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第22讲-数学归纳法、数列极限与无穷等比数列求和（解析版）
学习目标： 掌握数列极限的运算法则及基本类型的数列求极限问题；
2、掌握无穷等比数列各项和3、掌握数学归纳法的证明步骤及简单运用
教学内容
1、函数，数列满足，，且时，，求该数列的通项公式.
2、已知数列的前项和为，且（）．设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
科赫雪花：1904年，瑞典数学家科 ( http: / / www.21cnjy.com )赫提出了一种图形：将一个正三角形的每条边平分为三份，再以每条边中间的一份为边，向外做正三角形，这个过程称为一次迭代。经过一次迭代，正三角形变为了12条边。我们再将每条边平分成三份，向外做更小的正三角形，称为二次迭代。然后不停地重复这个过程，直到无限次迭代，就形成了科赫雪花。21教育网
科赫雪花面积是有限的
具体来讲：最初的正三角形有三条边，迭代时每一条边都会变为4条边，所以经过N-1次迭代之后总边数为
进行第N次迭代时，雪花的每条边都会向外 ( http: / / www.21cnjy.com )凸起，形成新的小三角形。设最初的三角形面积为1，每次迭代构造的小三角形边长为原来三角形的1/3，面积是原来三角形的1/9，所以进行第N次迭代时，生成的每个小三角形面积为：【出处：21教育名师】
所以，第N次迭代增加的所有小三角总面积为：
于是经过无限次迭代，可以利用等比数列求和得到雪花的总面积为
总面积比原来增加了60%。
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：极限的概念与基本极限
知识梳理
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限地接近于0），那么就说数列以为极限记作．（注：不一定是中的项）
2 几个重要极限：
（1）
（2）（C是常数）
（3）
（4）
3．极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系数；
指数型(型），通过变形使得各式有极限；
根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；
例题精讲
例1、求下列极限：
；
例2、已知数列和都是公差不为0的等差数列，且，是数列的前项和，则 。
例3、设正数满足, 则（ ）
A．0 B． C． D．1
例4、已知R且，若，求实数k的取值范围。
巩固练习
1、求下列极限
（1）（）；
知识点二：极限的运算法则
知识梳理
数列极限的运算法则:
如果那么
例题精讲
例1、已知，求。
例2、已知，，求。
例3、已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）试研究数列各项值的奇偶性，并用数字归纳法证明你的结论；
（Ⅲ）求的值．
巩固练习
1.若等比数列的前项和为，公比为，集合，则用列举法表示 ．
2.已知：，，求的值．
知识点三：无穷等比数列各项和
知识梳理
无穷等比数列：把公比q满足的无穷等比数列的前n项和，当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号S表示，即2·1·c·n·j·y
。
例题精讲
例1、若数列的通项公式是, 则等于
A B C D
例2、已知无穷等比数列各项和为,且,若,则的最小值为_____.
例3、一个无穷等比数列的每一项都等于它以后各项和的k倍，求实数k的取值范围。
巩固练习
1、设首项为1，公比为q（且）的等比数列的前n项和为，记，求。
知识点四：极限综合
知识梳理
极限问题常与解析几何、数列、函数综合进行考察。
例题精讲
例1、已知且，则___________.
例2、（2020黄浦二模15）已知、是互相垂直的单位向量，向量满足：，，是向量与夹角的正切值，则数列是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
【A】单调递增数列且 【B】单调递减数列且
【C】单调递增数列且 【D】单调递减数列且
例3、（2020闵行二模9）已知直线，斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，过做轴的平行线，交于点，过做轴的平行线，交于点，再过做轴的平行线，交于点，，这样一次得线段记为点的横坐标，则_________21·世纪*教育网
巩固练习
1、设有△，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个
新的三角形△，再作△的内切圆，得到的三个切
点又确定一个新的三角形△，以此类推，一次一次不停
地作下去可以得到一个三角形序列△（），
它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 与原三角形相似 D. 以上均不对
知识点五：数学归纳法
知识梳理
1、归纳法：由特殊的事例推出一般结论的 ( http: / / www.21cnjy.com )推理方法叫做归纳法。仅仅考察部分特例而得出一般性的结论（所得结论不一定正确），这种归纳推理的方法叫做不完全归纳法。逐个考察某个事例的所有可能的情况下，得出一般结论（所得结论一定正确）的推理方法叫做完全归纳法。21世纪教育网版权所有
2、数学归纳法：数学归纳法是证明“与正整数n有关的数学命题”的一种有效推理方法，它的步骤是：
1、证明当（为初始值）时，命题成立（奠基步）；
2、假设当（，N*）时命题成立，由此得到当时命题也成立（假设递推步）；
在完成了以上两个步骤之后，就可以推断这个命题对于任意的正整数都成立。
【注】① 数学归纳法的适用范围仅限于有关正整数的命题，对所有整数、有理数、无理数和实数等无效；
② 数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是递推的基础，第二步的假设是递推的根据，且在第二步必须用到假设。21*cnjy*com
例题精讲
例1．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
例2.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
例3.若数列{an}的通项公 ( http: / / www.21cnjy.com )式an＝，记cn＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，则通过计算c1，c2，c3的值，推测cn等于( )2-1-c-n-j-y
