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第23讲-平面向量（原卷版）
学习目标： 掌握平面向量的坐标表示、向量的数量积、平面向量分解定理
教学内容
1．存在，则实数的取值范围是 ．
2．设无穷等比数列的各项和为，则首项的取值范围是 ．
3．若等比数列的前项和为，且满足，则 ．
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知识点一：向量的坐标运算
知识梳理
（1）向量的正交分解：
把一个向量分解成两个互相垂直的向量，这种分解称为正交分解。正交分解是一种常见的分解形式。
平面直角坐标系中任意向量都可以正交分解为的形式。
（2）平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中任意向量都可以用基本单位向量、唯一表示：。它们的系数是与向量相等的位置向量的终点A的坐标，我们用有序数对来表示向量，记作，称为向量的坐标表示。21教育网
实际上是向量的正交分解的简记形式。
根据坐标表示，显然有：。
（3）向量坐标表示的运算：设是一个实数，.
则，根据向量的运算法则，则有
；
；
.
向量坐标运算法则：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标。21cnjy.com
（4）向量的模：
若向量，则向量的模等于。
（5）向量坐标与点的坐标的关系：
如图，已知，由向量减法的意义：
这就是说：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
注：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
（3）两个向量平行的充要条件：（作用：判定线线平行（需说明不重合））
①向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得；
②若，则．
注：共线向量推论：对任一点，点在直线上存在实数，使．
特别的：线段的中点公式（即点是的中点）当时，．
作用：证明三点共线．
2.定比分点公式
已知、是直线上任一点，且，令，则：．
注：当时，点与重合；当时，点在线段上；当时，点在线段的延长线上；当时，点在线段的延长线上．21·cn·jy·com
特别地，①当时，为线段的中点，即： --中点坐标公式；
②，为重心，则--重心坐标公式．
例题精讲
例1.设向量，，且，则 ．
例2.矩形中，，，为矩形内一点，设，
（），则取得最大值时，角的值为 ．
例3.平面直角坐标平面系中，已知，，且，当时，点无限接近于点，则点的坐标为 ．
巩固练习
1.平面内给定三个向量，，
（1）求
（2）求满足的实数，．
（3）若，求实数．
知识点二：向量的数量积
知识梳理
1.向量的夹角
对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中
2.向量的数量积（内积或点积）
如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即。特别地，的数量积记作，读作向量的数量平方，显然。规定：零向量与任意向量的数量积为，即，www.21-cn-jy.com
3.定义：叫做向量在方向上的投影。
向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积。
4.向量的数量积的运算性质
（1）当且仅当时，＝；（2）
（3）对于，有 ；（4）
5.向量的夹角公式
由向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足
因此，当时，，反之，当时， 。考虑到可与任何向量垂直，所以可得：
两个向量垂直的充要条件是：。
两个向量平行的充要条件是：存在一个常数，使得成立（为非零向量）
例题精讲
例1. 在中，，，则的取值范围是 ．
例2. 已知正方形的边长为2，平面内的动点满足，则的最大值是 ．
例3. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点、
、…、，记（），则 ．
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巩固练习
1. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点在大圆上，与小圆相切于点，为小圆上的点，则的取值范围是 ． 2·1·c·n·j·y
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知识点三：平面向量分解定理
知识梳理
1、两个向量共线定理：
向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得.
注意：
（1）推论：如果为经过已知点且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数满足等式. ；
（2）中点公式：；
2、平面向量分解定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.【来源：21·世纪·教育·网】
注意：
（1）我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不惟一，关键是不共线；
（3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
（4）基底给定时，分解形式惟一，，是被，，唯一确定的数量；
例题精讲
例1. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的
两点，若，，则的值为 .
