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第11讲-函数的对称性与周期性（解析版）
学习目标： 1.理解函数的周期性和对称性的含义；2.了解函数周期性和对称性的常见结论；3.会运用函数的周期性和对称性处理各类函数问题。
教学内容
1.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．21教育网
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当0
0；当20.21·cn·jy·com
综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
2．函数f(x)＝(x＋1)是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
答案 非奇非偶
解析 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)不关于原点对称．
故f(x)为非奇非偶函数．
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知识点一：函数的周期性
知识梳理
1、周期函数的定义
一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。【来源：21cnj*y.co*m】
显然，若T是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。【出处：21教育名师】
说明：周期函数不一定都有最小正周期。
2、关于函数周期性的一些常见结论
1.若，则是周期函数，是它的一个周期；
2.的周期为的周期为；
3.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.
4.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.
5.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.
6. 对于非零常数，若函数满足，则的一个周期为.
若函数满足，则的一个周期为.
若函数满足，则的一个周期为.
若函数满足，则的一个周期为.
7. 对于非零常数，若函数满足，则的一个周期为.
例题精讲
题型一：利用周期性求函数值
例1.已知定义在R上的奇函数满足，则的值为 ( )
A、－1 B、0 C、1 D、2【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】B
解析：因为f（x+2）=－f（x），所以f（x+4）=－f（x+2）=f（x），得出周期是4，即f（6）=f（2）=f（－2）【版权所有：21教育】
又因为函数是奇函数，f（2）=f（－2）=－f（2），所以f（2）=0，即f（6）=0.
例2.已知奇函数满足的值为 .
【答案】
【解析】
题型二：利用周期性求解析式
例3.设奇函数的定义域为，且，当时，，求在上的表达式.
【答案】
解析：由，可得原函数的周期为4，再结合奇偶性，可把自变量的范围转化到（4,6）上，再结合奇偶性，可得所求解析式为。
题型三：类周期函数
例4：已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f 等于( )
A. B. C．1 D.
答案 C
解析 因为f(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期为2π.
所以f ＝f ＝f ＝f ，
又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，
所以f ＝2sin ＝1.
例5：已知定义在R上的函数f(x)满足f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 020)等于( )
A．5 B. C．2 D．－5
答案 D
解析 ∵f(x)＝－f(x＋2)，
∴f(x)的周期为4，f(2 020)＝f(0)＝－f(2)＝－(22＋log22)＝－5.
巩固练习
1、已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1故实数a的取值范围是(1,3]．
2、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.21cnjy.com
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解析：(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
3、设定义在R上的函数f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.
答案 2 696
解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴T＝3，
又x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，
∴f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝1＋2＋1＝4，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)
＝674×4＝2 696.
知识点二：函数的对称性
知识梳理
一、对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念
①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一 ( http: / / www.21cnjy.com )个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）
⑴常数函数;⑵一次函数;⑶二次函数;⑷反比例函数;⑸幂函数;⑹正弦函数;⑺余弦函数;⑻正切函数;⑼正弦型函数;⑽耐克函数;⑾绝对值函数：这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没
有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称。⑿形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。
二、抽象函数的对称性
【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】
1、函数图象本身的对称性（自对称问题）
（1）轴对称
①的图象关于直线对称
② 的图象关于直线对称.
特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.
（2）中心对称
①的图象关于点对称
。
② 的图象关于点对称.
特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.
2、两个函数图像的对称性（互对称问题）
（1）函数与图象关于直线对称。
（2）函数与图象关于直线对称
（3）函数与图象关于直线对称
（4）函数与图象关于直线对称即直线对称（注意不是 ）
（5）函数与图象关于轴对称。
（6）函数与图象关于轴对称。
（7）函数与图象关于直线成轴对称。
（8）函数与图象关于直线成轴对称。
（9）函数与的图像关于直线对称。
（10）函数与的图像关于直线对称。
（11）函数有反函数，则和的图像关于直线对称。
（12）函数与的图像关于点成中心对称。特别地，函数与图象关于原点对称。
例题精讲
例1.已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则 .
【答案】144
解析：由，得f（x）对称轴为x=2 ，故f（1）=f（3），当时，，所以f（1）=1+2+4+5=12，所以f（3）=12，故144。
例2.已知函数图象的对称中心是，则 .
