中小学教育资源及组卷应用平台
第19讲-等比数列（解析版）
学习目标： 1.复习等比数列的定义及公式；2.复习等比数列的通项及前n项和的性质；3.熟悉等比数列的巧妙的运算；4.熟悉等比数列在其他知识点中的应用；
教学内容
1、设是等差数列，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】A错，反例，，；B错，反例，；C对，，由基本不等式，当且仅当时，等号成立，所以；D错，反例，
2、已知数列是等差数列，首项，且.若此数列的前项和为，问是否存在最值？若存在，为何值？若不存在，说明理由.21世纪教育网版权所有
【答案】当时，最大，不存在最小值.
【解析】对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为，则，即，由知，所以数列是递减数列，故有最大值而无最小值.由等差数列的通项公式知：，当时，，当时，.所以最大.综上知，当时，最大，不存在最小值.
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：等比数列的概念和公式
知识梳理
一、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比；【来源：21·世纪·教育·网】
二、通项公式：，为首项，为公比；
三、等比数列的判断方法：
（1）定义法：（，是非零常数）是等比数列；
（2）中项法：是等比数列；
四、等比数列的前项和公式：，
例题精讲
【例1】数列是等比数列，，且公比为整数，则的值为 .
【答案】512.
【解析】由得或，又此数列的公比为整数，
所以公比，则.
【例2】已知等比数列的前三项依次为，，，则________
【答案】
【解析】，， ∴
【例3】已知数列的前n项和，那么下述结论正确的是（ ）
A．为任意实数时，是等比数列 B．= －1时，是等比数列
C．=0时，是等比数列 D．不可能是等比数列
【答案】B
【解析】时，；时，
所以是等比数列的充要条件是，即，选（B）
（或者从等比数列的的公式特征直接得到）
【例4】设，则（ ）
A． B． C． D．．
【答案】D
【解析】，所以选D
【例5】若等比数列的公比，前项和为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D． 不确定．
【答案】A
【解析】
【例6】已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列；
【解析】，∴ ，
∴ ，又，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
【例7】已知数列和满足：，，，其中为实数，．
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．
【解析】（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，
即矛盾．所以不是等比数列．
（2）解：因为
又，所以当，此时不是等比数列；
当时，由上知，此时是等比数列．
知识点二：等比数列的性质
知识梳理
五、等比数列的常用性质：
等差数列 等比数列
性 质 1 若则 若，则
2 若成等差数列（其中）则也为等差数列 若成等差数列 （其中），则成等比数列
3 、是公差分别为，的等差数列，则也是等差数列 、是公比分别为，的等比数列，则也是等比数列
4 、是公差分别为，的等差数列，若它们的相同项也组成一个新的数列，则也是等差数列，公差为，的最小公倍数． 等比数列前n项乘积记作，则成等比数列．
5 成等差数列 (和不为零)成等比数列
6 ，
注：正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等差数列.（类比思想）
六、等比数列的单调性：
等比数列{}中，若，则数列是单调递增的；
若，则数列是单调递减的；
若，则数列是常数列；
若，则数列是摆动数列.
例题精讲
【例1】设等比数列的前项和为，若，且，则 ；
【答案】
【解析】，，由
所以
【例2】在正项等比数列 中，已知，若集合
，则A中元素个数为 ．
【答案】4029
【解析】解法一：设等比数列公比为q，因为，，
即
解法二：，，.由得，所以，，，，，，， 所以当时当时，
当时，
【例3】在所有项均为正数的等比数列中，已知公比，且满足，那么 _________
【答案】
【解析】，，
，
【例4】设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D.
【解析】充分性：当时，若，则数列为递减数列，故充分性不成立；必要性：当为递增数列时，若，则当时，数列为递增数列，故必要性不成立.www.21-cn-jy.com
【例5】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：
①； ②； ③； ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）
A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④
【答案】C
【解析】正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等差数列
【例6】 设等比数列的前n项和为_______.
【答案】
【解析】,=（或者用性质：数列是等比数列，则(和不为零)成等比数列）
巩固练习
1、解下列各题：
（1）是等比数列，且an＞0，,则= .
