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第10讲-函数的奇偶性和单调性（原卷版）
学习目标： 1．掌握函数的奇偶性和图像的性质；能判断一些简单函数的奇偶性；能判断分段函数、抽象函数的奇偶性；2．会运用函数的奇偶性求有关函数的值和解析式；3．会运用函数的奇偶性研究函数的其他性质；4．掌握函数的单调性的相关概念，熟练应用定义法证明函数的单调性；5．掌握奇偶性与单调性的联系以及复合函数单调性法则，并会灵活应用
教学内容
1.给出下列函数:
（1）； （2）； （3）；
（4） （5）
其中不存在反函数的是__________________.
2.求下列函数的反函数：
（1）； （2）；
3. 若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值
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知识点一：函数奇偶性
知识梳理
1．偶函数和奇函数
偶函数 奇函数
定义 条件 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
结论 函数f(x)叫作偶函数 函数f(x)叫作奇函数
图象特征 图象关于y轴对称 图象关于原点对称
2．奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数．
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
即：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；（记忆窍门：奇(－)偶(＋)）
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若g(x)是偶函数函数，那么y=f(g(x))一定是偶函数.（复合函数奇偶性口诀：内偶则偶，内奇同外）2·1·c·n·j·y
3．判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
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注：①对于较复杂的解析式，可先对其进 ( http: / / www.21cnjy.com )行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．21·世纪*教育网
(2)图象法
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(3)性质法：
①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数
例题精讲
一、函数的奇偶性
（一）判断函数奇偶性
【例1】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【例2】判断函数的奇偶性：
⑴； ⑵； ⑶；
⑷； ⑸； ⑹．
【例3】是非奇非偶函数，证明如下： ，这种证法正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请给出正确的证法．
【例4】如图，在直角坐标平面内有一个边长为、中心在原点的正六边形，. 直线与正六边形交于M、N两点，记的面积为，则函数的奇偶性为（ )
A．偶函数 B．奇函数
C．不是奇函数，也不是偶函数 D．奇偶性与有关[来
【例5】已知函数，其中.根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由．
【例6】若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为_____．
【例7】已知函数对一切，都有．求证：为奇函数．
（二）利用函数奇偶性
【例8】定义在上的函数是奇函数，则常数___,____
【例9】、设，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”___ 的条件。21世纪教育网版权所有
充分而不必要
【例9】（1）已知是奇函数,且 HYPERLINK "http://www." .若,则 HYPERLINK "http://www." _______ .
（2）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若， 则
13、已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为[3，3]，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是_________.
【例10】设为定义在上的奇函数,且时,,则函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【例11】已知函数()，如果（），那么的值是（ ）
A． B．3 C．5 D．
【例12】设是函数的图象上一点，向量，，且.数列是公差不为0的等差数列，且，则_____．
【例13】设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为___________．
【例14】已知定义在上的函数(为实常数)，
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）设是奇函数，求与的值；
（3）当是奇函数时，证明对任何实数，都有成立．
巩固练习
1、判断下列函数的奇偶性：
（1） （2） （3）
2、函数是偶函数的充要条件是___________
3、为上的奇函数，当时，，则当时,= 。
4．设函数，其中、（，）为已知实常数，.
下列关于函数的性质判断正确的命题的序号是_______________．
① 若，则对任意实数恒成立；
② 若，则函数为奇函数；
③若，则函数为偶函数；
5．已知，，且，，
则=_____．
6．设函数是定义域为的奇函数，，，求的值．
7．已知函数，，，且与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若，，试讨论函数的奇偶性．
8．
已知函数，（为正常数），且函数与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若（为常数），试讨论函数的奇偶性．
知识点二：函数单调性
知识梳理
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．函数单调性的常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同；
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
(6)对于任意的，都有，表示单调递增；对于任意的，都有，表示单调递减．
3．判断函数单调性(单调区间)的常用方法
(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(切记：高考中对函数单调性的证明，只能使用定义法)2-1-c-n-j-y
(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)．【来源：21cnj*y.co*m】
(3)复合函数法：适用于形如y＝f(φ(x))的复合函数，具体规则如下表：
函数 增减情况
内函数t＝φ(x) 增 增 减 减
外函数y＝f(t) 增 减 增 减
y＝f(φ(x)) 增 减 减 增
y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．21·cn·jy·com
(4)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性
增函数与减函数
定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，，当时，都有（），那么就说在区间上是增（减）函数．
注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求；
②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“”连接；如的单调递减区间时和而不能写成。【版权所有：21教育】
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤
【步骤】
① 任取，且；
② 作差 （偶有做商比较大小的）；
③ 变形（通常是通分、因式分解和配方）；
④ 定号（即判断差的正负）；
⑤下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）；
单调性的其它等价形式
①对于任意的，都有，表示单调递增；
对于任意的，都有，表示单调递减.
