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第13讲-恒成立、存在性问题（原卷版）
学习目标： 掌握数形结合、分离变量两种常见的方法，会将难题进行等价划归
教学内容
1．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 ．
2．函数与的图象有个交点，其坐标依次为，，，，，，，则 ．
3．已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数的取值范围是 ．
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知识点一：简单分离变量型
知识梳理
1.若不等式在区间上恒成立,则等价于:在区间上, 函数
2.若不等式在区间上恒成立,则等价于:在区间上, 函数
例题精讲
例1. 设函数．
（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；
（2）对于，，恒成立，求的取值范围．
例2. 设函数，对任意，，恒成立，则实数的取
值范围是 ．
例3. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称
是上的有界函数，其中称为函数的上界．举例：，，，则对任意，
，根据上述定义，在，上为有界函数，上界可取3，5等等．
已知函数，．
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）求函数在，上的上界的取值范围；
（3）若函数在，上是以3为上界的函数，求实数的取值范围．
巩固练习
1.已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两
个实根、称为的特征根．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）把函数，，的最大值记作、最小值记作，
令，若恒成立，求的取值范围．
知识点二：简单数形结合型
知识梳理
1、对任意的恒成立的图像恒在的上方
2、给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图象（线段）可得上述结论等价于
ⅰ），或 ⅱ） 可合并定成
3、对于二次函数在实数集上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 恒成立；恒成立.
例题精讲
例1. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
例2. 设，，，，若，则实
数的取值范围是 ．
例3. 设，若时，均有，则 ．
例4.已知：当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则 ．
巩固练习
1.若对定义域内任意，都有为正常数），则称函数为“距”增函数．若，是“距”增函数，则的取值范围是 ．2·1·c·n·j·y
2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为 ．
知识点三：多自变量型：分离变量、数形结合
知识梳理
对函数和，定义域分别为和，对任意/存在，对任意/存在，，等价于：
例题精讲
例1. 已知函数，，若对任意，，总存在，，使得，则实数的取值范围是 ．
例2.已知函数，，，若对定义域内任意实数，，，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．21世纪教育网版权所有
例3.当和取遍所有实数时，，恒成立，则的最大值为 ．
例4.不等式对满足的任意实数，恒成立，则实数的最大值是 ．
例5.已知函数，若对于任意的正整数，在区间，上存在个实数、、、，使得成立，则的最大值为 ．21·cn·jy·com
巩固练习
1. 设，，，若对任意的正实数，，都存在以，，为三边长的三角形，则实数的取值范围是 ．www.21-cn-jy.com
2.已知函数和函数，其中为参数，且满足．若对任意，，存在，，使得成立，则实数的取值范围为 ．21·世纪*教育网
知识点四：等价划归型
例题精讲
例1. 已知是偶函数，且在，上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
例2.若定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点，与点，都关于点，对称，则称是关于的“对称函数”．已知，，是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 ．
例3.已知函数，，若实数同时满足下列条件：
①对，或；
②，使得．
则实数的取值范围是 ．
例4.已知函数，若对此任意，都有恒成立，则实数的取值范围为 ．
巩固练习
1.已知函数，若对于任意的，函数总有两个不同的零点，则的取值范围是 ．
2.设函数，，已知对于任意的，，对于任意、，满足：，，，都有，则正实数的最大值是 ．21cnjy.com
知识点五：存在性问题
知识梳理
1、不等式有解问题
若不等式在区间上有解,则等价于:在区间上, 函数
若不等式在区间上有解,则等价于:在区间上, 函数
2、等式有解与函数零点问题：转化为函数有交点的问题
如：有解 图像有交点；
有两个零点 图像有交点。
例题精讲
例1. 已知，函数．若存在，使得，则实数的最大值是 ．
例2. 已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且．
（1）求函数和的解析式；
（2）若存在，使得等式成立，求实数的取值范围．
例3.若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是 ．
巩固练习
1. 已知函数，若存在实数满足，则实数的取值范围是 ．
2.已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）在（1）的条件下，若存在，使，求的取值范围．
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1、 填空题
1． 已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是 ．21教育网
2． 设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．若对一切成立，则的取值范围为 ．
3．已知，函数的图象的两个端点分别为、，设是函数图象上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是 ．
4．已知对任意的，，，，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
5．设函数在区间，上的最大值为，若，则实数的最大值为 ．
2、 选择题
