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第18讲-等差数列（解析版）
学习目标： 复习等差数列的定义及公式；复习等差数列的通项及前n项和的性质；
3.熟悉等差数列的巧妙的运算；4．熟悉等差数列在其他知识点中的应用；
教学内容
1、函数的最大值为________
【答案】
【解析】在上为偶函数，且在上为单调递增，所以最大值为
2、 已知、、成等差数列，、、成等比数列.
（1）若，求；（2）求的值.
【答案】（1）空集；（2）。
【解析】（1）因为、、成等差数列，所以。
又，所以，即，故或。
解出或。因为、、成等比数列，所以的解集是空集。
（2）由题意得及。
所以
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知识点一：等差数列的概念和公式
知识梳理
一、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差；21教育网
二、通项公式：，为首项，为公差；
三、等差数列的判断方法：
（1）定义法：（，是常数）是等差数列；
（2）中项法：是等差数列；
四、等差数列的前项和公式：；若，表示是的二次函数，且常数项为零；若，表示；
例题精讲
【例1】已知数列是一个等差数列，且；
（1）求的通项；（2）求前项和的最大值；
【答案】（1）设的公差为，由已知条件，得，
解出，．
所以．
（2）．
所以时，取到最大值．
【例2】已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：；
（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；
【答案】（1）为等差数列，，，
故是方程的两个根，又公差大于零，
由等差数列的基本知识可求得
（2）由（1）知，
因为是等差数列，所以故有（舍去）
【例3】在等差数列中，，从第项开始为正数，则公差的取值范围是______；
【答案】
【例4】设正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则__________；
【解析】设，则
显然，∴设
由公差相等，得，从而有，∴
【例5】在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列；
（1）求；（2）若，求；
【答案】(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0，故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.
则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝＋110.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
【例6】已知数列满足；其中是不为0的常数，令；
（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；
【答案】∵⑴ an＝2a－ (n≥2)
∴ bn＝ (n≥2)
∴ bn－bn－1＝ (n≥2)
∴数列{bn}是公差为的等差数列．
⑵∵ b1＝＝
故由⑴得：bn＝＋(n－1)×＝
即：＝得：an＝a(1＋)
巩固练习
1、（2020虹口一模5）设等差数列的前项和为，则____．
【答案】
2、（2019青浦一模10）设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则 ． 21世纪教育网版权所有
【答案】
【解析】的判别式为零，
，
3、（2019徐汇一模16）已知数列是公差不为的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值不可能为（ ）21cnjy.com
【A】2 【B】 【C】 【D】21·cn·jy·com
【答案】D
【解析】，所以
4、（2020宝山一模11）已知，均是等差数列，，若的前三项是，则＿＿＿＿．
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知识点二：等差数列的性质
知识梳理
五、等差数列的常用性质：
（1）等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项；
即：是与的等差中项成等差数列；
（2）；；
（3）若，则；
特别的，当时，；
（4）；
（5）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为；
（6）数列是等差数列，则数列（是常数）都是等差数列；
（7）数列是等差数列，则也是等差数列；
六、等差数列的最值问题：
若是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若>0，d>0,且满足，前n项和最大；
（2）若<0，d>0，且满足，前n项和最小；
（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意.2·1·c·n·j·y
例题精讲
【例1】（1）等差数列的前n项和的最大值只有，且，则使的n最大值为____；
(2)等差数列中，，则取最大值时n＝_________________；
(3)已知数列的通项公式是，当前n项和取到最小值时，．
【答案】（1）13；（2）15；（3）5．
【例2】已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）
A．公差 B．在所有中，最大
C．满足的的个数有11个 D．
【答案】C
【例3】在等差数列中，若，求的值；
【答案】S9==18a1+a9=42（a1+4d）=4．
∴a1+4d=2，又an=an－4+4d．∴Sn==16n=240．∴n=15．
【例4】（2018奉贤一模15）等差数列中，，若存在正整数满足时有成立，则（ ）．【来源：21·世纪·教育·网】
A．； B．；
C．由等差数列的公差的值决定； D．由等差数列的首项的值决定；
【答案】B.
