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第20讲-数列求通项的方法（原卷版）
学习目标： 1、熟练掌握数列的通项公式的利用和的关系求通项；2、熟练掌握对于待定系数法求数列通项公式的方法；3、能够通过递推式找到合适的方法求的数列的通项；
教学内容
1、设正项等比数列的首项，前n项和为，且，求的通项。
2、等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中，且成等比数列，求数列前20项的和．
3、已知数列的前n项和（n为正整数）。
（1）令，求证数列是等差数列，
（2）求数列的通项公式；
( http: / / www.21cnjy.com / )
“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列 ( http: / / www.21cnjy.com )昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，籍贯大概是比萨，卒于1240年后）。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。21cnjy.com
《达·芬奇密码》中还提到过这个斐波那契数列：菲波那契数列指的是这样一个数列：
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，
它的通项公式为：。
证明：设 （1），
其中满足，
解得或；
①当时，，
设 （2），则 （3），
讲（2）（3）代入（1）得：，
所以数列是等比数列，其中，公比；
，即 （4）；
②当 ( http: / / www.21cnjy.com / )时，同理可得： （5）；
将（4）（5）两式相减得：；
故可得上述通项公式，很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
该数列有很多奇妙的属性
1：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割；
2：从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1；
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：利用等差等比数列通项公式(公式法)
知识梳理
等差数列的通项公式为：
等比数列的通项公式为：
例题精讲
例1、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，求，的通项公式。
例2、等差数列的前项和为．求数列的通项。
巩固练习
1、实数列是等比数列,成等差数列，求数列的通项。
知识点二：利用数列的前项和求数列的通项公式
知识梳理
利用（作差法）
注：一定要检验时是否成立。
例题精讲
例1、数列的前项和为，，，求数列的通项。
例2、已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．求的通项公式。
巩固练习
1、设数列满足，．求数列的通项。
2、各项全不为零的数列的前项和为,且求数列。
知识点三：利用递推关系
知识梳理
1．递推关系 其中为常数（累加法）
由递推式得，诸式相加，得，即为累加法求数列通项公式。
例题精讲
例1、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．求的通项公式．
例2、已知数列满足，求数列的通项公式。
巩固练习
1、已知数列满足，且，求数列的通项公式。
知识梳理
2．递推关系 其中为常数（累乘法）
由递推式得，诸式相乘，得 ，即为累乘法求数列通项公式。
例题精讲
例1、已知数列的首项，其前项和，求数列的通项公式。
例2、已知，求数列的通项公式.
巩固练习
1、数列满足且，求数列的通项公式。
知识梳理
3．递推关系 其中为常数且，令，整理得，所以，即，从而，所以数列是等比数列。
例题精讲
例1、已知数列：3，5，7，9，…，，…。另作一数列，使得，且当时，，求数列的通项公式。21教育网
例2、数列中，设且，求数列的通项公式。
1、设数列的首项．求的通项公式。
知识梳理
4．递推关系 其中为常数且，令，由递推式两边同除以，
（1）当时，。对此采用累加法可求。
（2）当时，。对此采用待定系数法可求。
例题精讲
例1、在数列中，，其中．求。
例2、数列的前项和为且满足，求。
巩固练习
1、设为常数，且．证明：对任意，；
注：本题也可以通过数学归纳法证明。
知识梳理
5．递推关系 其中为常数
（1）若时，，即，
知为等比数列，对此采用累加法可求。
（2）若时，存在满足，
整理得，有，
从而是等比数列，对此采用3. 4中所述的方法即可。
例题精讲
例1、已知数列满足，求数列的通项公式。
例2、已知数列中，，求数列的通项公式。
巩固练习
1、数列中，若,且满足,求.
知识梳理
6. 递推关系,利用倒数法变形，两边取倒数后换元转化为与形式相同的。
例题精讲
例1、已知数列满足：，求数列的通项公式。
例2、数列满足：，且，求。
巩固练习
1、数列满足：，，求数列的通项公式。
知识梳理（选讲）
7、形如型
方法：不动点法
我们设,由方程求得二根，由有
同理,两式相除有,从而得,再解出即可.
对于若数列满足且。
（1）若方程有两个相异实根，则；
（2）若方程有两个相等实根，且，则。
例题精讲
例1、已知数列满足，求数列的通项公式。
例2、已知数列满足，求数列的通项公式。
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1、设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是________.