例2. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是中点，若，，且，则的值为 .21世纪教育网版权所有
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巩固练习
1. 如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，，其中，．21·世纪*教育网
（1）求表达式的值，并说明理由；
（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值．
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1、 填空题
1．已知向量，，且，则为 ．
2．如图所示，是梯形，，，设，，用，表示 ．
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3.已知向量夹角为，且，，则 ．
4．已知等差数列的前项和为，若（向量，不平行），、、共线，则 ．
5．如图，设圆的半径为2，点是圆上的定点，，是圆上的两个动点，则的最小值是 ．
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2、 选择题
6．如图，在中，，，，，，则
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A．3 B．4 C． D．
7．设，，为平面向量，，若，则的最大值是
A． B． C． D．
3、 简答题
8．已知，，．设，，．
（1）求；
（2）求满足的实数，的值；
9．如图，已知中，、关于点对称，是将分成的一个内分点，和交于点，设．
（1）用表示向量，．
（2）若，求实数的值．
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10．已知，设，，，记函数．
（1）求函数的最小值，并求出函数取最小值时的值；
（2）设的角，，所对的边分别为，，，若（C），，求的面积的最大值．
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笔耕不辍
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O
A
M
N
O
A
OO
BO
B1O
A
OO
BO
B1O
A
OO
BO
(B1)O
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第23讲-平面向量（解析版）
学习目标： 掌握平面向量的坐标表示、向量的数量积、平面向量分解定理
教学内容
1．存在，则实数的取值范围是 ．
【答案】，
【解析】存在，，解得．
2．设无穷等比数列的各项和为，则首项的取值范围是 ．
【答案】
【解析】无穷等比数列的各项和为，即，，，
，当时，；当时，．
则首项的取值范围是．
3．若等比数列的前项和为，且满足，则 ．
【答案】
【解析】，，，
，．
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知识点一：向量的坐标运算
知识梳理
（1）向量的正交分解：
把一个向量分解成两个互相垂直的向量，这种分解称为正交分解。正交分解是一种常见的分解形式。
平面直角坐标系中任意向量都可以正交分解为的形式。
（2）平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中任意向量都可以用基本单位向量、唯一表示：。它们的系数是与向量相等的位置向量的终点A的坐标，我们用有序数对来表示向量，记作，称为向量的坐标表示。21世纪教育网版权所有
实际上是向量的正交分解的简记形式。
根据坐标表示，显然有：。
（3）向量坐标表示的运算：设是一个实数，.
则，根据向量的运算法则，则有
；
；
.
向量坐标运算法则：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标。21教育网
（4）向量的模：
若向量，则向量的模等于。
（5）向量坐标与点的坐标的关系：
如图，已知，由向量减法的意义：
这就是说：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
注：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
（3）两个向量平行的充要条件：（作用：判定线线平行（需说明不重合））
①向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得；
②若，则．
注：共线向量推论：对任一点，点在直线上存在实数，使．
特别的：线段的中点公式（即点是的中点）当时，．
作用：证明三点共线．
2.定比分点公式
已知、是直线上任一点，且，令，则：．
注：当时，点与重合；当时，点在线段上；当时，点在线段的延长线上；当时，点在线段的延长线上．21cnjy.com
特别地，①当时，为线段的中点，即： --中点坐标公式；
②，为重心，则--重心坐标公式．
例题精讲
例1.设向量，，且，则 ．
【答案】4
【解析】，且，，，解得．
例2.矩形中，，，为矩形内一点，设，
（），则取得最大值时，角的值为 ．
【答案】
【解析】如图建系，则，，设，，
∴，，∴，最大值为2，此时
例3.平面直角坐标平面系中，已知，，且，当时，点无限接近于点，则点的坐标为 ．
【答案】，
【解析】因为，所以．
，，，，，，
，，点无限趋近于点，故点坐标为，.
巩固练习
1.平面内给定三个向量，，
（1）求
（2）求满足的实数，．
（3）若，求实数．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1），，，，，，，；
（2），，，，，，，，
，解得；
（3），又，，，
．
知识点二：向量的数量积
知识梳理
1.向量的夹角
对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中
2.向量的数量积（内积或点积）
如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即。特别地，的数量积记作，读作向量的数量平方，显然。规定：零向量与任意向量的数量积为，即，21·cn·jy·com
3.定义：叫做向量在方向上的投影。
向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积。
4.向量的数量积的运算性质
（1）当且仅当时，＝；（2）
（3）对于，有 ；（4）
5.向量的夹角公式
由向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足
因此，当时，，反之，当时， 。考虑到可与任何向量垂直，所以可得：
两个向量垂直的充要条件是：。
两个向量平行的充要条件是：存在一个常数，使得成立（为非零向量）
例题精讲
例1. 在中，，，则的取值范围是 ．
【答案】，
【解析】由正弦定理可知，则，故
，
因为，所以，，则，，
故，
例2. 已知正方形的边长为2，平面内的动点满足，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】以为原点，以，为轴建立平面坐标系如图所示：
，故点轨迹是单位圆，设，
又正方形边长为2，故，，
，，
，
其中，，
当时，取得最大值．
例3. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点、
、…、，记（），则 ．
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【答案】
【解析】考查向量积几何意义，如，
∴；
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巩固练习
1. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点在大圆上，与小圆相切于点，为小圆上的点，则的取值范围是 ． www.21-cn-jy.com
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【答案】
【解析】结合向量数量积的几何意义，等于乘以在方向上的投影，
∵，，∴，如中图所示，投影最大，
，如右图，投影最小，
∴取值范围为.
