判断根的分布的条件，从而求出参变量的范围
例题精讲
例1．已知函数．
（1）关于的不等式的解集恰好为，求的值；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）不等式可化为，而解集为，分析即可得到答案；
（2）依题意转化为对任意的，恒成立．讨论和时，分离参数利用基本不等式即可得到取值范围；
【详解】
解：（1），即，
∴，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，
又解集恰好为，所以；
（2）对任意的，恒成立，
即恒成立，
即对任意的，恒成立．
①时，不等式为恒成立，此时；
②当时，，
，∴，∴，
当且仅当时，即，时取“”，∴．
综上．
例2.解关于的不等式：.
【答案】见解析.
【分析】
将原不等式因式分解即，解的根，对参数a分类讨论，分别求得不同范围时对应的不等式解集即可.
因为，
所以，即.
令，解得.
①当时，，
解集为或；
②当时，，解集为，且；
③当时，，解集为，或.
综上所述：当时，不等式的解集为，或；当时，不等式的解集为，且；当时，不等式的解集为，或.【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
关键点点睛：解一元二次不等式，带参数时，需对参数分类讨论，才能求得解集.
巩固练习
1.已知关于的不等式．
【分析】
将所求不等式变形为，然后对和的大小进行分类讨论，可得出该不等式的解集.
【详解】
.
当时，即当时，不等式解集为；
当时，即当时，不等式解集为；
当时，即当时，不等式解集为.
所以，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
【点睛】
本题考查含参二次不等式的求解，考查分段讨论思想与运算求解能力，属于中等题.
2.关于的不等式：，．
（1）当时，解这个不等式；
（2）当时，解这个不等式．
【答案】（1）；（2）当时，，当时，
【分析】
（1）将代入不等式，解不等式即可.
（2）首先得到，再分类讨论解不等式即可.
【详解】
（1）当时，，解得：.
（2）当时，
①当时，不等式的解为：；
②当时，不等式的解为：.
【点睛】
本题主要考查二次不等式的解法，同时考查了分类讨论的思想，属于简单题.
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1．不等式的解集是______．
【答案】
【分析】
先考虑使得代数式有意义的的取值范围，在这个条件下，再考虑不等式的解.
【详解】
根据题设有，又原不等式可化为：，
故不等式的解集为．
填．
【点睛】
解不等式时，要遵循如下基本步骤：
（1）先考虑使得不等式有意义的的范围；
（2）在（1）的条件下，化简原不等式，化简的方向是：分式化整式、无理式化有理式、高次向低次转化，化简时注意等价变形．www-2-1-cnjy-com
2.已知恒成立，则的取值范围是____________
【答案】或
【分析】利用绝对值不等式可求的最小值，从而得到，进而得解.
【详解】令，则由绝对值不等式有
，当且仅当时等号成立，
因为不等式对任意恒成立，
所以，解得或，
故答案为：或..
3.关于x的不等式有解时，d的取值范围是________.
【答案】
试题分析：因为，所以当不等式有解时，只需即可．
考点：含绝对值不等式.
4．解不等式组
【答案】
【分析】
分别解各不等式，再取交集；
【详解】
解：因为，解得或；
解，即，，得；
解，即，得；
综上可得原不等式的解集为
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① ②
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第04讲-一元二次不等式与其他不等式(原卷版)
学习目标： 1、一元二次不等式的解法2、分式不等式3、绝对值不等式4、根式不等式5、韦达定理的应用6、含参不等式的解法与参数的范围
教学内容
1．判断下列命题是否成立，并说明理由．
（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么.
2．对于实数中，判断下列命题的真假：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤若，则；
⑥若，则；
⑦若，则；
⑧若，则.
3. 设，且，则与的大小关系是________.
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知识点一：一元二次不等式的解法
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的根的判别式
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，
例题精讲
例1.解下列不等式
（1）
（2）
（3）
巩固练习
1.
2.
知识点二：分式不等式
知识梳理
分式不等式：
①；②．
注意：
1.分式不等式需注意分母不等于零；
2.高次分式不等式需要注意；
3.穿线法解不等式需要注意所有未知数前的系数需为正，注意奇穿偶不穿；
4.不等式大于等于或者小于等于零时，需注意分子上能够等于零的根；
5.分式不等式右边为不为零的数字时， ( http: / / www.21cnjy.com )需注意分母是否恒正或恒负，是的或可以两边同乘分母，注意是否变号，不是的话注意只能把数字移到左边，然后通分。21世纪教育网版权所有
例题精讲
例1、解不等式
例2、解不等式
例3、 解关于x的不等式
例4、k为何值时，下式恒成立：
巩固练习
1．不等式的解集是___________．
2．不等式的解集为__________.
3．不等式的解集为______．
知识点三：绝对值不等式
知识梳理
含有绝对值不等式的性质：
①；②．
含绝对值的不等式：
注意：
1.应用绝对值不等式时，需要注意等号是否能够成立，成立的条件是什么；
2.绝对值不等式不能应用时需要分类讨论，注意每种情况的解要和分类讨论的条件取交集，所有情况要取并集
例题精讲
例1、解不等式|x2－5x+5|＜1.
例2 解关于的不等式
例3 解不等式．
例4 解不等式
例5、某段城铁线路上依次有A B C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整
从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差 21教育网
（I）分别写出列车在B C两站的运行误差
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围
巩固练习
1．求不等式的解集
2．不等式的解集为________
3．不等式的解集为__________．
4．不等式的解集是_____.
5．不等式的解集为______．
6．方程的解集为________
知识点四：根式不等式
知识梳理
（4）
注意：
1. 注意定义域，根里的式子需要大于等于零；
2. 只有两边都是非负的才可以同时平方；
3. 不能确定一边的正负时，要分类讨论。
例题精讲
例1．已知，则不等式等号成立时，x=__________.
例2．不等式的解集为___________.(用区间表示)
例3．已知集合，，则________.
例4．如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______.
例5．不等式的解为______.
巩固练习
1．不等式的解是______________ .
2．关于的不等式的解集为_________.
3．不等式的解集为________
知识点五：韦达定理的应用
知识梳理
一元二次方程的两根为，则
例题精讲
例1. 已知不等式解集是．求不等式解集．
例2. 已知关于的不等式解集为，其中，
求解集。
巩固练习
1. 关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )
A．(4,5) B．(－3，－2)∪(4,5) C．(4,5] D．[－3，－2)∪(4,5]
2. 已知M是关于x的不等式2x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.21cnjy.com
3．已知方程的两个根是和，若，求实数．
知识点六：含参不等式的解法与参数的范围
知识梳理
1.分离参变量，然后利用函数的值域求参变量的范围
2.利用一元二次函数的图形来判断根的分布的条件，从而求出参变量的范围
例题精讲
例1．已知函数．
（1）关于的不等式的解集恰好为，求的值；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
例2.解关于的不等式：.
巩固练习
1.已知关于的不等式．
2.关于的不等式：，．
（1）当时，解这个不等式；
（2）当时，解这个不等式．
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1．不等式的解集是______．
2.已知恒成立，则的取值范围是____________
3.关于x的不等式有解时，d的取值范围是________.
4．解不等式组
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