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第21讲-数列求和的方法（解析版）
学习目标： 基本公式法分组求和法 裂项相消法倒序相加法
教学内容
1、1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．
答案 －
解析 设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①
则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②
①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn
＝－nxn，
∴Sn＝－.
2、已知是数列的前n项和，且，，则通项公式为__________.
【答案】：，，由于，
，，，
对时不成立，
3、数列中，，则数列的通项( )
【答案】 ,使用迭乘法，得
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知识点一：基本公式法
知识梳理
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.21教育网
①等差数列求和公式：
②等比数列求和公式：
常见的数列的前n项和：， 1+3+5+……+(2n-1)=
，等.
例题精讲
例1、已知，求.
【答案】由
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝＝＝1－
例2、已知数列满足_______________.
【答案】
【解析】，
巩固练习
1.求数列 1，2+3，4+5+6，7+8+9+10，… 的前项和。
【答案】
【解析】题目中第项中的最后一个数为，故
知识点二：分组求和法
知识梳理
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.21cnjy.com
例题精讲
例1、在数列中，，（），则数列的前项和 .
【答案】（）
【解析】且
是以3为首项，以4为公比的等比数列，故，
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例2、求数列的前n项和：
【答案】见解析
【解析】：由分析有，
（分组）
当a＝1时，＝ （分组求和）
当时，＝
例3、在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）证明：由题设，得
，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为
．
所以数列的前项和．
（Ⅲ）证明：对任意的，
．
所以不等式，对任意皆成立
例4、已知数列中，
（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值.
【答案】见解析
【解析】（1），不是等比数列；………2分
，及成等比数列，
公比为2， ……………6分
（2），
当为偶数时，
；……………8分
当为奇数时，
.……………10分
因此，……………12分
（3）
。 ……………13分
， ……………14分
因此不等式为 3(1-k2)3(-1)2，
k，即k-(2-1)，
……………16分
F(n)=-(2-1)单调递减；F(1)= 最大，
，即的最小值为。……………18分
例5、数列{an}：，求S2002.
【答案】5
【解析】设S2002＝
由可得
……
∵ （找特殊性质项）
∴ S2002＝ （合并求和）
＝
＝
＝＝5
例6、已知数列的通项公式为，求数列的前n项和。
【答案】（N*）
【解析】（N*），
所以，（N*）。
当（N*）时，；
当（N*）时，；
当（N*）时，。
综上，（N*）。
例7、数列满足，则的前60项和为 。
【答案】1830
【解析】当（N*）时，； ①
当（N*）时，； ②
当（N*）时，； ③
①－②，得：； ④
②＋③，得：； ⑤
④＋⑤，得：，
所以是以10为首项、16为公差的等差数列，
从而的前60项和为。
巩固练习
1、已知数列的通项公式（其中），则该数列的前项和 .
【答案】
【解析】的通项公式，整理得，则
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2、已知数列的通项公式为，求数列的前n项和。
【答案】见解析
【解析】（N*），
所以，（N*）。
当（N*）时，
；
当（N*）时，
；
当（N*）时，
。
综上，（N*）。
知识点三：裂项相消法
知识梳理
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. ( http: / / www.21cnjy.com )裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：21世纪教育网版权所有
（1）
（2）
（3），
（4），特别地当时
例题精讲
例1、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
【答案】
【解析】：先求和，代入求得，列项求和
∵
∴ （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝ ＝
例2、已知数列的通项公式,且它的前n项和，则n的值为（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】C
【解析】，故
又
巩固练习
1、求和
【答案】
【解析】
知识点四：倒序相加法
知识梳理
类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.21·cn·jy·com
例题精讲
例1、已知函数用等差数列前n项和的方法求 .
【解答】1004
【解析】：，经计算，得，
.
例2、求的值
【答案】44.5
【解析】设…………. ①
将①式右边反序得
…………..② （倒序）
又因为
①+②得 （倒序相加）
＝89
∴ S＝44.5
巩固练习
1、已知lg(xy)=a，求S，其中
【答案】 S=n(n+1)a
【解析】将和式S中各项反序排列，得
将此和式与原和式两边对应相加，得
2S=++ · · · +
(n+1)项
=n(n+1)lg(xy)
∵ lg(xy)=a ∴ S=n(n+1)a
知识点五：错位相减法
知识梳理
类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法 ( http: / / www.21cnjy.com )。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.www.21-cn-jy.com
例题精讲
例1、求数列前n项的和.
【答案】
【解析】由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
∴
例2、求和：………………………①
【答案】
【解析】由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
若，则回到①，有
若，再利用等比数列的求和公式得：
；
巩固练习
1、已知数列满足．
（1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】见解析
【解析】（1），
为等差数列．又，．
．
（2）设，则
3．
．
．
．
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1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值为( )
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
答案 A
解析 该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，
则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.
2．(2021·杭州质检)设数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)．若Sn为数列的前n项和，则S2 022等于( )2·1·c·n·j·y
A．22 016－1 B．3·21 011－3
C．22 010－3 D．22 011－3
答案 B
解析 由an＋1·an＝2n， ( http: / / www.21cnjy.com )得an＋2·an＋1＝2n＋1，两式作商，得＝2，又a1＝1，所以a2＝2，则数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以2为公比的等比数列，所以S2 022＝(a1＋a3＋…＋a2 021)＋(a2＋a4＋…＋a2 022)＝＋＝3·21 011－3.【来源：21·世纪·教育·网】
3．已知数列2 008，2 0 ( http: / / www.21cnjy.com )09，1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 021项之和S2 021等于( )
A．4 018 B．2 010 C．1 D．0www-2-1-cnjy-com
答案 C
解析 由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
∴an＋1＝an－an－1.