②对于任意的，都有，表示单调递增；
对于任意的，都有，表示单调递减.
③若是奇函数，且对定义域内的任意（）都有
恒成立，则在定义域内递增；
恒成立，则在定义域内递减.
例题精讲
（一）单调性概念
【例15】下列命题中正确的命题是（ ）
A．若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
B．若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
C．函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；
D．若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数．
【例17】已知函数，单调递增区间为_____．
【例18】，证明是上的递增函数．
【例19】判断函数在区间上的单调性。
【例20】已知，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围
【例21】定义在上的偶函数在上是增函数，且对一切,恒有成立，试判断在上的单调性，并证明你的结论．www-2-1-cnjy-com
【例22】已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_____．
【例23】2、求下列函数的单调区间：
（1）函数的单调增区间为____________
（2）求函数的单调区间。
【例24】设,函数在单调递减,则（ ）
A．在上单调递减,在上单调递增
B．在上单调递增,在上单调递减
C．在上单调递增,在上单调递增
D．在上单调递减,在上单调递减
【例25】设x∈R，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（e是自然对数的底数），则的值等于_____．【出处：21教育名师】
【例26】动点在圆 ( http: / / www. / )上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点 ( http: / / www. / )的坐标是，则当 ( http: / / www. / )时，动点的纵坐标 ( http: / / www. / )关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A． ( http: / / www. / ) B． C． ( http: / / www. / ) D．和 ( http: / / www. / )
【例27】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【例28】已知函数，，．
（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；
（2）当时，求证函数存在反函数．
【例29】在定义域上满足任意，
（1）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由；
（2）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由．
巩固练习
1．函数的增区间是，则的递区间是_____．
2、的递增区间是__________，递减区间是__________。
3、求函数 的单调递增区间
4、．证明在定义域上为减函数.
5、求的单调递增区间
6、已知函数，函数,求函数的单调区间？
7、已知函数，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．21教育网
8．设为奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
知识点三：奇偶性单调性综合
知识梳理
奇偶性单调性综合应用
例题精讲
（二）利用函数单调性
【例30】，在定义域上为增函数，则的取值范围．
【例31】已知是上的减函数，那么的取值范围是_____．
【例32】已知定义域为的奇函数，又是减函数，且，求的取值范围．
【例33】问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是_____．www.21-cn-jy.com
【例34】，
（1）在区间上是增函数，求的取值范围；
（2）的单调递增区间是，求的取值范围．
【例35】对于定义域为的函数，若有常数，使得对于任意的,存在唯一的满足等式，则称为函数的“均值”．21*cnjy*com
（1）判断1是否为函数的“均值”，请说明理由；
（2）若函数存在“均值”，求实数的取值范围．
【巩固训练】
1．是否存在实数，使函数在区间上是增函数？如此存在，说明可取哪些值；如果不存在，说明理由．
2．已知函数，若在是增函数，求实数的范围.
3、已知函数.
（1）用定义证明：当时，函数在上是增函数；
（2）若函数在上有最小值，求实数的值．
三、函数的奇偶性与单调性综合应用
【例36】下列函数：①；②；③；④；⑤中，既是偶函数，又是在区间上单调递减函数为 ．（写出符合要求的所有函数的序号）
【例37】【2012年嘉定区一模理科第12题】已知函数，，则满足的的取值范围是________________．21教育名师原创作品
【例38】（黄浦区2013届高三一模理科17）若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例39】（青浦区2013届高三一模18）已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（ ）
A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负
【例40】已知是单调减函数，若将方程与的解分别称为函数的不动点与稳定点．则“是的不动点”是“是的稳定点”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【例41】已知集合是满足下列两个条件的函数的全体：①在定义域上是单调函数；②在的定义域内存在闭区间，使在上的值域为．若函数，，则实数的取值范围是________________．
【例42】已知函数的定义域是且，,当时,．
(1)求证:是奇函数；
(2)求在区间)上的解析式；
(3)是否存在正整数，使得当x∈时,不等式有解 证明你的结论．
【例43】已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值；
（2）设常数，求函数的最大值和最小值；
（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．
巩固练习
1．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是( )
A． B．
C． D．
2．定义在R上的偶函数满足：对任意的，
有恒成立. 则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )，，
若对任意的，均有，则实数的取值范围是 ．
4．设函数，.