6．，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为
A．， B． C． D．
7．若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”，设，若对于任意，，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是 【来源：21·世纪·教育·网】
A．， B．， C．， D．，
8．设函数，，其中，若对任意的，，和至少有一个为非负值，则实数的最大值是
A．1 B． C．2 D．
3、 简答题
9．已知函数和函数．
（1）若方程在，上有两个不同的解，求实数的取值范围；
（2）若对任意，，均存在，，使得成立，求实数的取值范围．
10．定义符号函数，已知，，．
（1）求（2）（1）关于的表达式，并求（2）（1）的最小值．
（2）当时，函数在上有唯一零点，求的取值范围．
（3）已知存在，使得对任意的，恒成立，求的取值范围．
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笔耕不辍
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第13讲-恒成立、存在性问题（解析版）
学习目标： 掌握数形结合、分离变量两种常见的方法，会将难题进行等价划归
教学内容
1．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数关于轴对称的函数为，
由题意，函数与函数在上有交点，即在上有解，
而函数为减函数，且其在，上的最大值为；函数为增函数，
令，解得，故只需即可．
2．函数与的图象有个交点，其坐标依次为，，，，，，，则 ．
【答案】4
【解析】，，
两个函数对称中心均 为；
画图可知共有四个交点，
且关于对称，
故．
故答案为：4
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3．已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】，
当或时，
，
当时，
，
画出函数图象如图：
与函数的图象有且只有一个交点，
可得的范围为或或，
故答案为：或．
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知识点一：简单分离变量型
知识梳理
1.若不等式在区间上恒成立,则等价于:在区间上, 函数
2.若不等式在区间上恒成立,则等价于:在区间上, 函数
例题精讲
例1. 设函数．
（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；
（2）对于，，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意，对任意实数恒成立，
若，显然成立；
若，则，解得．
所以．
（2）由题意，，即
因为对一切实数恒成立，所以在，上恒成立．
因为函数在，上的最大值为1，所以只需即可．
所以的取值范围是．
例2. 设函数，对任意，，恒成立，则实数的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】依据题意得在，上恒定成立，
即在，上恒成立．
当时，函数取得最小值，
，即，
解得或，
故答案为：．
例3. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称
是上的有界函数，其中称为函数的上界．举例：，，，则对任意，
，根据上述定义，在，上为有界函数，上界可取3，5等等．
已知函数，．
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）求函数在，上的上界的取值范围；
（3）若函数在，上是以3为上界的函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）不是（2）（3）
【解析】（1）当时，，
设，，，
，值域为，
不存在正数，使时，成立，
即函数在上不是有界函数．
（2）设，，，
在，上是减函数，值域为，，
要使恒成立，即：；
（3）由已知，时，不等式恒成立，即：，
设，，，不等式化为，
当即：时，且，得：；
当或即：或时，，得或，
综上，．
巩固练习
1.已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两
个实根、称为的特征根．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）把函数，，的最大值记作、最小值记作，
令，若恒成立，求的取值范围．
【答案】详见解析
【解析】（1）当时，，此时，函数为奇函数，
当时，函数为非奇非偶函数．
（2）证明是增函数
，
，
，，
则，
，，
即，
，，
即，
即，
故函数在是递增的，
则恒成立，
，
，
．
知识点二：简单数形结合型
知识梳理
1、对任意的恒成立的图像恒在的上方
2、给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图象（线段）可得上述结论等价于
ⅰ），或 ⅱ） 可合并定成
3、对于二次函数在实数集上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 恒成立；恒成立.
例题精讲
例1. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】，
【解析】函数在区间上单调递增，
当时，，
若不等式恒成立，
则且
即，.
例2. 设，，，，若，则实
数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，，
，，，
，
解得，
实数的取值范围为．
例3. 设，若时，均有，则 ．
【答案】
【解析】（1）时，代入题中不等式明显不成立．
（2），构造函数，，它们都过定点．
考查函数：令，得，，
；
考查函数，时均有，
过点，，代入得：，
解之得：，或（舍去）．
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例4.已知：当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则 ．
【答案】
【解析】由题意可得，不等式，当且仅当时取等号，
即有，即．
则当时，不等式恒成立．恒在上方
可得，．
巩固练习
1.若对定义域内任意，都有为正常数），则称函数为“距”增函数．若，是“距”增函数，则的取值范围是 ．21教育网
【答案】
【解析】，
因为是“距”增函数，
所以恒成立，由，
所以．
2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为 ．
【答案】，
【解析】根据题意，当时，，
则当时，，且，
又由函数是定义在上的奇函数，其图象如图：
若，，必有，
解可得：，
即实数的取值范围为，.
