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第12讲-函数图像变换与数形结合（原卷版）
学习目标： 掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题．
教学内容
1．下列图象是函数y＝的图象的是( )
2．在2 h内将某种药物注 ( http: / / www.21cnjy.com )射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )21教育网
3.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2
4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
5．将函数f(x)＝2x＋3的图象向右平移3个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝________.21·世纪*教育网
6．定义在上的函数满足，则的值为____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
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知识点一：函数图象变换
知识梳理
1．函数图象的变换
图像变换要掌握好几种图象变换，主要是平移和对称。有时为了看出变换方法，应先将函数表达式变形，转换成标准函数。www-2-1-cnjy-com
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．
②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．
(2)对称变换
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。
Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；
(3)伸缩变换
①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a＜1时)到原来的a倍，横坐标不变．21·cn·jy·com
②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)或缩(a＞1时)到原来的倍，纵坐标不变．2-1-c-n-j-y
(4)翻折变换
①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；21*cnjy*com
②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．【来源：21cnj*y.co*m】
2．辨识函数图象的两种方法
(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象；
(2)利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反；【出处：21教育名师】
④从函数的周期性，判断图象的循环往复；
⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．
灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象．
例题精讲
（一）基本函数图像及应用
【例1】
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
【例2】 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为_________. 【版权所有：21教育】
【例3】已知函数．
（Ⅰ）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数的图像；
（Ⅱ）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）关于的方程（）恰有6个不同的实数解，求的取值范围．
【例4】若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为 .
巩固练习
1、已知函数 若函数 恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
【】
【】
【】
【】
2、若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
3、作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|x2－4x＋3|.
例题精讲
（二）复合函数方程求根问题
【例1】设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是_________．
【例2】已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
【例3】已知函数f(x)＝试讨论方程f(x)－a＝0的根的个数情况．
巩固练习
1、已知函数，则方程(R)的实数根个数不可能为( )．
【A】个
【B】个
【C】个
【D】个
2、若直角坐标系内A，B两点满足：
(1)点A，B都在f(x)图象 ( http: / / www.21cnjy.com )上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3、已知函数f(x)＝
(1)若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________；
(2)若存在x∈R，使|f(x)|≤k，则实数k的取值范围是________．
例题精讲
（三）函数图像综合
【例1】已知函数满足：①对任意，恒有成立；②当时，．若，则满足条件的最小的正实数是 ．21cnjy.com
【例2】已知与是个不同的实数，若方程
的解集是有限集，
则集合中最多有 个元素．
巩固练习
1、已知函数若对于正数（），直线与函数的图像恰有个不同交点，则_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
1、若关于x的不等式2－x2＞|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．
2、若是定义在上的奇函数，且对任意的实数，总有正常数，使得成立，则称具有“性质”，已知函数具有“性质”，且在上，；若当时，函数恰有8个零点，则实数___．www.21-cn-jy.com
3、如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．21教育名师原创作品
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值；
（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．
4、已知函数g(x)＝－|x－1|， ( http: / / www.21cnjy.com )h(x)＝cos πx，当x∈(－2,4)时，函数g(x)与h(x)的交点横坐标分别记为xi(i＝1,2，…，n)，则xi等于( )21世纪教育网版权所有
A．5 B．6 C．7 D．8
5.如图，函数y＝f(x)的图象由曲线段OA和直线段AB构成．
(1)写出函数y＝f(x)的一个解析式；
(2)提出一个能满足函数y＝f(x)的图象变化规律的实际问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第12讲-函数图像变换与数形结合（解析版）
学习目标： 掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题．
教学内容
1．下列图象是函数y＝的图象的是( )
答案 C
解析 其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．
2．在2 h内将某种药物注射进患者的 ( http: / / www.21cnjy.com )血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )【来源：21·世纪·教育·网】
答案 B
解析 依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合．
3.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2答案 1
解析 由图象可知不等式－24．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)等于( )21*cnjy*com
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
答案 D
解析 依题意f(x)的图象可由y＝ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度得到．
∴y＝ex
y＝e－xy＝e－(x＋1)＝e－x－1，
∴f(x)＝e－x－1.