（1）解方程：；
（2）令，，求证：
；
（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
5．对于函数，若存在实数，使成立，则称为函数的不动点．
⑴已知函数．
①若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
②在①的条件下，若的图像上两点的横坐标都是函数的不动点，且两点关于直线对称，求实数的最小值．21cnjy.com
⑵命题“若定义在实数集上的奇函数存在有限个相异的不动点，则不动点的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明．【来源：21·世纪·教育·网】
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1、已知，，则的单调递增区间 .
2、如果函数在区间上是减函数，则的取值范围是
3、若函数在上单调递减，求实数的取值范围。
4.已知是上的减函数，那么的取值范围是
5、已知函数,满足对任意,都有成立,则的取值范围是__________.
6、已知在定义域上是减函数，且，求的取值范围．
7、已知函数式定义在上的偶函数，且在上是增函数，且，求满足的的取值范围。
8、已知是定义在上的奇函数，且它在区间上单调递减，且，求实数的取值范围。
9、 “求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察
函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解
．仿照此解法可得到不等式：的解是 ．
10、已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围
是 。
11、已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，并且，求实数的取值范围．
12、下列命题中正确的命题是………………（ ）
（A）若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
（B）若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
（C）函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；
（D）若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数。
13、“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14、定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的值的集合
15、已知偶函数在上是增函数，求不等式的解集。
16、已知二次函数。
（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
17．（1）已知：，求函数的单调区间和值域；
（2），函数，判断函数的单调性并予以证明；
（3）当时，上述（1）、（2）小题中的函数，，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围．21*cnjy*com
18．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.
(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；
(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，
求证：；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
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笔耕不辍
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1、函数为奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称；
2、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域是否关于原点对称，有时还要对函数进行化简整理，但必须注意不能改变函数的定义域；
3、偶函数的图像关于轴对称对称；奇函数的图像关于原点对称；
4、函数包括奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数四类；
5、分段函数的奇偶性要分段讨论；奇偶性的等价形式：
x
L
N
M
O
F
E
D
C
B
A
y
x
0
y
1
2
3
y=f(x)
y=g(x)
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第10讲-函数的奇偶性和单调性（解析版）
学习目标： 1．掌握函数的奇偶性和图像的性质；能判断一些简单函数的奇偶性；能判断分段函数、抽象函数的奇偶性；2．会运用函数的奇偶性求有关函数的值和解析式；3．会运用函数的奇偶性研究函数的其他性质；4．掌握函数的单调性的相关概念，熟练应用定义法证明函数的单调性；5．掌握奇偶性与单调性的联系以及复合函数单调性法则，并会灵活应用
教学内容
1.给出下列函数:
（1）； （2）； （3）；
（4） （5）
其中不存在反函数的是__________________.
【答案】 (3),(4),(5).