故数列的前8项依次为2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，－1，2 008，2 009.
由此可知此数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.
∵2 021＝6×336＋5，
∴S2 021＝S5＝2 008＋2 009＋1－2 008－2 009＝1.
4．(2020·湖州模拟)在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1(n∈N*)，则数列{an}的前12项和等于( )21·世纪*教育网
A．76 B．78 C．80 D．82
答案 B
解析 由已知an＋1＋(－1)nan＝2n ( http: / / www.21cnjy.com )－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.21*cnjy*com
5．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．0 B．100 C．－100 D．10 200
答案 B
解析 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝101－1＝100.故选B.
6．(2020·温州模拟 ( http: / / www.21cnjy.com ))已知数列{an}的各项都小于1，a1＝，a－2an＋1＝a－an(n∈N*)，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S10的取值范围为( )【出处：21教育名师】
A. B.
C. D．(1,2)
答案 B
解析 由a－2an＋1＝a－an，得＝，由于an<1，∴an＋1与an同号，而a1＝>0，∴an>0，于是0
∴01)．
又a－2an＋1＝a－an，变形得( ( http: / / www.21cnjy.com )a－an＋1)－(a－an)＝an＋1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋[(a－a2)－(a－a1)]＋[(a－a3)－(a－a2)]＋…＋[(a－an)－(a－an－1)]＝a1＋(a－an)－(a－a1)＝2＋，∴S10＝2＋，而07．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为__________．
答案 2n＋1－2－n
解析 由题意知所求数列的通项为＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为－n＝2n＋1－2－n.21教育名师原创作品
8、已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：恰为等比数列，其中，，，求．
【答案】
【解析】设首项为，∵成等比数列，∴，
得，，∵，又，∴
∴
9、已知，且，，数列、满足，，，．
(1) 求证数列是等比数列；
(2)已知数列满足，试建立数列的递推公式(要求不含)；
(3) 若数列的前项和为，求．
【答案】见解析
【答案】(1)∵，
∴,.
∵，，
∴
．
又，
∴数列是公比为3，首项为的等比数列．
解(2)依据(1)可以，得．
于是，有，即．
又，则.
因此，数列的递推公式是．
(3)由(2)可知，数列是公差为1，首项为的等差数列，于是，．
故．
因此，，
，
将上述两个等式相减，得，
可化简为．
所以．
10、已知二次函数，当时，把在此区间内的整数值的个数表示为.
(1)求和的值；
(2)求时的表达式；
(3)令，求数列的前项和．
【答案】 (1) ；.(2) .(3) .
【解析】解：(1) ，当时，的整数个数为，所以在上的值域为；在上的值域为.
(2)当时，是增函数，故.
(3)由(1)和(2)可知，，.而当时，.[所以当时，.
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笔耕不辍
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第21讲-数列求和的方法（原卷版）
学习目标： 基本公式法分组求和法 裂项相消法倒序相加法
教学内容
1、已知数列中，，则____________.
2、已知是数列的前n项和，且，，则通项公式为__________.
3、数列中，，则数列的通项( )
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知识点一：基本公式法
知识梳理
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.21cnjy.com
①等差数列求和公式：
②等比数列求和公式：
常见的数列的前n项和：， 1+3+5+……+(2n-1)=
，等.
例题精讲
例1、已知，求.
例2、已知数列满足_______________.
巩固练习
1.求数列 1，2+3，4+5+6，7+8+9+10，… 的前项和。
知识点二：分组求和法
知识梳理
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.【来源：21·世纪·教育·网】
例题精讲
例1、在数列中，，（），则数列的前项和 .
例2、求数列的前n项和：
例3、在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
例4、已知数列中，
（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值.
例5、数列{an}：，求S2002.
例6、已知数列的通项公式为，求数列的前n项和。
例7、数列满足，则的前60项和为 。
巩固练习
1、已知数列的通项公式（其中），则该数列的前项和 .
2、已知数列的通项公式为，求数列的前n项和。
知识点三：裂项相消法
知识梳理
这是分解与组合思想在数列求和中的 ( http: / / www.21cnjy.com )具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：21世纪教育网版权所有
（1）
（2）
（3），
（4），特别地当时
例题精讲
例1、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
例2、已知数列的通项公式,且它的前n项和，则n的值为（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
巩固练习
1、求和
知识点四：倒序相加法
知识梳理
类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.21教育网
例题精讲
例1、已知函数用等差数列前n项和的方法求 .
例2、求的值
巩固练习
1、已知lg(xy)=a，求S，其中
知识点五：错位相减法
知识梳理
类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法 ( http: / / www.21cnjy.com )。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.21·cn·jy·com
例题精讲
例1、求数列前n项的和.
例2、求和：………………………①
巩固练习
1、已知数列满足．
（1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
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1、数列{an}的前n项和_______________
2、数列通项公式为则数列前n项和=________
3、数列的前项和，则
4、已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，且等差数列的前项和为，则数列的前10项和为________www.21-cn-jy.com
5、已知，则
6、数列的通项，其前项和为，则为（ ）
A. 0 B. -1 C. D.2·1·c·n·j·y
7、已知数列的前项和为，那么（ ）
A. 此数列一定是等差数列 B.此数列一定是等比数列
C.此数列不是等差数列，就是等比数列 D.以上说法都不正确
8、已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：恰为等比数列，其中，，，求．
9、已知，且，，数列、满足，，，．
(1) 求证数列是等比数列；
(2)已知数列满足，试建立数列的递推公式(要求不含)；
(3) 若数列的前项和为，求．
10、已知二次函数，当时，把在此区间内的整数值的个数表示为.
(1)求和的值；
(2)求时的表达式；
(3)令，求数列的前项和．
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