5．将函数f(x)＝2x＋3的图象向右平移3个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝________.2·1·c·n·j·y
答案 2x－3
解析 g(x)＝2(x－3)＋3＝2x－3.
6．定义在上的函数满足，则的值为____．
【答案】1
【详解】:由已知得，，，
，，，
，，．
所以函数的值以为周期重复性出现，所以．
( http: / / www.21cnjy.com / )
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知识点一：函数图象变换
知识梳理
1．函数图象的变换
图像变换要掌握好几种图象变换，主要是平移和对称。有时为了看出变换方法，应先将函数表达式变形，转换成标准函数。
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．
②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．
(2)对称变换
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。
Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；
(3)伸缩变换
①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a＜1时)到原来的a倍，横坐标不变．21·cn·jy·com
②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)或缩(a＞1时)到原来的倍，纵坐标不变．21cnjy.com
(4)翻折变换
①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；
②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．
2．辨识函数图象的两种方法
(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象；
(2)利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复；
⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．
灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象．
例题精讲
（一）基本函数图像及应用
【例1】
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
解 (1)将y＝2x的图象向左平 ( http: / / www.21cnjy.com )移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．
(2)首先作出y＝lg x的图象，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分)．
(3)y＝x2－|x|－2＝函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．
【例2】 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】当时，.
当时，
（1）若，则在上是单调递增函数，
所以.若满足题目要求，则，
所以.又，所以.
（2）若，则，在上是单调递增函数，此时；在上是单调递减函数，此时.若满足题目要求，则，又，所以.21*cnjy*com
综上，.
【例3】已知函数．
（Ⅰ）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数的图像；
（Ⅱ）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）关于的方程（）恰有6个不同的实数解，求的取值范围．
【答案】（1）解：
是偶函数
在区间和上单调递增，在区间和上单调递减…3分
的最大值是，无最小值，值域为…（说明：在端点和处可开可闭，在处必须是开的，两个区间可以用“和”连接，但不能用“”连接；写对值域给分）
（作图如下：）
（2）因为关于的不等式恒成立，令，则
（3）即不等式上恒成立
当时，
又
（3）关于的方程（）恰有6个不同的实数解即有6个不同的解，数形结合可知必有和，
令，则关于的方程有一根为2，另一根在间…15分
【例4】若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】曲线化简得，，图像如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
当时，恒有两个交点；
当时，则经过临界点时，恰有个交点；
综上：则
巩固练习
1、已知函数 若函数 恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
【】
【】
【】
【】
【答案】B
【解析】
当时恒有两个交点，当时，过点时，，故
2、若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】令根据两函数的图像可知要想要函数有3个零点，即有三个交点，如下图
( http: / / www.21cnjy.com / )
找到相切的解即那么想要有三个交点即.
3、作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|x2－4x＋3|.
解 (1)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．【版权所有：21教育】
(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．
例题精讲
（二）复合函数方程求根问题
【例1】设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是_________．
【答案】b<0，且c＝0.
【解析】： ( http: / / www.21cnjy.com / )，其图像如图所示，的图像关于对称，且．因为满足方程①，则，又也满足方程①，所以．所以b<0，且c＝0.
【例2】已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
答案 5
解析 方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.
作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
【例3】已知函数f(x)＝试讨论方程f(x)－a＝0的根的个数情况．
解 作出f(x)的图象如图．
方程f(x)－a＝0的根的个数，
即为函数y＝f(x)与y＝a的交点个数，
由图知，
当a>4时，方程无实数根，
当a＝4或a≤0时方程有1个实数根，
当1当0巩固练习
1、已知函数，则方程(R)的实数根个数不可能为( )．
【A】个
【B】个
【C】个
【D】个
【答案】A
【解析】依题意得，作出函数的图像，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
1、当时，或或或，则当时，或或或，解得共有个解；
2、当时，有个交点，则有个解
3、当时，有个交点，则有个解，所以选A
2、若直角坐标系内A，B两点满足：
(1)点A，B都在f(x)图象上；(2) ( http: / / www.21cnjy.com )点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
解析 作出函数y＝x2＋2x(x ( http: / / www.21cnjy.com )<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．
3、已知函数f(x)＝
(1)若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________；
(2)若存在x∈R，使|f(x)|≤k，则实数k的取值范围是________．
答案 (1)∪ (2)[0，＋∞)
解析 (1)对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|.
f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝的图象可知，
当x＝时，函数f(x)max＝，
故|k－1|≥，解得k≤或k≥.