【解析】根据反函数的定义可得。
2.求下列函数的反函数：
（1）； （2）；
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由得，∴，
∴所求函数的反函数为
（2）当时，得，当时，得，
∴所求函数的反函数为
3. 若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值
【答案】
【解析】既在的图象上，又在它反函数图象上，
∴，∴，∴
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知识点一：函数奇偶性
知识梳理
1．偶函数和奇函数
偶函数 奇函数
定义 条件 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
结论 函数f(x)叫作偶函数 函数f(x)叫作奇函数
图象特征 图象关于y轴对称 图象关于原点对称
2．奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数．
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
即：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；（记忆窍门：奇(－)偶(＋)）
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若g(x)是偶函数函数，那么y=f(g(x))一定是偶函数.（复合函数奇偶性口诀：内偶则偶，内奇同外）21·cn·jy·com
3．判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
( http: / / www.21cnjy.com / )
注：①对于较复杂的解析式 ( http: / / www.21cnjy.com )，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．21*cnjy*com
(2)图象法
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(3)性质法：
①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数
例题精讲
一、函数的奇偶性
（一）判断函数奇偶性
【例1】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】D
【解析】略
【例2】判断函数的奇偶性：
⑴；⑵；⑶；
⑷；⑸；⑹．
【答案】⑴奇；⑵偶；⑶既奇又偶；⑷偶；⑸非奇非偶；⑹奇．
【解析】略
【例3】是非奇非偶函数，证明如下： ，这种证法正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请给出正确的证法．
【答案】不正确，略
【解析】略
【例4】如图，在直角坐标平面内有一个边长为、中心在原点的正六边形，. 直线与正六边形交于M、N两点，记的面积为，则函数的奇偶性为（ )
A．偶函数 B．奇函数
C．不是奇函数，也不是偶函数 D．奇偶性与有关[来
【答案】A
【解析】略
【例5】已知函数，其中.根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由．
【答案】，函数为偶函数；，函数为非奇非偶函数．
【解析】略
【例6】若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】略
【例7】已知函数对一切，都有．求证：为奇函数．
【答案】显然的定义域是，它关于原点对称，
在中，令得：，得．
再令得，
∴，∴是奇函数．
（二）利用函数奇偶性
【例8】定义在上的函数是奇函数，则常数___,____
【答案】0；0
【例9】、设，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”___ 的条件。
充分而不必要
【解析】偶函数加偶函数必然为偶函数，但是偶函数可以写成两个非奇非偶的函数的和
【例9】（1）已知是奇函数,且.若,则_______ .
（2）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若， 则
【答案】
13、已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为[3，3]，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是_________.【出处：21教育名师】
【答案】
【例10】设为定义在上的奇函数,且时,,则函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例11】已知函数()，如果（），那么的值是（ ）
A． B．3 C．5 D．
【解答】A
【例12】设是函数的图象上一点，向量，，且.数列是公差不为0的等差数列，且，则_____．
【解答】18
【例13】设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为___________．【版权所有：21教育】
【解答】
【例14】已知定义在上的函数(为实常数)，
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）设是奇函数，求与的值；
（3）当是奇函数时，证明对任何实数，都有成立．
【答案】（1）证明：解法一：当时，，
因为，，
所以即不是奇函数．
解法二：因为而，
即，所以不是奇函数．
（2）解法一：是奇函数，，
即对任意恒成立．
化简整理得对任意恒成立．
．
因为原函数定义域为，所以．所以．
解法二：是定义在上的奇函数，即，经验证满足．
所以．
（3）由（2）得：，
∵，∴．∴，∴．
而恒成立，
所以对任何实数，都有成立．
巩固练习
1、判断下列函数的奇偶性：（1） ；（2） ；（3） .
（1） （2） （3）
【答案】（1）奇函数；（2）非奇非偶；（3） 奇函数
【解析】函数奇偶性定义
2、函数是偶函数的充要条件是___________
【答案】
【解析】解得
3、为上的奇函数，当时，，则当时,= 。
【答案】
【解析】当时，，设，，因为奇函数，
4．设函数，其中、（，）为已知实常数，.
下列关于函数的性质判断正确的命题的序号是_______________．
① 若，则对任意实数恒成立；
② 若，则函数为奇函数；
③若，则函数为偶函数；
【答案】①②③
5．已知，，且，，
则=_____．
【答案】1
6．设函数是定义域为的奇函数，，，求的值．
【答案】由是奇函数得，在中，令可得，而
7．已知函数，，，且与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若，，试讨论函数的奇偶性．
【答案】（1）由题意，，即，又，故．
（2），其定义域为，
．
若为偶函数，即，则有，此时，，
故，即不为奇函数；
若为奇函数，即，则，此时，，
故，即不为偶函数；
综上，当且仅当时，函数为偶函数，且不为奇函数，
当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数，
当时，函数既非奇函数又非偶函数．
8．
已知函数，（为正常数），且函数与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若（为常数），试讨论函数的奇偶性．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意，，即，又，故．（4分）
（2），其定义域为，（8分）
．
若为偶函数，即，则有，此时，，
故，即不为奇函数；
若为奇函数，即，则，此时，，
故，即不为偶函数；
综上，当且仅当时，函数为偶函数，且不为奇函数，（10分）
当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数，（12分）
当时，函数既非奇函数又非偶函数．（14分）
知识点二：函数单调性
知识梳理
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．函数单调性的常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同；
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
(6)对于任意的，都有，表示单调递增；对于任意的，都有，表示单调递减．
3．判断函数单调性(单调区间)的常用方法
(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(切记：高考中对函数单调性的证明，只能使用定义法)2-1-c-n-j-y
(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)．
(3)复合函数法：适用于形如y＝f(φ(x))的复合函数，具体规则如下表：
函数 增减情况
内函数t＝φ(x) 增 增 减 减
外函数y＝f(t) 增 减 增 减
y＝f(φ(x)) 增 减 减 增
y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．
(4)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性
增函数与减函数
定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，，当时，都有（），那么就说在区间上是增（减）函数．
注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求；
②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“”连接；如的单调递减区间时和而不能写成。
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤
【步骤】
① 任取，且；
② 作差 （偶有做商比较大小的）；
③ 变形（通常是通分、因式分解和配方）；
④ 定号（即判断差的正负）；
⑤下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）；
单调性的其它等价形式
①对于任意的，都有，表示单调递增；
对于任意的，都有，表示单调递减.