2、数列中，，，则的通项为 。
3、设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式为 。．21世纪教育网版权所有
4、已知数列中，，则数列的通项公式为 .
5、已知中，，（），则数列的通项公式为 .
6、已知中，，（）求。
7、已知：，时，，求的通项公式。
8、已知中，，其前项和与满足（）
（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式
9、已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
证明：
10、已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列．
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
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笔耕不辍
教师引导学生借助知识脑图总结重难点
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第20讲-数列求通项的方法（解析版）
学习目标： 1、熟练掌握数列的通项公式的利用和的关系求通项；2、熟练掌握对于待定系数法求数列通项公式的方法；3、能够通过递推式找到合适的方法求的数列的通项；
教学内容
1、设正项等比数列的首项，前n项和为，且，求的通项。
【答案】
【解析】（Ⅰ）由 得
即
可得
因为，所以 解得，
因而
2、等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中，且成等比数列，求数列前20项的和．
【答案】
【解析】设数列的公差为，
则，， ．
由成等比数列得，即，
整理得，解得或．
当时，．当时，，
于是．
3、已知数列的前n项和（n为正整数）。
（1）令，求证数列是等差数列，
（2）求数列的通项公式；
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（I）在中，
令n=1，可得，即
当时，，
.
.
又数列是首项和公差均为1的等差数列.
（2）由（1）可得：.
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“斐波那契数列”的发明者， ( http: / / www.21cnjy.com )是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，籍贯大概是比萨，卒于1240年后）。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。21世纪教育网版权所有
《达·芬奇密码》中还提到过这个斐波那契数列：菲波那契数列指的是这样一个数列：
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，
它的通项公式为：。
证明：设 （1），
其中满足，
解得或；
①当时，，
设 （2），则 （3），
讲（2）（3）代入（1）得：，
所以数列是等比数列，其中，公比；
，即 （4）；
②当 ( http: / / www.21cnjy.com / )时，同理可得： （5）；
将（4）（5）两式相减得：；
故可得上述通项公式，很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
该数列有很多奇妙的属性
1：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割；
2：从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1；
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知识点一：利用等差等比数列通项公式(公式法)
知识梳理
等差数列的通项公式为：
等比数列的通项公式为：
例题精讲
例1、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，求，的通项公式。
【答案】，
【解析】设的公差为，的公比为，
则依题意有且
解得：，．
所以， ．
例2、等差数列的前项和为．求数列的通项。
【答案】
【解析】由已知得，
，
故．
巩固练习
1、实数列是等比数列,成等差数列，求数列的通项。
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由，得，
从而，，．
因为成等差数列，所以，
即，．
所以．故．
知识点二：利用数列的前项和求数列的通项公式
知识梳理
利用（作差法）
注：一定要检验时是否成立。
例题精讲
例1、数列的前项和为，，，求数列的通项。
【答案】
【解析】∵,∴；
∴=3. 又∵,
∴数列是首项为1、公比为3的等比数列，.
∴当时，，
∴
例2、已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．求的通项公式。
【答案】
【解析】由，解得或，
由假设，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，从而是公差为，首项为的等差数列，
故的通项为．
巩固练习
1、设数列满足，．求数列的通项。
【答案】
【解析】由题意可知：
两项相减：，则：
验证时也满足上式，
2、各项全不为零的数列的前项和为,且求数列。
【答案】
【解析】当，由及，得．
当时，由，得．
因为，所以．从而．
而，．故．
知识点三：利用递推关系
知识梳理
1．递推关系 其中为常数（累加法）
由递推式得，诸式相加，得，即为累加法求数列通项公式。
例题精讲
例1、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．求的通项公式．
【答案】
【解析】由题意得：，，，
因为，，成等比数列，
所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，
故．当时，由于， ， ，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，所以．
例2、已知数列满足，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】当时，
当时，也满足上式，
故。
巩固练习
1、已知数列满足，且，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】两边同除以，得，
令，有： ，且，
从而，
故 。
知识梳理
2．递推关系 其中为常数（累乘法）
由递推式得，诸式相乘，得 ，即为累乘法求数列通项公式。
例题精讲
例1、已知数列的首项，其前项和，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】由，得，
所以
故，诸式相乘得，即 ，
当时也满足上式。故 。
例2、已知，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】因为所以
故又因为,即，
所以由上式可知,所以，
故由累乘法得：
=
所以。
巩固练习
1、数列满足且，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】由题意得：，
即，从而。
所以。
知识梳理
3．递推关系 其中为常数且，令，整理得，所以，即，从而，所以数列是等比数列。
例题精讲
例1、已知数列：3，5，7，9，…，，…。另作一数列，使得，且当时，，求数列的通项公式。21教育网
【答案】
【解析】由已知得，
有，
所以，
故。
例2、数列中，设且，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】由 得，
令，有，则，
所以，
从而 ，故 。
巩固练习
1、设数列的首项．求的通项公式。
【答案】
【解析】由
整理得 ．
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以
知识梳理
4．递推关系 其中为常数且，令，由递推式两边同除以，
（1）当时，。对此采用累加法可求。
（2）当时，。对此采用待定系数法可求。
例题精讲
例1、在数列中，，其中．求。
【答案】
【解析】由N
可得
所以为等数列，其公差为1，首项为0.故
所以数列的通项公式为
例2、数列的前项和为且满足，求。
【答案】
【解析】由 有：，
两式相减得： 即：，
两边同除以，得：，令，
则，
从而。
故。
巩固练习
1、设为常数，且．证明：对任意，；
【答案】看解析
【解析】由得 .