【例5】若一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，且所有项的和为390，求这个数列项数；
【答案】
,
【例6】已知等差数列的前项和为，前项和为，求其前项的和；
【答案】等差数列{}连续n项之和构成的新数列{}也是等差数列。
由已知得
，
则新数列的公差为50，
所以，
【例7】等差数列的前项和为，若，则__________；
【答案】10
【例8】两等差数列、的前项和的比，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 解析： ( http: / / www.21cnjy.com / )。
【例9】（2018闵行一模15）无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为（），则“”是“为递增数列”的（ ）条件.21·世纪*教育网
A. 充分非必要； B. 必要非充分； C. 充要； D. 既非充分也非必要.
【答案】B.
巩固练习
1、（2019黄浦一模4）记等差数列()的前项和为．若，则 ．
【答案】
【解析】
2、等差数列的前n项和为若，则下列结论：（1），其中正确结论是__________________．www-2-1-cnjy-com
【答案】(2)(3)
3、（2019松江一模4）已知等差数列的前和为，则= .
【答案】12
【解析】，
4、已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是__________；2-1-c-n-j-y
【答案】5
【解析】，当时，为整数．
5、设是等差数列的前项和，，则等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D。解析：由得，再由。
知识点三：等差数列的综合应用
知识梳理
例题精讲
【例1】数列是等差数列，和是方程的两根，则数列的前项的和为__________．
【答案】1212
【例2】公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，则的最小值等于__________；
【答案】17
【例3】古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《 ( http: / / www.21cnjy.com )莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共__________人；21*cnjy*com
【答案】195
【例4】天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天千与十二地支．
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起，比 ( http: / / www.21cnjy.com )如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为 年．
【答案】戊戌
【解析】等差数列，天干以为周期，地支以为周期，分别计算
【例5】设函数，是公差为的等差数列，，则__________；
【答案】
【例6】美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元；问：www.21-cn-jy.com
（1）从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
（2）如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
（3）如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元，问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？【版权所有：21教育】
【答案】⑴ 设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：
S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n＝500(n＋1)n
S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n＝300(2n＋1)n
由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n
解得：n>2
∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．
⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000
S2＝300×10×21＝63000
∴ S2－S1＝8000
∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．
⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元．
则＝an(2n＋1) n∈N*
∴ a＞＝250＋≥250＋＝
【例7】（2019宝山一模21）如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，.
（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；
（2）设为数列的前项和，若的最小值为，求实数的取值范围；
（3）类似地：非零数列对任意的，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”。已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数使得对于任意，都有；若不是，请说明理由.21教育名师原创作品
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】（1）证明：由可得，
两式相减得，得证；并且；
（2）以项数的奇偶来讨论：
①时，
时取到最小值；
②时，
时取到最小值；
由题意必须满足，则；
（3）由可得，
两式相除得，则其为“间等比数列”；
讨论项数奇偶，可求得其通项公式为；
由，可得数列必须满足：
①奇偶项各自单调递减，易得；
②相邻三项单调递减，因为是奇数，故此三项第一项为奇数，
即须满足，即，
解得，则能取到的最大整数为63
巩固练习
1、（2017浦东一模15）设是等差数列，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】 C
2、（2019奉贤一模16）若三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，则称，，成“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中“等差数列”的个数为（ ）．【出处：21教育名师】
【】 【】 【】 【】
【答案】B
【解析】因为，且，，
则舍去，故
再令，则“等差数列”的个数为个，
故答案选B
3、（2019松江一模1 ( http: / / www.21cnjy.com )9）某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%。同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.
（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护支出，并判断第6个月该产品的收入是否够支付第6个月的维护支出？
（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总收入包括维护费支出和研发投资支出）
【答案】：(1) 第6个月的收入为：万元，
第6个月的维护费为：万元，
∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费
【解析】：(1)记产品从第一个月起，每个月的收入为数列，每个月的维护费支出为数列，
则，
(1) 第6个月的收入为：万元，
第6个月的维护费为：万元，
∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费
(2)到第个月，该产品的总收入为
该产品的总支出为
由题意知，只需 ，即
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10.
∴从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出
注：
4．已知是公差为的等差数列，它的前项和为，，；
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围；
【答案】（1）∵，∴；解得
（2）∵，∴数列的通项公式为；∴
∵函数在和上分别是单调减函数，
∴当时，∴数列中的最大项是，最小项是
（2）由得
又函数在和上分别是单调减函数，
且时；时.