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知识点三：多自变量型：分离变量、数形结合
知识梳理
对函数和，定义域分别为和，对任意/存在，对任意/存在，，等价于：
例题精讲
例1. 已知函数，，若对任意，，总存在，，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称
，时，的最小值为（1），最大值为，
可得值域为，
又，，，
为单调增函数，值域为，（2）
即，
，，，，使得，
例2.已知函数，，，若对定义域内任意实数，，，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．21cnjy.com
【答案】，
【解析】解：．
当时，函数在，上为增函数，函数的值域为，
对定义域内任意实数，，，不等式恒成立，
即，
；
当时，函数在，上的值域为，
对定义域内任意实数，，，不等式恒成立，
即，
；
当时，函数在，上的值域为，，
对定义域内任意实数，，，不等式恒成立，
即，
；
当时，函数在，上为减函数，函数的值域为
对定义域内任意实数，，，不等式恒成立，
即，
．
综上，正数的范围是：，．
例3.当和取遍所有实数时，，恒成立，则的最大值为 ．
【答案】8
【解析】，，
所表达的就是点到点的距离的平方
而是直线上的点
根据参数方程，令，，消去，得到
同样地，令，
消去，有 且，，
即点是第一象限圆上的点，
分别再令，，
即直线与第一象限圆且，之间的最小值，
根据圆上点到直线的距离公式，得到，
．故的最大值为8，
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例4.不等式对满足的任意实数，恒成立，则实数的最大值是 ．
【答案】
【解析】不等式对任意满足的实数、恒成立，
，
令，
，
当时，取得最小值，．实数的最大值为．
例5.已知函数，若对于任意的正整数，在区间，上存在个实数、、、，使得成立，则的最大值为 ．www.21-cn-jy.com
【答案】6
【解析】解：为正整数，，
在区间，上最大值为，最小值为，
，
的最大值为6．
巩固练习
1. 设，，，若对任意的正实数，，都存在以，，为三边长的三角形，则实数的取值范围是 ．2·1·c·n·j·y
【答案】
【解析】，
，，
三角形任意两边之和大于第三边，
，且，
解得，故实数的取值范围是，
2.已知函数和函数，其中为参数，且满足．若对任意，，存在，，使得成立，则实数的取值范围为 ．www-2-1-cnjy-com
【答案】，
【解析】，
由题意可得的值域应是的值域的子集．
①当时，在，上单调递减，在，上单调递增，故．
在，上单调递增，故（4）．
所以，即．
②当时，在，上单调递减，故（4），
在，上单调递减，，上单调递增，
故．所以，
解得，又，所以．
综上，的取值范围是，．
知识点四：等价划归型
例题精讲
例1. 已知是偶函数，且在，上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】是偶函数，且在上是增函数，
在上为减函数，
当时，，，
故（1），
若时，不等式恒成立，
则当时，恒成立，
，，
.
例2.若定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点，与点，都关于点，对称，则称是关于的“对称函数”．已知，，是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】，
【解析】，点， 与点，都关于点，对称，，恒成立，
，即恒成立，
作出和的图象，
若恒成立，
则在直线的上方，
即在直线的下方，
则直线的截距，且原点到直线的距离，
或（舍去）
即实数的取值范围是，，
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例3.已知函数，，若实数同时满足下列条件：
①对，或；
②，使得．
则实数的取值范围是 ．
【答案】，，
【解析】，当时，，
又，或
在时恒成立
所以二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧，
即，
解得；
又因为，．
而此时有．
，使成立，
由于，所以，使成立，
故满足，或
，
解第一个不等式组得，解第二个不等式组得．
综上可得的取值范围是：，，，
例4.已知函数，若对此任意，都有恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】，
【解析】当时，函数，，
不满足对任意，恒成立，
当时，
，
解得，
当时，，
不满足对任意，恒成立，
综上可得：．
巩固练习
1.已知函数，若对于任意的，函数总有两个不同的零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
总有两个不同的零点，
△恒成立．
令，．
只需要△即．
故答案为：．
2.设函数，，已知对于任意的，，对于任意、，满足：，，，都有，则正实数的最大值是 ．21世纪教育网版权所有
【答案】
【解析】的对称轴，
，，，都有，
故题设条件等价于任意的，，都有
即对于任意的，，都有
的最小值
当且仅当即时取等号
知识点五：存在性问题
知识梳理
1、不等式有解问题
若不等式在区间上有解,则等价于:在区间上, 函数
若不等式在区间上有解,则等价于:在区间上, 函数
2、等式有解与函数零点问题：转化为函数有交点的问题
如：有解 图像有交点；
有两个零点 图像有交点。
例题精讲
例1. 已知，函数．若存在，使得，则实数的最大值是 ．
【答案】
【解析】存在，使得，
即有，
化为，
可得，
即，
由，
可得，可得的最大值为．
故答案为：．
例2. 已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且．
（1）求函数和的解析式；
（2）若存在，使得等式成立，求实数的取值范围．
【答案】详见解析
【解析】（1）由得，即，
所以，．
（2）由题，即存在，，
设，则，
时，，
设，则，而，在是递减，在上递增，
因此，，
所以，即．
例3.若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】，
【解析】解：且
在同一坐标系画出和两个图象
将绝对值函数向右移动当左支经过点，
将绝对值函数向左移动让右支与抛物线相切，点，
故实数的取值范围是，
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巩固练习
1. 已知函数，若存在实数满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】，