A. B.
C. D.
例4、已知数列各项均为正数，为其前项的和，且，，成等差数列.
(1)写出、、的值，猜想数列的通项公式；
(2)证明你在(1)中猜想的结论；
(3)设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.
巩固练习
1、已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
(1) 若，，（），求数列的前项和；
(2) 若，且，求证：数列是等差数列.
( http: / / www.21cnjy.com / )
1、若二项式展开式的第项的值为，则 ．
2、设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则 ．
3、已知数列满足：，
且若则___________.
4、已知是公比为的等比数列的前项和，若对于任意的，都有成立，则=______________.www.21-cn-jy.com
5、对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（ ）www-2-1-cnjy-com
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A. B. C. D. 21·cn·jy·com
6、对于下列数列的排列
2，3，4
3，4，5，6，7
4，5，6，7，8，9，10
……
写出并证明第行数中所有数的和与的关系式
7、如果数列满足，那么就称为数列的“偏差数列”．
（1）若为常数列，且为的“偏差数列”，试判断是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且为数列的“偏差数列”，求的值；
（3）设为数列的“偏差数列”，且，若对任意恒成立，求实数的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
笔耕不辍
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第22讲-数学归纳法、数列极限与无穷等比数列求和（解析版）
学习目标： 掌握数列极限的运算法则及基本类型的数列求极限问题；
2、掌握无穷等比数列各项和3、掌握数学归纳法的证明步骤及简单运用
教学内容
1、函数，数列满足，，且时，，求该数列的通项公式.
【答案】.
【解析】观察函数，发现该函数关于点对称，即，那么.
从而我们可以将数列倒着写一遍，即，与原有的相加可得：，从而得到：，接下来验证时也满足此通项.21教育网
2、已知数列的前项和为，且（）．设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．21cnjy.com
【答案】.
【解析】
则
∵对任意均有成立，
∴，所以的最小值为 .
( http: / / www.21cnjy.com / )
科赫雪花：1904年，瑞典数学家科 ( http: / / www.21cnjy.com )赫提出了一种图形：将一个正三角形的每条边平分为三份，再以每条边中间的一份为边，向外做正三角形，这个过程称为一次迭代。经过一次迭代，正三角形变为了12条边。我们再将每条边平分成三份，向外做更小的正三角形，称为二次迭代。然后不停地重复这个过程，直到无限次迭代，就形成了科赫雪花。【来源：21·世纪·教育·网】
科赫雪花面积是有限的
具体来讲：最初的正三角形有三条边，迭代时每一条边都会变为4条边，所以经过N-1次迭代之后总边数为
进行第N次迭代时，雪花的每条边都会 ( http: / / www.21cnjy.com )向外凸起，形成新的小三角形。设最初的三角形面积为1，每次迭代构造的小三角形边长为原来三角形的1/3，面积是原来三角形的1/9，所以进行第N次迭代时，生成的每个小三角形面积为：21世纪教育网版权所有
所以，第N次迭代增加的所有小三角总面积为：
于是经过无限次迭代，可以利用等比数列求和得到雪花的总面积为
总面积比原来增加了60%。
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点一：极限的概念与基本极限
知识梳理
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限地接近于0），那么就说数列以为极限记作．（注：不一定是中的项）
2 几个重要极限：
（1）
（2）（C是常数）
（3）
（4）