∵对任意的，都有，∴∴
∴的取值范围是
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一、基础过关
1．已知{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＋a11＝48，则a6＋a7等于( )
A．12 B．16 C．20 D．24【来源：21cnj*y.co*m】
答案 D
解析 由等差数列的性质可得a2＋a5＋a8＋a11＝2(a6＋a7)＝48，则a6＋a7＝24，故选D.
2．数列{an}的前n项和Sn＝n(2n－1)，若k－l＝4(k，l∈N*)，则ak－al等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 C
解析 ∵Sn＝n(2n－1)，
∴数列{an}是公差为4的等差数列，
∵k－l＝4，
∴ak－al＝4×4＝16.
故选C.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当r＝1时，an＋1＝ran＋r an＋1＝an＋1，
∴数列{an}为公差为1的等差数列，即充分性成立；
∵an＋1＝ran＋r，a1＝1，∴a2＝2r，a3＝2r2＋r，
∴若数列{an}为等差数列，
则4r＝1＋2r2＋r，∴r＝1或r＝，
即必要性不成立，
综上，“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件，故选A.
4．我国南北朝时的数学著作《 ( http: / / www.21cnjy.com )张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )
A．多斤 B．少斤
C．多斤 D．少斤
答案 A
解析 设十等人得金从高到低依次为a1，a2，…，a10，
则{an}为等差数列，
设公差为d，则由题意可知
∴a2＝，a9＝1，
∴d＝＝－，
∴a1－a9＝－8d＝.
即等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多斤．
5．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.
其中一定正确的结论是( )
A．①② B．①③④ C．①③ D．①②④
答案 C
解析 因为a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，
所以a1＝－9d，
a10＝a1＋9d＝0，①正确；
由于d的符号未知，所以S10不一定最小，②错误；
S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，
所以S7＝S12，③正确；
S20＝20a1＋190d＝10d，④错误．
所以正确的结论是①③，故选C.
6．已知数列{an}满足：an＋1＝(a∈R，n∈N*)，且a1＝，则下列说法错误的是( )
A．存在a∈R，使得为等差数列
B．当a＝－1时，a2 021＝
C．当a＝2时，a1
D．当a＝4时，是等比数列
答案 C
解析 当a＝0时，两边同时取倒数可得，－＝1，所以为等差数列，A正确；
当a＝－1时，a2＝－，a3＝－2，a4＝3，a5＝，an＋4＝an，可知a2 021＝，B正确；
当a＝2时，a2＝>，C错误；
当a＝4时，＝＝－3，D正确．
7．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11＝________.
答案 44
解析 S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝20，
∴a6＝4，∴S11＝＝11a6＝44.
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则m＝________.
答案 1 011
解析 ∵S3＝3a1＋3d，∴3a1＋3d＝a1＋4d，
即d＝2，am＝a1＋(m－1)×2＝2m－1＝2 021，
∴m＝1 011.
9．已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________.
答案 2n－1
解析 ∵－＝1，∴{}为等差数列，
又＝＝1，∴＝n，即Sn＝n2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又a1＝1满足上式，∴an＝2n－1.
10．已知在数列{an}中，a6＝11，且nan－(n－1)an＋1＝1，则an＝________；的最小值为________．
答案 2n－1 44
解析 nan－(n－1)an＋1＝1，
所以(n＋1)an＋1－nan＋2＝1，
两式相减得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，
所以an＋an＋2＝2an＋1，
所以数列{an}为等差数列．
当n＝1时，由nan－(n－1)an＋1＝1得a1＝1，
由a6＝11，得公差d＝2，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以＝
＝4n＋－4≥2－4＝44，
当且仅当4n＝，即n＝6时等号成立．
11．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，
∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则由(1)可得，
Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，
∴当n>5时，an<0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
∴Tn＝
12．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
解 (1)∵S2＝2，S3＝－6，
∴解得
∴an＝4＋(n－1)×(－6)＝－6n＋10，
∴Sn＝4n＋×(－6)＝－3n2＋7n.