【答案】3
解析：该函数的图像就是把f（x）=1/x的图像向右平移a+1个单位，再向上平移1个单位，
f（x）=1/x的图像对称中心是（0,0），所以此函数对称中心是（a+1,1）也就是（4,1），所以a+1=4，a=3。www.21-cn-jy.com
例3.已知函数，则该函数的对称轴方程为 .
【答案】x=1
解析：此题较简单，首先化简函数，然后根据f（x）=f（-x+2），即可得出答案x=1
例4.已知函数，函数与的图像关于轴对称，求函数在区间上的最值.
【答案】最大值为15，最小值为9.
【解析】由题意，由此可以得出在区间上单调递减，故最大值为，最小值为.
例5. 设，函数的图像与函数的图像关于点对称．求函数的解析式．
【答案】
【解析】设点是函数图像上任意一点，关于点对称的点为，则，，于是，，因为在函数的图像上，所以，即，，所以（或）．2·1·c·n·j·y
巩固练习
1、已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论不正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案 B
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
2、已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )21世纪教育网版权所有
A．f(π)B．f(π)C．f()D．f()答案 C
解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(3)＝f(1)，f(π)＝f(4－π)．
∵0<4－π<1<，
当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，
∴f(4－π)>f(1)>f()，
∴f()3、已知函数f(x)的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈[0,4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.www-2-1-cnjy-com
答案 4
解析 ∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，
∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
知识点三：函数的周期性和对称性综合
知识梳理
1、常见周期函数的函数方程：
（1）函数值之和定值型，即函数
对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是
特例：，则是以为周期的周期函数；
（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型
若，则得，所以函数的周期是
（3）分式型，即函数满足
由得，进而得
，由前面的结论得的周期是
特例：
，则是以为周期的周期函数.
，则是以为周期的周期函数.
，则是以为周期的周期函数.
2、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性
具有多重对称性的函数必具有周 ( http: / / www.21cnjy.com )期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。21*cnjy*com
相关结论如下：
结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、，即，且，那么是周期函数，其中一个周期
结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，即和，那么是周期函数，其中一个周期
结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期
下面给出结论3的证明：
证明：
推论1：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期
推论2：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期
推论3：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期
推论4：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期
例题精讲
例1.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程=0在闭区间［-2020，2020］上的根的个数，并证明你的结论．
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）808个
【解析】由，得函数的对称轴为,
从而知函数不是奇函数,
由
,从而知函数的周期为
又,故函数是非奇非偶函数;
(II)由
例2.若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.
①求的周期；
②证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称, ;
③讨论在上的单调性；
【解析】①由已知，故周期.
②设是图象上任意一点,则,且关于点对称的点为.P关于直线对称的点为
∵,∴点在图象上,图象关于点对称.
又是奇函数,
∴
∴点在图象上,图象关于直线对称.
③设，则，
∵在上递增, ∴……(*)
又 ∴, .
所以： ，在上是减函数.
例3.若定义在实数集上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间内的所有实根之和为________． 21·世纪*教育网
【答案】
【解析】易知数为周期函数，且周期为4，则由对称关系知：
例4. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数、，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”；21教育名师原创作品
（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”；
（3）若、都是函数的“伴随数对”，当时，；
当时，，求当时，函数的解析式和零点；
【解析】（1）由及得，……1分
即对于任意的实数均成立……2分
需满足条件，……3分解得，故，存在，
所以.……4分
（2）由得，……5分
所以
（其中为辅助角）……6分
上式对任意的R都成立，只有
即，由于（当且仅当时，等号成立）
所以，又因为，故 ……7分
其中时，， ，；……8分
时，，，。……9分
故函数的“伴随数对”为和，……10分
（3）因为和都是函数的“伴随数对”，
所以且，于是
故函数是以为周期的函数……12分
若，则，此时；
当，则，此时；
当，则，此时
所以……14分，故…16分，
当时，函数的零点分别为……18分.
巩固练习
1.已知函数是以为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为______________________.2-1-c-n-j-y
【答案】
【解析】
，且值域为，所以的反函数为
2.记函数的定义域为. 如果存在实数、使得对任意满足且的恒成立，则称为函数.
（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；
（2）设函数，其中常数，证明：是函数；
（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.
【解析】（1）是函数
理由如下：的定义域为，
只需证明存在实数，使得对任意恒成立.