【解析】函数在，递增，
若存在实数满足，可得的图象与直线有交点，
即方程有解．
由，可得，即有，
而在，递增，，递减，
可得的最大值为，此时，
则，即的取值范围是，．
2.已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）在（1）的条件下，若存在，使，求的取值范围．
【答案】（1）（2），
【解析】（1）函数，
不等式的解集为，
的解集为，
由，可得，求得，
故有，．
（2）在（1）的条件下，，
令，
故的最小值为8，
故使有解的实数的范围为，．
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1、 填空题
1． 已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是 ．21·cn·jy·com
【答案】或
【解析】给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，【来源：21·世纪·教育·网】
则，解得．此时函数的值为．
若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即，21·世纪*教育网
解①得．
解②得．
所以的范围是．
当时，函数化为，函数定义域为，分母恒大于0，分子的判别式小于0，分子恒大于0，函数值恒正．
综上，对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是或．
2．设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．若对一切成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为是定义在上的奇函数，
所以当时，；
当时，则，所以
因为是定义在上的奇函数，
所以；
因为对一切成立，
所以当时，成立，
所以；
当时，成立，
只需要的最小值，
因为，
所以，
解得，
所以．
故答案为：．
3．已知，函数的图象的两个端点分别为、，设是函数图象上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】，，
，
直线的方程为
设
，
恒成立
恒成立
，在，上小于等于0恒成立
①或时，恒成立．
②时，
由基本不等式得：
此时
的最大值为
4．已知对任意的，，，，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解：设，，．
，
，令，，
，．
实数的取值范围为．
故答案为：．
5．设函数在区间，上的最大值为，若，则实数的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为
，，
当时，
则有：
那么：①
当或时，
或
只需要，
即：
得：②
把①式代入②，
得：，
化为：，
，解得．
的最大值为．
2、 选择题
6．若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为
A．， B． C． D．
【答案】
【解析】解：当时，当趋于时，函数与均为负值，
显然不成立，故排除．
当时，，符合题意．
当时，
若的图象的对称轴，即，函数与轴的交点都在轴右侧，
结论显然成立，如图：
若时，只要△即可，即，如图：．
综上可得．
故选：B
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7．若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”，设，若对于任意，，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是 21*cnjy*com
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】若对于任意，，
总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，
则对于任意，，
有解，
即有解，
即有解，
即有解，
具有对称性，
故，即有，即有，
由于，，故，．
故选：．
8．设函数，，其中，若对任意的，，和至少有一个为非负值，则实数的最大值是
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【解析】
，
，
根据二次函数图象的性质可知，若对任意的，，和至少有一个为非负值，
只需两个函数图象交点处的函数值大于等于0即可，
由，可得，
所以，
解得，
所以
故选：．
3、 简答题
9．已知函数和函数．
（1）若方程在，上有两个不同的解，求实数的取值范围；
（2）若对任意，，均存在，，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）方程，即，解得，或．
要使方程在，上有两个不同的解，
需，且．解得 且．
故实数的取值范围为，，．
（2）由于对任意，，都存在，，使成立，
故有 成立．
又函数，故．
又函数，
故．
当时，有，解得．
当，有，解得．
当，有，解得．
综上可得，，故实数的取值范围为， ．
10．定义符号函数，已知，，．
（1）求（2）（1）关于的表达式，并求（2）（1）的最小值．
（2）当时，函数在上有唯一零点，求的取值范围．
（3）已知存在，使得对任意的，恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1）函数，．
（2），（1），
（2）（1），
由（2）（1）在，上为减函数，在上为增函数，
故当时，（2）（1）的最小值为；
（2）当时，函数，
当时，，
由得：，即，
令，，
在同一坐标系中分别作出两个函数在上的图象，如下图所示：
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由图可得：当，时，两个函数图象有且只有一个交点，
即函数在上有唯一零点；
（3），时，，
由得：，
，且对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
在，上单调递增，故当时，取最大值，
，，的最小值为：，
①，解得：；
②，解得：，；
③解得：，
综上可得：．
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笔耕不辍
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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