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知识点三：平面向量分解定理
知识梳理
1、两个向量共线定理：
向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得.
注意：
（1）推论：如果为经过已知点且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数满足等式. ；
（2）中点公式：；
2、平面向量分解定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.2·1·c·n·j·y
注意：
（1）我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不惟一，关键是不共线；
（3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
（4）基底给定时，分解形式惟一，，是被，，唯一确定的数量；
例题精讲
例1. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的
两点，若，，则的值为 .
【答案】
【解析】方法一： 又三点共线，同
一个起点，，即
方法二：易知
，
例2. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是中点，若，，且，则的值为 .【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】
【解析】由题意，求得，，
则
巩固练习
1. 如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，，其中，．21·世纪*教育网
（1）求表达式的值，并说明理由；
（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值．
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【答案】（1）（2）详见解析
【解析】（1）如图延长交与，为的中心为的中点，则有
，， 即
、、三点共线 故
（2）是边长为1的正三角形，，，由，， ，即．，设则
，易知在为减函数，在为增函数．
，即，时，取得最小值，即取得最小值，又，
取得最大值是，则取得最大值，此时或．
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1、 填空题
1．已知向量，，且，则为 ．
【答案】
【解析】，，，即，则．
2．如图所示，是梯形，，，设，，用，表示 ．
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【答案】
【解析】由题意得，，，，
，．
3.已知向量夹角为，且，，则 ．
【答案】3
【解析】，，，解得．
4．已知等差数列的前项和为，若（向量，不平行），、、共线，则 ．
【答案】1010
【解析】不平行，，，共线，且，，
又为等差数列，．
5．如图，设圆的半径为2，点是圆上的定点，，是圆上的两个动点，则的最小值是 ．
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【答案】
【解析】如图，延长，作圆的切线，设切点为，切线与的交点为，其中，
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由数量积的几何意义， 等于 在 上的投影与 之积，
当点运动到时， 在 上的投影最小，于是有，
设中点，连接，，则四边形为矩形
设，则，，于是，
所以当时， 最小，最小值为．
2、 选择题
6．如图，在中，，，，，，则
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A．3 B．4 C． D．
【答案】
【解析】解：依题意，，
又因为，，
所以，，
所以
．
因为，，三点共线，所以，
即．
7．设，，为平面向量，，若，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，，，即，．
设，，则，，
，，，，，整理得，
向量的终点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
设，，，
当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，
此时有，解得或，
的最大值为．
3、 简答题
8．已知，，．设，，．
（1）求；
（2）求满足的实数，的值；
【答案】（1）（2）
【解析】解：由已知得，，．
（1），，，，．
（2），，．
解得．
9．如图，已知中，、关于点对称，是将分成的一个内分点，和交于点，设．
（1）用表示向量，．
（2）若，求实数的值．
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【答案】（1），（2）
【解析】（1）由题意知是的中点，且，由平行四边形法则得，
则，则．
（2）由图知，，，
，解得．
10．已知，设，，，记函数．
（1）求函数的最小值，并求出函数取最小值时的值；
（2）设的角，，所对的边分别为，，，若（C），，求的面积的最大值．
【答案】（1）；此时，．（2）
【解析】解：．
（1），，当，即，时，．
故的最小值为，此时，．
（2）（C），，，，即，．
，．由余弦定理知，，即，当且仅当时，取等号．，．
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笔耕不辍
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O
A
M
N
O
A
OO
BO
B1O
A
OO
BO
B1O
A
OO
BO
(B1)O
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