②对于任意的，都有，表示单调递增；
对于任意的，都有，表示单调递减.
③若是奇函数，且对定义域内的任意（）都有
恒成立，则在定义域内递增；
恒成立，则在定义域内递减.
例题精讲
（一）单调性概念
【例15】下列命题中正确的命题是（ ）
A．若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
B．若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
C．函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；
D．若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数．
【答案】D
【例17】已知函数，单调递增区间为_____．
【答案】
【例18】，证明是上的递增函数．
【答案】略
【例19】判断函数在区间上的单调性。
【答案】在区间上单调递减。
【解析】任取
所以在区间上单调递减
【例20】已知，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】
【解析】由可知，为上的奇函数，且在上递增，
对任意恒成立
对任意恒成立
【例21】定义在上的偶函数在上是增函数，且对一切,恒有成立，试判断在上的单调性，并证明你的结论．21cnjy.com
【答案】减函数
【例22】已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_____．
【答案】
【例23】2、求下列函数的单调区间：
（1）函数的单调增区间为____________
【答案】
（2）求函数的单调区间。
【答案】函数的单调增区间是；单调减区间是
【解析】设则，由解得
所以二次函数的图像是以为顶点，开口向下的抛物线在上的一段。
当时，为增函数，从而也为增函数；
当时，为减函数，从而也为减函数；
故函数的单调增区间是；单调减区间是
【例24】设,函数在单调递减,则（ ）
A．在上单调递减,在上单调递增
B．在上单调递增,在上单调递减
C．在上单调递增,在上单调递增
D．在上单调递减,在上单调递减
【解答】B
【例25】设x∈R，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（e是自然对数的底数），则的值等于_____．21教育网
【解答】3
【例26】动点在圆 ( http: / / www. / )上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点 ( http: / / www. / )的坐标是，则当 ( http: / / www. / )时，动点的纵坐标 ( http: / / www. / )关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）21教育名师原创作品
A． ( http: / / www. / ) B． C． ( http: / / www. / ) D．和 ( http: / / www. / )
【答案】D
【例27】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【例28】已知函数，，．
（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；
（2）当时，求证函数存在反函数．
【解析】(1)判断：若，函数在上是增函数.
证明：当时，，在上是增函数.
在区间上任取，设，
所以，即在上是增函数.
(2) 因为，所以
当时，在上是增函数，
证明：当时，在上是增函数（过程略）
在在上也是增函数
当时，上是增函数
所以任意一个，均能找到唯一的和它对应，
所以时，存在反函数
【例29】在定义域上满足任意，
（1）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由；
（2）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由．
【答案】单调递增；不确定
巩固练习
1．函数的增区间是，则的递区间是_____．
【答案】减 (－4,0)
2、的递增区间是__________，递减区间是__________。
【答案】；
【解析】
可知递增区间是，递减区间是
3、求函数 的单调递增区间
【答案】
【解析】
可得单调增区间为（也可画出该分式函数图像如图所示）
4、．证明在定义域上为减函数.
【答案】见解析
【解析】
任取
所以在定义域上为减函数.