A、5 B、10 C、15 D、20
（2）若是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，则 .
（3）等比数列的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 .
A、72 B、73 C、74 D、88
（4）已知正项等比数列{an}，前n项的和为Sn，若，______
【答案】（1）A （2）20 （3） C （4）
【解析】
（1），
（2），
，
（3）成等比数列，
（4），，
2、 设等比数列中，首项，若是递增数列，则公比的取值范围是
【答案】
【解析】由题意有，即，因为，可解得
3、已知是等比数列，给出以下四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列，下列命题中正确的个数……………………………（ ）.
（A）个 （B）个 （C） 个 （D）个2·1·c·n·j·y
【答案】
【解析】①③对，②④错
知识点三：等比数列的综合应用
知识梳理
利用等比数列的性质解决实际问题
例题精讲
【例1】等比数列的首项，公比是关于的方程的实数解，若数列有且只有一个，则实数的取值集合为 .21·世纪*教育网
【答案】
【解析】分三种情况，一、二次项系数为0；二、△为0；三、△>0，且方程有一个根等于0.
【例2】数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为，则数列的前28项的和= .www-2-1-cnjy-com
【答案】820.
【解析】两集合中无公共项，得前28项由中得前7项及中得前21项构成.所以
【例3】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）2-1-c-n-j-y
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】，当为等差时，①，当为等比时，②，由①②可得
【例4】已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：恰为等比数列，其中，，，求．21*cnjy*com
【答案】
【解析】设首项为，∵成等比数列，∴，
得，，∵，又，∴
∴
【例5】已知等比数列满足，，，则的取值范围
是（ ）
A、； B、； C、； D、．
【答案】D
【解析】，，
，
【例6】在共有2021项的等比数列中，有等式成立；类比上述性质，在共有2021项的等差数列中，相应的有等式 成立。
【答案】
【解析】等差数列中的加法，减法，乘法和除法分别对应着等比数列中的乘法，除法，乘方和开方.
【例7】对年利率为的连续复利，要在年后达到本利和，则现在投资值为，是自然对数的底数；如果项目的投资年利率为的连续复利.【版权所有：21教育】
（1）现在投资万元，写出满年的本利和，并求满年的本利和；（精确到万元）
（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目投资万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到年）.21*cnjy*com
【答案】（1）万元；（2）至少满年基金共有本利和超过一百万元.
【解析】（1）由题意：；
当时，本利和为（万元）；
（2）由题意：；设年后共有本利和超过一百万元，则年后：
第一年年初的投资所得的为：；
第二年年初的投资所得的为：；
以此类推：第年年初的投资所得的为：；
则满年后，基金共有本利和：；
由题意：；
故至少满年基金共有本利和超过一百万元.
【例8】已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设．
（1）求；
（2）求证：数列 是等比数列；
（3）求使成立的最小正整数的值．
【解析】由及 当时 故
(2)由及 得 ，故，即，当时上式也成立,
,故是以3为首项，3为公比的等比数列
(3)由（2）得
故 解得，最小正整数的值5
巩固练习
1、某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年
一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加作为新一年的月工资收入，假如某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为 元（结果保留两位小数）21cnjy.com
【答案】
【解析】
2、若是等差数列，是互不相等的正整数，有正确的结论：，类比上述性质，相应地，若等比数列，是互不相等的正整数，有 ．21教育网
【答案】
【解析】用口诀写出来之后可以套公式进行证明
3、实数、满足且，由、、、按一定顺序构成的数列（ ）
A. 可能是等差数列，也可能是等比数列
B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列
D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列
【答案】 B
【解析】时、、、成等差数列，当时，则，因为 等比，所以不等比，当时，、、、三负一正，不可能等比.【出处：21教育名师】
4、设各项均为正数的数列和满足成等比数列，成等差数列，且，，，求通项．
【答案】，
【解析】①，②，∴③；
④；将③④代入①，可得出，
∴数列为等差数列；∵，求出，
∴，，；
时，均成立，综上所述，
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.若a,b,c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成 （ ）
A.等差数列 B.等比数列21·cn·jy·com
C.既成等差数列又成等比数列 D．以上答案都不是
【答案】B
【解析】由，由，由
∴，即成等比数列.