3．极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系数；
指数型(型），通过变形使得各式有极限；
根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；
例题精讲
例1、求下列极限：
；
【答案】2
解析：
例2、已知数列和都是公差不为0的等差数列，且，是数列的前项和，则 。
【答案】1
【解析】利用等差数列的通项一次函数性质，前项和的二次函数性质
例3、设正数满足, 则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】
例4、已知R且，若，求实数k的取值范围。
【答案】
【解析】当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
当或时，由，得：，
解得：；
综上，实数k的取值范围是。
巩固练习
1、求下列极限
（1）（）；
【答案】
知识点二：极限的运算法则
知识梳理
数列极限的运算法则:
如果那么
例题精讲
例1、已知，求。
【答案】6
【解析】。
例2、已知，，求。
【解】设，
所以，解得：，
所以。
例3、已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）试研究数列各项值的奇偶性，并用数字归纳法证明你的结论；
（Ⅲ）求的值．
【类型】数学归纳法与二项式定理综合
【解析】（Ⅰ）
∴
（Ⅱ）由计算可知：都是奇数，
因此猜想数列各项的值都是奇数．
下面用数学归纳法证明：
①当时，可算得是奇数，故命题成立
②假设当时，是奇数，则当时，
∵，∴
又∵是奇数，是偶数，∴也是奇数，
∴当时，命题也成立，
综上①、②知，数列各项的值都是奇数．
（Ⅲ）由
∴
即的值为．
巩固练习
1.若等比数列的前项和为，公比为，集合，则用列举法表示 ．
【答案】
【解析】若，则，若，则，所以．
2.已知：，，求的值．
【提示】易忽略极限运算法则应用的前提条件，各个数列均有极限，但题目中指明存在．
【答案】使用“整体思想法”：设
则得，解得．
知识点三：无穷等比数列各项和
知识梳理
无穷等比数列：把公比q满足的无穷等比数列的前n项和，当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号S表示，即www.21-cn-jy.com
。
例题精讲
例1、若数列的通项公式是, 则等于
A B C D
【答案】C
【解析】
即
∴
例2、已知无穷等比数列各项和为,且,若,则的最小值为_____.
【答案】
【解析】题意可得则（舍去前者）则,得到最小为
例3、一个无穷等比数列的每一项都等于它以后各项和的k倍，求实数k的取值范围。
【答案】
【解析】由题意得：，即，解得：，
因为，所以，
解得：实数k的取值范围是。
巩固练习
1、设首项为1，公比为q（且）的等比数列的前n项和为，记，求。
【答案】
【解析】（1）当时，，则；
（2）当且且时，，，
1°若且，则；
2°若，则；
综上，。
知识点四：极限综合
知识梳理
极限问题常与解析几何、数列、函数综合进行考察。
例题精讲
例1、已知且，则___________.
【答案】
【解析】令得，则
例2、（2020黄浦二模15）已知、是互相垂直的单位向量，向量满足：，，是向量与夹角的正切值，则数列是（ ）www-2-1-cnjy-com
【A】单调递增数列且 【B】单调递减数列且
【C】单调递增数列且 【D】单调递减数列且
【答案】A
【解析】设，，则，，
则，故单调递增数列且，选A
例3、（2020闵行二模9）已知直线，斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，过做轴的平行线，交于点，过做轴的平行线，交于点，再过做轴的平行线，交于点，，这样一次得线段记为点的横坐标，则_________21*cnjy*com
【答案】
【解析】设由题可知设,则
巩固练习
1、设有△，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个
新的三角形△，再作△的内切圆，得到的三个切
点又确定一个新的三角形△，以此类推，一次一次不停
地作下去可以得到一个三角形序列△（），
它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 与原三角形相似 D. 以上均不对
【答案】A
【解析】，，如右图，
所以，在利用在同圆中，
同一弧所对的圆心角是圆周角的倍，可得：
，以此类推
，当时，，故为等边三角形.