由，得，即.
所以对任意恒成立. 即
从而存在，使对任意恒成立.
所以是函数.
（2）记的定义域为，只需证明存在实数，使得当且时，
恒成立，即恒成立.
所以，
化简得，.
所以,.因为，可得，,
即存在实数，满足条件，从而是函数.
（3）函数的图象关于直线（为常数）对称，
所以 （1），
又因为 （2）， 所以当时，
由（1 ）
由（2） （3）
所以
（取由（3）得）
再利用（3）式，.
所以为周期函数，其一个周期为.
当时，即，又，
所以为常数.
所以函数为常数函数，
，是一个周期函数.
综上，函数为周期函数。
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1.已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意，都有，当的时候，，在区间上的反函数为，则______. 21*cnjy*com
【答案】.
【解析】当时，；当时，根据偶函数的性质，；根据反函数相关性质，即，解得，所以.
2.若函数，则的值为______.
【答案】-1
【解析】
3.已知定义在上的奇函数满足，且当时，；若对于任意，都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】∵在R上是奇函数，
∴周期为4，图像如图所示，
∴对于任意，
分离参数得，恒成立
∴，
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4.设函数的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数T为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
① 如果“似周期函数”的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；
② 函数是“似周期函数”；
③ 函数是“似周期函数”；
④ 如果函数是“似周期函数”，那么“”．
其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）
【答案】①③④.
【解析】命题①：由题意得，，所以，所以周期为2，成立；
命题②：得不到定值，命题不成立
命题③：，作函数和函数的图像会发现有交
点，即有解，所以函数是“似周期函数”，命题成立；
命题④：，即对任意恒成立，所以。当时，则；当时，则.综上，，，命题成立.
5. 定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.
（1）若函数，求实数和的值；
（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；
（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.
【答案】（1）由得，对恒成立，
即对恒成立，则，
即.
（2）当时，，
当时，即，
由得，则，
当时，即，
由得，则，
当时，即，
由得，
综上得函数在闭区间上的值域为.
（3）（证法一）由函数的值域为得，的取值集合也为，
当时，，则，即.
由得，
则函数是以为周期的函数.
当时，，则，即.
即，则函数是以为周期的函数.
故满足条件的函数为周期函数.
（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，
当时，对，有，
对，有，则不可能；
当时，即，，
由的值域为得，必存在，使得，
仿上证法同样得也不可能，则必有 ，以下同证法一.
6. 已知函数定义域为，对于任意恒有；
（1）若，求的值；
（2）若时，，求函数的解析式及值域；
（3）若时，，求在区间上的最大值与最小值.
【答案】1）且
2）
时，，
时，，
时，，
得：，
值域为
3）
当时，得：当时，
当时，，
当，为奇数时，
当，为偶数时，
综上：时，在上最大值为0，最小值为 ；
，为偶数时，在上最大值为，最小值为；
，为奇数时，在上最大值为，最小值为.
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第11讲-函数的对称性与周期性（原卷版）
学习目标： 1.理解函数的周期性和对称性的含义；2.了解函数周期性和对称性的常见结论；3.会运用函数的周期性和对称性处理各类函数问题。
教学内容
1.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．21cnjy.com
2．函数f(x)＝(x＋1)是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
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知识点一：函数的周期性
知识梳理
1、周期函数的定义
一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。21·cn·jy·com
显然，若T是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。www.21-cn-jy.com
说明：周期函数不一定都有最小正周期。
2、关于函数周期性的一些常见结论
1.若，则是周期函数，是它的一个周期；
2.的周期为的周期为；
3.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.
4.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.
5.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.
6. 对于非零常数，若函数满足，则的一个周期为.
若函数满足，则的一个周期为.
若函数满足，则的一个周期为.
若函数满足，则的一个周期为.
7. 对于非零常数，若函数满足，则的一个周期为.
例题精讲
题型一：利用周期性求函数值
例1.已知定义在R上的奇函数满足，则的值为 ( )
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例2.已知奇函数满足的值为 .
题型二：利用周期性求解析式
例3.设奇函数的定义域为，且，当时，，求在上的表达式.