2.已知各项皆为正数的等比数列（ ），满足，若存在两项、使得，则的最小值为 .【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【解析】由，，
，
3.某人的月工资由基础工资和绩效工资组 ( http: / / www.21cnjy.com )成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为 万元 . （结果精确到0.1）21教育名师原创作品
【答案】10.4
【解析】即10.4万
4.设函数（且），若是等比数列（）的公比，且，则的值为_________.
【答案】.
【解析】，=，
5.在正项等比数列 中，已知，若集合
，则A中元素个数为 ．
【答案】7
【解析】设等比数列公比为q，
即
6.若在等差数列中，有成立，则在等比数列中，有
。
【答案】
【解析】因为等差数列中有成立，则在等比数列中有成立.
7. 是成等比数列的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】均为0时，满足，但是不为等比数列，成等比数列，但是不满足
8． 直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ）
A． B． C． D．．
【答案】B
【解析】假设C为直角，则成等比数列，，
9.在等差数列中，公差，是与的等比中项. 已知数列成等比数列，求数列的通项
【答案】
【解析】因为是与的等比中项，
所以．
因为 所以，故，从而．
由于是等比数列，又，所以数列是等比数列．
设等比数列的公比为，则，从而．
等比数列，，
即数列的通项为．
10.设数列满足：，（其中为非零实常数）
（1）设，求证：数列是等差数列，并求出通项公式；
（2）设，记，求使得不等式成立的最小正整数；
（3）若，对于任意的正整数，均有，当、、依次成等比数列时，求、、的值。
【答案】（1）；（2）10；（3）
【解析】（1）当时，则，，
所以，数列是以2为首项，为公差的等差数列。
.
（2）当时，则，
所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列；
，则
，
所以，最小值为10.
（3）由题意，令，则
所以，即，
所以数列是以2为公比，以3为首项的等比数列，
所以，
根据题意，
即
当时，无解；当时，解得，符合题意
所以
( http: / / www.21cnjy.com / )
笔耕不辍
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第19讲-等比数列（原卷版）
学习目标： 1.复习等比数列的定义及公式；2.复习等比数列的通项及前n项和的性质；3.熟悉等比数列的巧妙的运算；4.熟悉等比数列在其他知识点中的应用；
教学内容
1、设是等差数列，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2、已知数列是等差数列，首项，且.若此数列的前项和为，问是否存在最值？若存在，为何值？若不存在，说明理由.21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：等比数列的概念和公式
知识梳理
一、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比；21教育网
二、通项公式：，为首项，为公比；
三、等比数列的判断方法：
（1）定义法：（，是非零常数）是等比数列；
（2）中项法：是等比数列；
四、等比数列的前项和公式：，
例题精讲
【例1】数列是等比数列，，且公比为整数，则的值为 .
【例2】已知等比数列的前三项依次为，，，则________
【例3】已知数列的前n项和，那么下述结论正确的是（ ）
A．为任意实数时，是等比数列 B．= －1时，是等比数列
C．=0时，是等比数列 D．不可能是等比数列
【例4】设，则（ ）
A． B． C． D．．
【例5】若等比数列的公比，前项和为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D． 不确定．
【例6】已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列；
【例7】已知数列和满足：，，，其中为实数，．
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．
知识点二：等比数列的性质
知识梳理
五、等比数列的常用性质：
等差数列 等比数列
性 质 1 若则 若，则
2 若成等差数列（其中）则也为等差数列 若成等差数列 （其中），则成等比数列
3 、是公差分别为，的等差数列，则也是等差数列 、是公比分别为，的等比数列，则也是等比数列
4 、是公差分别为，的等差数列，若它们的相同项也组成一个新的数列，则也是等差数列，公差为，的最小公倍数． 等比数列前n项乘积记作，则成等比数列．
5 成等差数列 (和不为零)成等比数列
6 ，
注：正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等差数列.（类比思想）
六、等比数列的单调性：
等比数列{}中，若，则数列是单调递增的；
若，则数列是单调递减的；
若，则数列是常数列；
若，则数列是摆动数列.