5、求的单调递增区间
【答案】和
【解析】
，令，原函数变为
从而可得函数的递增区间为和
6、已知函数，函数,求函数的单调区间？
【答案】在和上单调递减，在和上单调递增
【解析】，得在单调递减，在上单调递增，
令得在上单调递增，在上单调递减；
所以在和上单调递减，在和上单调递增
7、已知函数，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】存在
【解析】
是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．
令，当时；时，由于时，
是增函数记，故与在区间上
有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上
是减函数，其对称轴方程为
8．设为奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★
【解析】（1） 为奇函数，对定义域内的任意 都成立，
， ，解得或（舍去）.
（2）由（1）知：，
任取 ，设 ，则，
在 上是增函数.
（3）令 ， 上是减函数，
由（2）知，是增函数， ，
对于区间 上的每一个 值，不等式 恒成立，
即 恒成立， .
知识点三：奇偶性单调性综合
知识梳理
奇偶性单调性综合应用
例题精讲
（二）利用函数单调性
【例30】，在定义域上为增函数，则的取值范围．
【答案】
【例31】已知是上的减函数，那么的取值范围是_____．
【答案】
【例32】已知定义域为的奇函数，又是减函数，且，求的取值范围．
【答案】
【例33】问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是_____．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】
【例34】，
（1）在区间上是增函数，求的取值范围；
（2）的单调递增区间是，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【例35】对于定义域为的函数，若有常数，使得对于任意的,存在唯一的满足等式，则称为函数的“均值”．www-2-1-cnjy-com
（1）判断1是否为函数的“均值”，请说明理由；
（2）若函数存在“均值”，求实数的取值范围．
【答案】（1）是；（2）．
【巩固训练】
1．是否存在实数，使函数在区间上是增函数？如此存在，说明可取哪些值；如果不存在，说明理由．
【答案】
2．已知函数，若在是增函数，求实数的范围.
【答案】
【解析】函数在上是增函数
对恒成立，即
3、已知函数.
（1）用定义证明：当时，函数在上是增函数；
（2）若函数在上有最小值，求实数的值．
【答案】见解析
【解析】（1）当时，
任取时，
因为，所以
所以，所以在上为增函数。
（2）解法一、根据题意恒成立。且等号成立。
所以
由于在上单调递减，所以
所以；
当等式等号成立时，
所以，
故
解法二、，令，则
①时，根据反比例函数与正比例函数的性质，
为增函数
所以，即：
②，由于，所以，即不存在
三、函数的奇偶性与单调性综合应用
【例36】下列函数：①；②；③；④；⑤中，既是偶函数，又是在区间上单调递减函数为 ．（写出符合要求的所有函数的序号）
【答案】③⑤
【例37】【2012年嘉定区一模理科第12题】已知函数，，则满足的的取值范围是________________．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【例38】（黄浦区2013届高三一模理科17）若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【例39】（青浦区2013届高三一模18）已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（ ）
A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负
【答案】A
【例40】已知是单调减函数，若将方程与的解分别称为函数的不动点与稳定点．则“是的不动点”是“是的稳定点”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【例41】已知集合是满足下列两个条件的函数的全体：①在定义域上是单调函数；②在的定义域内存在闭区间，使在上的值域为．若函数，，则实数的取值范围是________________．
【答案】
【例42】已知函数的定义域是且，,当时,．
(1)求证:是奇函数；
(2)求在区间)上的解析式；
(3)是否存在正整数，使得当x∈时,不等式有解 证明你的结论．
【解答】(1) 由得,
由得, 故是奇函数.
(2)当x∈时,，.
而，.
当x∈Z)时,，，
因此.
（3）不等式即为，
即.
令，对称轴为，
因此函数在上单调递增.
因为，又为正整数，
所以，因此在上恒成立，
因此不存在正整数使不等式有解.
【例43】已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值；
（2）设常数，求函数的最大值和最小值；
（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．
【解答】(1) 由已知得=4, ∴b=4.
(2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.
f(1)－f(2)=,
当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；
当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.
(3)设0当g(x1), 函数g(x)在[,+∞)上是增函数；
当0g(x1), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.
当n是奇数时,g(x)是奇函数,
函数g(x) 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数.
当n是偶数时, g(x)是偶函数,
函数g(x)在(－∞,－)上是减函数, 在[－,0]上是增函数
巩固练习
1．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
2．定义在R上的偶函数满足：对任意的，
有恒成立. 则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
3．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )，，
若对任意的，均有，则实数的取值范围是 ．
【答案】
4．设函数，.
（1）解方程：；
（2）令，，求证：
；
（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），，
（2），．
因为，
所以，，
．
=．
（3）因为是实数集上的奇函数，所以.