(2)假设存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3，
∴2[－3(n＋2)2＋7(n＋2)＋2n]
＝－3n2＋7n＋7(n＋3)－3(n＋3)2，
解得n＝5.
∴存在n，n＝5.
二、技能提升
1．已知数列{an}是等差数 ( http: / / www.21cnjy.com )列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于( )
A．20 B．17 C．19 D．21
答案 C
解析 因为a9＋3a11<0，
所以a9＋a11＋2a11＝a9＋a11＋a10＋a12＝2(a11＋a10)<0，
所以a10＋a11<0.
因为a10·a11<0，
所以由等差数列的性质和求和公式可得a10>0，a11<0，
又可得S19＝19a10>0，而S20＝10(a10＋a11)<0，
进而可得Sn取得最小正值时n＝19.
故选C.
2．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，且an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前9项之和为________．
答案 34
解析 ∵an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，
∴当n为奇数时，a2n＋1－a2n－1＝0，
则数列{a2n－1}是常数列，a2n－1＝a1＝2；
当n为偶数时，a2n＋2－a2n＝2，
则数列{a2n}是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，
∴a1＋a2＋…＋a9
＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a8)
＝2×5＋＝34.
三、拓展冲刺
1．已知数列{an}的奇数项依次构成公差为 ( http: / / www.21cnjy.com )d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意n∈N*，都有an答案 3 11
解析 因为a1＝1，a2＝2，
所以a3＝1＋d1，a4＝2＋d2，a5＝1＋2d1，
对任意n∈N*，都有an所以a3>a2，即1＋d1>2，解得d1>1；
又所以
解得－1＋d1因为S10＝75，
所以5×1＋d1＋5×2＋d2＝75，
所以d1＋d2＝6，所以d2＝6－d1，
所以－1＋d1<6－d1<－1＋2d1，
解得又d1，d2为整数，所以d1＝3，所以d2＝3.
所以a8＝2＋(4－1)d2＝2＋3×3＝11.
2．在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，
如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解 (1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，
解得a1＝1，d＝，
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝，
当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4,5时，2<<3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9,10时，4<<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
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第18讲-等差数列（原卷版）
学习目标： 复习等差数列的定义及公式；复习等差数列的通项及前n项和的性质；
3.熟悉等差数列的巧妙的运算；4．熟悉等差数列在其他知识点中的应用；
教学内容
1、函数的最大值为________
2、 已知、、成等差数列，、、成等比数列.
（1）若，求；（2）求的值.
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知识点一：等差数列的概念和公式
知识梳理
一、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差；【来源：21·世纪·教育·网】
二、通项公式：，为首项，为公差；
三、等差数列的判断方法：
（1）定义法：（，是常数）是等差数列；
（2）中项法：是等差数列；
四、等差数列的前项和公式：；若，表示是的二次函数，且常数项为零；若，表示；
例题精讲
【例1】已知数列是一个等差数列，且；
（1）求的通项；（2）求前项和的最大值；
【例2】已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：；
（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；
【例3】在等差数列中，，从第项开始为正数，则公差的取值范围是______；
【例4】设正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则__________；
【例5】在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列；
（1）求；（2）若，求；
【例6】已知数列满足；其中是不为0的常数，令；
（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；
巩固练习
1、（2020虹口一模5）设等差数列的前项和为，则____．
2、（2019青浦一模10）设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则 ． 21世纪教育网版权所有
3、（2019徐汇一模16）已知数列是公差不为的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值不可能为（ ）2-1-c-n-j-y
【A】2 【B】 【C】 【D】21教育名师原创作品
4、（2020宝山一模11）已知，均是等差数列，，若的前三项是，则＿＿＿＿．
知识点二：等差数列的性质
知识梳理
五、等差数列的常用性质：
（1）等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项；
即：是与的等差中项成等差数列；
（2）；；
（3）若，则；
特别的，当时，；
（4）；
（5）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为；
（6）数列是等差数列，则数列（是常数）都是等差数列；
（7）数列是等差数列，则也是等差数列；
六、等差数列的最值问题：
若是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若>0，d>0,且满足，前n项和最大；
（2）若<0，d>0，且满足，前n项和最小；
（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意.21教育网
例题精讲
【例1】（1）等差数列的前n项和的最大值只有，且，则使的n最大值为____；
(2)等差数列中，，则取最大值时n＝_________________；
(3)已知数列的通项公式是，当前n项和取到最小值时，．
【例2】已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，假命题的是（ ）
A．公差 B．在所有中，最大
C．满足的的个数有11个 D．
【例3】在等差数列中，若，求的值；
【例4】（2018奉贤一模15）等差数列中，，若存在正整数满足时有成立，则（ ）．21cnjy.com
A．； B．；
C．由等差数列的公差的值决定； D．由等差数列的首项的值决定；
【例5】若一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，且所有项的和为390，求这个数列项数；
【例6】已知等差数列的前项和为，前项和为，求其前项的和；
【例7】等差数列的前项和为，若，则__________；
【例8】两等差数列、的前项和的比，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例9】（2018闵行一模15）无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为（），则“”是“为递增数列”的（ ）条件.2·1·c·n·j·y