题型三：类周期函数
例4：已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f 等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
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例5：已知定义在R上的函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 020)等于( )21*cnjy*com
A．5 B. C．2 D．－5
巩固练习
1、已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
2、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.21世纪教育网版权所有
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
3、设定义在R上的函数f(x)满足f(x ( http: / / www.21cnjy.com )＋3)＝f(x)，且当x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.2·1·c·n·j·y
知识点二：函数的对称性
知识梳理
一、对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念
①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 【版权所有：21教育】
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个 ( http: / / www.21cnjy.com )点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）
⑴常数函数;⑵一次函数;⑶二次函数;⑷反比例函数;⑸幂函数;⑹正弦函数;⑺余弦函数;⑻正切函数;⑼正弦型函数;⑽耐克函数;⑾绝对值函数：这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没
有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称。⑿形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。
二、抽象函数的对称性
【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】21教育名师原创作品
1、函数图象本身的对称性（自对称问题）
（1）轴对称
①的图象关于直线对称
② 的图象关于直线对称.
特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.
（2）中心对称
①的图象关于点对称
。
② 的图象关于点对称.
特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.
2、两个函数图像的对称性（互对称问题）
（1）函数与图象关于直线对称。
（2）函数与图象关于直线对称
（3）函数与图象关于直线对称
（4）函数与图象关于直线对称即直线对称（注意不是 ）
（5）函数与图象关于轴对称。
（6）函数与图象关于轴对称。
（7）函数与图象关于直线成轴对称。
（8）函数与图象关于直线成轴对称。
（9）函数与的图像关于直线对称。
（10）函数与的图像关于直线对称。
（11）函数有反函数，则和的图像关于直线对称。
（12）函数与的图像关于点成中心对称。特别地，函数与图象关于原点对称。
例题精讲
例1.已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则 .
例2.已知函数图象的对称中心是，则 .
例3.已知函数，则该函数的对称轴方程为 .
例4.已知函数，函数与的图像关于轴对称，求函数在区间上的最值.
例5. 设，函数的图像与函数的图像关于点对称．求函数的解析式．
巩固练习
1、已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论不正确的是( )21教育网
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
2、已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．f(π)B．f(π)C．f()D．f()3、已知函数f(x)的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈[0,4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.【出处：21教育名师】
知识点三：函数的周期性和对称性综合
知识梳理
1、常见周期函数的函数方程：
（1）函数值之和定值型，即函数
对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是
特例：，则是以为周期的周期函数；
（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型
若，则得，所以函数的周期是
（3）分式型，即函数满足
由得，进而得
，由前面的结论得的周期是
特例：
，则是以为周期的周期函数.
，则是以为周期的周期函数.
，则是以为周期的周期函数.
2、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性
具有多重对称性的函数必具有周期性。 ( http: / / www.21cnjy.com )即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。
相关结论如下：
结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、，即，且，那么是周期函数，其中一个周期
结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，即和，那么是周期函数，其中一个周期
结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期
下面给出结论3的证明：
证明：
推论1：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期
推论2：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期
推论3：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期
推论4：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期
例题精讲
例1.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程=0在闭区间［-2020，2020］上的根的个数，并证明你的结论．
例2.若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.
①求的周期；
②证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称, ;
③讨论在上的单调性；
例3.若定义在实数集上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间内的所有实根之和为________． www-2-1-cnjy-com
例4. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数、，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”；2-1-c-n-j-y
（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”；
（3）若、都是函数的“伴随数对”，当时，；
当时，，求当时，函数的解析式和零点；
巩固练习
1.已知函数是以为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为______________________.21*cnjy*com
2.记函数的定义域为. 如果存在实数、使得对任意满足且的恒成立，则称为函数.
（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；
（2）设函数，其中常数，证明：是函数；
（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.
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1.已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意，都有，当的时候，，在区间上的反函数为，则______.
2.若函数，则的值为______.
3.已知定义在上的奇函数满足，且当时，；若对于任意，都有，则实数的取值范围是______.
4.设函数的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数T为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
① 如果“似周期函数”的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；
② 函数是“似周期函数”；
③ 函数是“似周期函数”；
④ 如果函数是“似周期函数”，那么“”．
其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）
5. 定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.
（1）若函数，求实数和的值；
（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；
（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.
6. 已知函数定义域为，对于任意恒有；
（1）若，求的值；
（2）若时，，求函数的解析式及值域；
（3）若时，，求在区间上的最大值与最小值.
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笔耕不辍
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