设，则b. 即：,
所以是以为首项，为公比的等比数列.
则=,
即：,
故 .
方法2：用待定系数法
设, 即:,
比较系数得：,所以 所以,
所以数列是公比为－2，首项为的等比数列.
即 .
注：本题也可以通过数学归纳法证明。
知识梳理
5．递推关系 其中为常数
（1）若时，，即，
知为等比数列，对此采用累加法可求。
（2）若时，存在满足，
整理得，有，
从而是等比数列，对此采用3. 4中所述的方法即可。
例题精讲
例1、已知数列满足，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】由两边减去 得：，
所以是公比为，
首项为的等比数列，
所以
即 ，
即。
例2、已知数列中，，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】由两边减去 得：，
所以是公比为，首项为的等比数列，
所以，
即，
即
巩固练习
1、数列中，若,且满足,求.
【答案】
【解析】把变形为.
则数列是以为首项，3为公比的等比数列，
则 ，则累加法可得.
知识梳理
6.递推关系,利用倒数法变形，两边取倒数后换元转化为与形式相同的。
例题精讲
例1、已知数列满足：，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】等式两边取倒数：
是等差数列，
则，
所以。
例2、数列满足：，且，求。
【答案】
【解析】将条件变为：，
因此为一个等比数列，
其首项为，公比，从而，
据此得 。
巩固练习
1、数列满足：，，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】由原式变形得：，
所以，
令，则，
因而是首项为，公差为的等差数列，
所以，故 。
知识梳理（选讲）
7、形如型
方法：不动点法
我们设,由方程求得二根，由有
同理,两式相除有,从而得,再解出即可.
对于若数列满足且。
（1）若方程有两个相异实根，则；
（2）若方程有两个相等实根，且，则。
例题精讲
例1、已知数列满足，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】令，得为其两根，所以有，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以， 故 。
例2、已知数列满足，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】令，得为其根，所以 ，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以， 故
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1、设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是________.
【答案】
【解析】已知等式可化为：
()(n+1), 即
时，
==.
2、数列中，，，则的通项为 。
【答案】
【解析】由题意可知，等式两边同时取对数得：，
∴
设，∴ ，由累加法可得：
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∴
3、设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式为 。．21cnjy.com
【答案】
【解析】依题意，，即，
由此得，
4、已知数列中，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】令
由或，
数列是等比数列，
.
5、已知中，，（），则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】由得：
∴ ，即是等比数列，即，
∴
6、已知中，，（）求。
【答案】
【解析】由得
∴成等差数列，
∴
7、已知：，时，，求的通项公式。
【答案】
【解析】设，则，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，解得：
∴
∴ 是以3为首项，为公比的等比数列，
∴ ，
所以。
8、已知中，，其前项和与满足（）
（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式
【答案】（1）；（2）
【解析】（1） ∴
则，
∴是首项为1，公差为2的等差数列
所以。
（2）由， ∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
又 ∵
∴。
9、已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
证明：
【答案】见解析
【解析】证：∵当
即 于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
10、已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列．
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
【答案】见解析
【解析】（I）证：由，有， ．
（II）证：，
，，
．
是首项为5，以为公比的等比数列．
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笔耕不辍
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