A. 充分非必要； B. 必要非充分； C. 充要； D. 既非充分也非必要.
巩固练习
1、（2019黄浦一模4）记等差数列()的前项和为．若，则 ．
2、等差数列的前n项和为若，则下列结论：（1），其中正确结论是__________________．21·世纪*教育网
3、（2019松江一模4）已知等差数列的前和为，则= .
4、已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是__________；www-2-1-cnjy-com
5、设是等差数列的前项和，，则等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
知识点三：等差数列的综合应用
例题精讲
【例1】数列是等差数列，和是方程的两根，则数列的前项的和为__________．
【例2】公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，则的最小值等于__________；
【例3】古代印度数学家婆什迦罗在其 ( http: / / www.21cnjy.com )所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共__________人；21*cnjy*com
【例4】天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天千与十二地支．
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起， ( http: / / www.21cnjy.com )比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为 年．
【例5】设函数，是公差为的等差数列，，则__________；
【例6】美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元；问：【版权所有：21教育】
（1）从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
（2）如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
（3）如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元，问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？21*cnjy*com
【例7】（2019宝山一模21）如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，.
（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；
（2）设为数列的前项和，若的最小值为，求实数的取值范围；
（3）类似地：非零数列对任意的，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”。已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数使得对于任意，都有；若不是，请说明理由.
巩固练习
1、（2017浦东一模15）设是等差数列，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2、（2019奉贤一模16）若三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，则称，，成“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中“等差数列”的个数为（ ）．【出处：21教育名师】
【】 【】 【】 【】
3、（2019松江一模19 ( http: / / www.21cnjy.com )）某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%。同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.
（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护支出，并判断第6个月该产品的收入是否够支付第6个月的维护支出？
（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总收入包括维护费支出和研发投资支出）
4．已知是公差为的等差数列，它的前项和为，，；
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围；
( http: / / www.21cnjy.com / )
一、基础过关
1．已知{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＋a11＝48，则a6＋a7等于( )
A．12 B．16 C．20 D．24www.21-cn-jy.com
2．数列{an}的前n项和Sn＝n(2n－1)，若k－l＝4(k，l∈N*)，则ak－al等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32【来源：21cnj*y.co*m】
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一 ( http: / / www.21cnjy.com )道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )
A．多斤 B．少斤
C．多斤 D．少斤
5．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.
其中一定正确的结论是( )
A．①② B．①③④ C．①③ D．①②④
6．已知数列{an}满足：an＋1＝(a∈R，n∈N*)，且a1＝，则下列说法错误的是( )
A．存在a∈R，使得为等差数列
B．当a＝－1时，a2 021＝
C．当a＝2时，a1D．当a＝4时，是等比数列
7．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11＝________.
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则m＝________.
10．已知在数列{an}中，a6＝11，且nan－(n－1)an＋1＝1，则an＝________；的最小值为________．
11．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
12．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．21·cn·jy·com
二、技能提升
1．已知数列{an}是等差数列， ( http: / / www.21cnjy.com )若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于( )
A．20 B．17 C．19 D．21
2．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，且an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前9项之和为________．
三、拓展冲刺
1．已知数列{an}的奇数项依次 ( http: / / www.21cnjy.com )构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意n∈N*，都有an2．在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，
如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
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