知识点五：数学归纳法
知识梳理
1、归纳法：由特殊的事例推出一般结 ( http: / / www.21cnjy.com )论的推理方法叫做归纳法。仅仅考察部分特例而得出一般性的结论（所得结论不一定正确），这种归纳推理的方法叫做不完全归纳法。逐个考察某个事例的所有可能的情况下，得出一般结论（所得结论一定正确）的推理方法叫做完全归纳法。2·1·c·n·j·y
2、数学归纳法：数学归纳法是证明“与正整数n有关的数学命题”的一种有效推理方法，它的步骤是：
1、证明当（为初始值）时，命题成立（奠基步）；
2、假设当（，N*）时命题成立，由此得到当时命题也成立（假设递推步）；
在完成了以上两个步骤之后，就可以推断这个命题对于任意的正整数都成立。
【注】① 数学归纳法的适用范围仅限于有关正整数的命题，对所有整数、有理数、无理数和实数等无效；
② 数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是递推的基础，第二步的假设是递推的根据，且在第二步必须用到假设。【出处：21教育名师】
例题精讲
例1．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
答案 D
解析 令不等式的左边为g(n)，则
g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－
＝＋＋…＋，
其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.
故左边增加了2k项．
例2.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
答案 D
解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.
故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.21教育名师原创作品
例3.若数列{an}的通项公式an ( http: / / www.21cnjy.com )＝，记cn＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，则通过计算c1，c2，c3的值，推测cn等于( )21·世纪*教育网
A. B.
C. D.
答案 A
解析 c1＝2(1－a1)＝2×＝，
c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2××＝，
c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)
＝2×××＝，
故由归纳推理得cn＝.
例4、已知数列各项均为正数，为其前项的和，且，，成等差数列.
(1)写出、、的值，猜想数列的通项公式；
(2)证明你在(1)中猜想的结论；
(3)设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.
【答案】(1) ，，，猜想 (2)证明略 (3) 或
【解析】(1)，，成等差数列
分别令，有 又各项均为正数
解得，， 因此猜想的通项公式为
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论：
①当时，符合结论；
②假设当时，有，则
则
即 又各项均为正数
即当时也满足结论
综上所述，(1)中猜想的结论的通项公式为成立
(3)依题意得：
则对于任意都有使其成立
化简得：
又 当时，成立；当时，有
化简得： 又在时取得最大值
又 或 经检验得：或都符合条件
巩固练习
1、已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
(1) 若，，（），求数列的前项和；
(2) 若，且，求证：数列是等差数列.
【答案】（1）；
（2）略.
【解析】（1），所以.两式相减得，即
所以，即，
又，所以，得
因此数列为以2为首项，2为公比的等比数列.，前n项和为
（2）当n=2时，，所以.又；可以解得，
所以，，两式相减得
即.
猜想，下面用数学归纳法证明：
①当n=1或2时，，，猜想成立；
②假设当（）时， 成立
则当时，猜想成立.
由①、②可知，对任意正整数n，.
所以为常数，所以数列是等差数列
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1、若二项式展开式的第项的值为，则 ．
【答案】
【解析】，
2、设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则 ．
【答案】：
【解析】：的判别式为零，
，
3、已知数列满足：，
且若则___________.
【答案】1009
【解析】
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4、已知是公比为的等比数列的前项和，若对于任意的，都有成立，则=______________.21·cn·jy·com
【答案】
【解析】，该式有极限，则且极限于0，则等价于，整理得，解得
5、对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（ ）2-1-c-n-j-y
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A. B. C. D. 【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】A
【解析】由题意，，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，选A．
6、对于下列数列的排列
2，3，4
3，4，5，6，7
4，5，6，7，8，9，10
……
写出并证明第行数中所有数的和与的关系式
解：由题意可知于是猜想
当时，所以当时，命题成立
设当时命题成立，即
当时，
故当时，命题成立
以对于任何的正整数，。
7、如果数列满足，那么就称为数列的“偏差数列”．
（1）若为常数列，且为的“偏差数列”，试判断是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且为数列的“偏差数列”，求的值；
（3）设为数列的“偏差数列”，且，若对任意恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）不一定（2）或（3）
【解析】（1）如，则为常数列，但不是等差数列
（2）设数列的公比为，由题意，均为正整数
或
当时，，
当时，，
综上，的值为或
（3）由题意，，因为且，
所以
累加得
当为奇，，单调递增且，
当为偶，，单调递减且，
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笔耕不辍
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