(2)|f(x)|的图象如图所示且
|f(x)|∈[0，＋∞)，
因为存在x∈R，使|f(x)|≤k，
所以k的取值范围是[0，＋∞)．
例题精讲
（三）函数图像综合
【例1】已知函数满足：①对任意，恒有成立；②当时，．若，则满足条件的最小的正实数是 ．21世纪教育网版权所有
【答案】36
【解析】
时，，
时，，
……
时，，
显然，，必须最小，，，，∴
【例2】（2019一模长宁嘉定12）已知与是个不同的实数，若方程
的解集是有限集，
则集合中最多有 个元素．
【答案】3
【解析】设，，
对函数和去绝对值：
①当，则；
②当，则；
③当，则；
④当，则；
同理可得，函数也可以类同这样的讨论，
我们发现，两个函数有组平行线，根据和
图像的交点。由此类尖锥函数的图像可知，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
最多可有个交点，即集合中最多有个元素。
巩固练习
1、已知函数若对于正数（），直线与函数的图像恰有个不同交点，则_____．
【答案】
【解析】与从左往右数的第个半椭圆弧相切
( http: / / www.21cnjy.com / )
1、若关于x的不等式2－x2＞|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 在同一坐标系中画出函数f(x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|的图象，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
若a≤0，则其临界情况为折线 ( http: / / www.21cnjy.com )g(x)＝|x－a|与抛物线f(x)＝2－x2相切．由2－x2＝x－a可得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4(a＋2)＝0，解得a＝－；若a＞0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时a＝2.结合图象可知，实数a的取值范围是.21教育网
2、若是定义在上的奇函数，且对任意的实数，总有正常数，使得成立，则称具有“性质”，已知函数具有“性质”，且在上，；若当时，函数恰有8个零点，则实数___．www.21-cn-jy.com
【答案】
【解析】“”表示函数图象向右平移个单位后，再向上平移个单位
，由于是上的奇函数，∴可得
零点个数问题转化为函数与的交点问题，
要有8个交点，
表示的图象与相切
3、如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．21·世纪*教育网
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值；
（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．
【答案】见解析
【解析】（1）由得，根据诱导公式得．
具有“性质”，其中．………4分
（2）具有“性质”，．
设，则，
……………………6分
当时，在递增，时
当时，在上递减，在上递增，且，时
当时，在上递减，在上递增，且，时
综上所述：当时，；当时，
………………………………11分
（3）具有“性质”，，，
，从而得到是以2为周期的函数．
又设，则，
．
再设（），
当（），则，
；
当（），则，；
对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．
①当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得
②当时，同理可得
③当时，不合题意．
综上所述…………………………18分
4、已知函数g(x)＝－|x－1|，h ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝cos πx，当x∈(－2,4)时，函数g(x)与h(x)的交点横坐标分别记为xi(i＝1,2，…，n)，则xi等于( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 易知g(x)＝－|x－1|的图象关于直线x＝1对称，h(x)＝cos πx的图象关于直线x＝1对称．作出两个函数的图象，如图所示．【出处：21教育名师】
根据图象知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x＝1，另外6个交点关于直线x＝1对称，因此xi＝3×2＋1＝7.2-1-c-n-j-y
5.如图，函数y＝f(x)的图象由曲线段OA和直线段AB构成．
(1)写出函数y＝f(x)的一个解析式；
(2)提出一个能满足函数y＝f(x)的图象变化规律的实际问题．
解 (1)当0≤x≤2时，曲线段OA类似指数函数y＝2x，由O(0,0)，A(2,3)可知f(x)＝2x－1，
当2得解得
此时y＝－x＋5，
所以f(x)＝
(2)答案不唯一，合理即可．
离上课时间还有5分钟时，小明用了2分钟急速跑(先慢后快)到距离教室3百米的操场找小华来上课，然后两个人用了3分钟时间匀速走到教室．
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