，在实数集上单调递增.
由得，又因为是实数集上的奇函数，
所以，，
又因为在实数集上单调递增，所以
即对任意的都成立，即对任意的都成立，.
5．对于函数，若存在实数，使成立，则称为函数的不动点．
⑴已知函数．
①若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
②在①的条件下，若的图像上两点的横坐标都是函数的不动点，且两点关于直线对称，求实数的最小值．21*cnjy*com
⑵命题“若定义在实数集上的奇函数存在有限个相异的不动点，则不动点的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明．
【答案】⑴①；②；⑵命题正确．
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1、已知，，则的单调递增区间 .
【答案】
【解析】注意定义域
2、如果函数在区间上是减函数，则的取值范围是
【答案】
【解析】由题意得
3、若函数在上单调递减，求实数的取值范围。
【答案】
【解析】讨论当时满足题意，当，当时不满足题意舍
所以综上
4.已知是上的减函数，那么的取值范围是
【答案】
【解析】由题意得
5、已知函数,满足对任意,都有成立,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】该形式为单调递减的等价形式，所以得
6、已知在定义域上是减函数，且，求的取值范围．
【答案】
【解析】，解得．
7、已知函数式定义在上的偶函数，且在上是增函数，且，求满足的的取值范围。
【答案】
【解析】根据偶函数的性质及单调性得
8、已知是定义在上的奇函数，且它在区间上单调递减，且，求实数的取值范围。
【答案】
【解析】
由，得，因为是上的奇函数
所以时，有
，又在上是减函数，且是上的奇函数
在上仍是减函数，于是得
9、 “求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察
函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解
．仿照此解法可得到不等式：的解是 ．
【答案】
【解析】，即，构造函数可知在上递增，即，解得或
10、已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围
是 。
【答案】
【解析】由题意得，解得
11、已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，并且，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
∵在上是奇函数，奇函数在对称区间的增减性相同
∴在上是减函数
由，得
∴ ，即
解得，的取值范围是
12、下列命题中正确的命题是………………（ ）
（A）若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
（B）若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
（C）函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；
（D）若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数。
【答案】D
【解析】考察单调性的定义，D为单调递增的等价形式
13、“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】可得出函数在区间上为增函数，函数在区间上为增函数得出所以
14、定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的值的集合
【答案】
【解析】
∴，
又是定义在上的减函数，
∴ 即
15、已知偶函数在上是增函数，求不等式的解集。
【答案】
【解析】解不等式即得
16、已知二次函数。
（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，，不合题意；
当时，在上不可能单调递增；当时，图像对称轴为，
由条件得，得
（2）设，
当时，，
因为不等式在上恒成立，所以在时的最小值大于或等于2，
所以或
解得。
17．（1）已知：，求函数的单调区间和值域；
（2），函数，判断函数的单调性并予以证明；
（3）当时，上述（1）、（2）小题中的函数，，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围．21世纪教育网版权所有
【解答】（1）设，则．
任取，，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
由得的值域为．
（2）设，则，所以单调递减．
（3）由的值域为：，所以满足题设仅需，解得．
18．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为. www.21-cn-jy.com
(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；
(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，
求证：；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
【解答】(Ⅰ)且即在上是增函数，而在不是增函数，当是增函数时，不是增函数时，，综上 .2·1·c·n·j·y
(Ⅱ) 且，则
，同理，则有
，，又，
而，，.
(Ⅲ)
对任意,存在常数，使得，对成立.先证明对成立，假设存在，使得，记.
是二阶比增函数，即是增函数，时，，，
一定可以找到一个，使得，这与对，矛盾.
对成立. 即任意，对成立.
下面证明在上无解:假设存在，使得，一定存在，
，这与上面证明的结果矛盾，在上无解.
综上，对任意，对成立，存在，任意，
有成立，.
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【小结论回顾】
1、函数为奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称；
2、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域是否关于原点对称，有时还要对函数进行化简整理，但必须注意不能改变函数的定义域；21·世纪*教育网
3、偶函数的图像关于轴对称对称；奇函数的图像关于原点对称；
4、函数包括奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数四类；
5、分段函数的奇偶性要分段讨论；奇偶性的等价形式：
x
L
N
M
O
F
E
D
C
B
A
y
x
0
y
1
2
3
y=f(x)
y=g(x)
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