例题精讲
【例1】设等比数列的前项和为，若，且，则 ；
【例2】在正项等比数列 中，已知，若集合
，则A中元素个数为 ．
【例3】在所有项均为正数的等比数列中，已知公比，且满足，那么 _________
【例4】设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例5】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：
①； ②； ③； ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）
A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④
【例6】 设等比数列的前n项和为_______.
巩固练习
1、解下列各题：
（1）是等比数列，且an＞0，,则= .
A、5 B、10 C、15 D、20
（2）若是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，则 .
（3）等比数列的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 .
A、72 B、73 C、74 D、88
（4）已知正项等比数列{an}，前n项的和为Sn，若，______
2、（2019奉贤二模7）7. 设等比数列中，首项，若是递增数列，则公比的取值范围是
3、已知是等比数列，给出以下四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列，下列命题中正确的个数……………………………（ ）.
（A）个 （B）个 （C） 个 （D）个21cnjy.com
知识点三：等比数列的综合应用
知识梳理
利用等比数列的性质解决实际问题
例题精讲
【例1】等比数列的首项，公比是关于的方程的实数解，若数列有且只有一个，则实数的取值集合为 .21·cn·jy·com
【例2】数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为，则数列的前28项的和= .www.21-cn-jy.com
【例3】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）2·1·c·n·j·y
A．6 B．7 C．8 D．9
【例4】已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：恰为等比数列，其中，，，求．【来源：21·世纪·教育·网】
【例5】已知等比数列满足，，，则的取值范围
是（ ）
A、； B、； C、； D、．
【例6】在共有2021项的等比数列中，有等式成立；类比上述性质，在共有2021项的等差数列中，相应的有等式 成立。
【例7】对年利率为的连续复利，要在年后达到本利和，则现在投资值为，是自然对数的底数；
如果项目的投资年利率为的连续复利.
（1）现在投资万元，写出满年的本利和，并求满年的本利和；（精确到万元）
（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目投资万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到年）.21·世纪*教育网
【例8】已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设．
（1）求；
（2）求证：数列 是等比数列；
（3）求使成立的最小正整数的值．
巩固练习
1、某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年
一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加作为新一年的月工资收入，假如某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为 元（结果保留两位小数）www-2-1-cnjy-com
2、若是等差数列，是互不相等的正整数，有正确的结论：，类比上述性质，相应地，若等比数列，是互不相等的正整数，有 ．2-1-c-n-j-y
3、实数、满足且，由、、、按一定顺序构成的数列（ ）
A. 可能是等差数列，也可能是等比数列
B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列
D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列
4、设各项均为正数的数列和满足成等比数列，成等差数列，且，，，求通项．
( http: / / www.21cnjy.com / )
1.若a,b,c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成 （ ）
A.等差数列 B.等比数列21*cnjy*com
C.既成等差数列又成等比数列 D．以上答案都不是
2.已知各项皆为正数的等比数列（ ），满足，若存在两项、使得，则的最小值为 .【来源：21cnj*y.co*m】
3.某人的月工资由基础工资和绩效工资 ( http: / / www.21cnjy.com )组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为 万元 . （结果精确到0.1）【出处：21教育名师】
4.设函数（且），若是等比数列（）的公比，且，则的值为_________.
5.在正项等比数列 中，已知，若集合
，则A中元素个数为 ．
6.若在等差数列中，有成立，则在等比数列中，有
。
7.是成等比数列的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8． 直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ）
A． B． C． D．．
9.在等差数列中，公差，是与的等比中项. 已知数列成等比数列，求数列的通项
10.设数列满足：，（其中为非零实常数）
（1）设，求证：数列是等差数列，并求出通项公式；
（2）设，记，求使得不等式成立的最小正整数；
（3）若，对于任意的正整数，均有，当、、依次成等比数列时，求、、的值。
( http: / / www.21cnjy.com / )
笔耕不辍
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
