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第34讲-棱锥和棱柱（解析版）
学习目标： 掌握棱柱和棱锥的概念和性质；掌握棱柱和棱锥常见的计算问题；会利用棱柱和棱锥的性质解决实际应用问题
教学内容
1．下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
C．棱锥的底面一定是三角形 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
【答案】D
【分析】
根据棱柱与棱锥的结构特征依次分析各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，三棱柱的底面是三角形，故A选项错误；
对于B选项，过棱锥顶点与底面内的线构成的截面将棱锥分为两个棱锥，故B选项错误；
对于C选项，棱锥有三棱锥、四棱锥等，故底面不一定为三角形，故C选项错误；
对于D选项，当该截面为平行于上下底面的截面时，分成的两部分依然为棱柱，故D选项正确.
故选：D
2．在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（ ）
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A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】
根据线面垂直的判定与性质，以及正方体的截面的性质、平面的基本性质，即可求解.
【详解】
如图所示，过点作，因为，可得，
又由平面，可得，
因为，可得平面，
又因为平面，所以，
又由平面平面，可得，
过作一个平面，交正方体其它各面的交线分别为,
可得截面的形状为六边形.
故选：D.
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3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________
【答案】
【解析】由三视图可知，三棱锥高为2,底面为底边长为2的等腰三角形，底边上的高为2，从而可求体积，.21cnjy.com
4、在正方体的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为________
【答案】
【解析】】如图，将正方体12条棱分成3组，记为A、B、C，在A组找一条直线，可以在B、C组找到两组与A组直线异面的，A组直线有4条，顾基本事件有8种，样本容量为，所以，本题概率为=21·cn·jy·com
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克莱因瓶是一个不可定向的二维紧流形，而球面 ( https: / / baike. / item / %E7%90%83%E9%9D%A2" \t "https: / / baike. / item / _blank )或轮胎面 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )是定向的二维紧流形。如果观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑－－克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )空间 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )中的同一个位置。
我们可以把克莱因瓶放在四维空间中理解：克莱因瓶是一个在四维空间 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维度再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。它并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，我们可以把它理解成处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )。
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知识点一：棱柱的概念与分类
知识梳理
1、概念：如果一个多面体有两个全等的多边形的面 ( http: / / www.21cnjy.com )相互平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做棱柱. 棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面，棱柱的侧面都是平行四边形. 不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高.
2、性质：
（1）侧棱平行且相等，侧面都是平行四边形；
（2）两个底面以及平行于底面的截面是全等的多边形；
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.
3、分类：
（1）按侧棱与底面的关系分类：；
（2）按底面多边形的边数分类：.
4、特殊的棱柱：
（1）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（2）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；
（3）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（4）长方体：底面是矩形的直棱柱；
（5）正四棱柱：底面是正方形的长方体；
（6）正方体：所有棱长都相等的长方体.
例题精讲
例1、下列有关棱柱的命题中正确的是（ ）
.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱；
.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等；
【答案】
【解析】、都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱；所以选；【出处：21教育名师】
例2、已知下列六种棱柱：①直棱柱;②直平行六面体；③正三棱柱；④正五棱柱；⑤正六棱柱；⑥正方Ｂ形．其中对角线长都相等的棱柱是（）21教育名师原创作品
Ａ．②和④ Ｂ．④和⑤
Ｃ．④和⑥ Ｄ．①和⑥
【答案】Ｃ，这六棱柱都是直棱柱，所以只要看他们底面的对角线是否相等。
巩固练习
1、给出下列命题：①平行六面体是四棱柱；② ( http: / / www.21cnjy.com )若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③棱台的侧棱延长后交于一点；④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；其中正确命题的个数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
对于①，由平行六面体的定义判断即可；对于②，利用面面垂直的判定定理判断；对于③④，由棱台的定义判断
【详解】
解：对于①，因为底面是四边形的四棱柱是平行六面体，所以平行六面体是四棱柱，所以①正确；
对于②，设三棱锥中，侧棱，因为交于一点，所以平面,平面,平面，因为平面,平面，所以平面平面，平面平面，同理可得平面平面，所以②正确；
对于③，由棱台的定义可知棱台的侧棱延长后交于一点，所以③正确；
对于④，当用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，所以④错误，
所以正确的有3个，
故选：C
2、判断下列命题是真命题还是假命题.
①侧面是矩形的直四棱柱是长方体；②直平行六面体是长方形；③对角面是全等矩形的四棱柱是长方体；④底面是矩形的棱柱是长方体
【答案】①②③④都是假命题
【解析】①中，底面不一定是矩形；②中；底面可以是一般的平行四边形；③中底面四边形两对角线的长相等，但不一定是矩形；④中，可以是斜棱柱。【来源：21cnj*y.co*m】
知识点二：棱柱的侧面积与体积
知识梳理
侧面积、表面积（全面积）、体积：
（1）棱柱的侧面积等于各侧面面积之和，表面积等于侧面积与两个底面面积之和；
（2），其中是棱柱的底面积，h是棱柱的高，是棱柱的直截面面积，l是棱柱的侧棱长.
例题精讲
例1、已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为、、，则其体对角线长度为___________.
【答案】
【分析】
计算出长方体共顶点的三条棱的长度，利用长方体体对角线公式可求得结果.
【详解】
设长方体共顶点的三条棱的长度分别为、、，则，解得，
因此，该长方体的体对角线长为.
故答案为：.
例2、长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是______．
【答案】
【分析】
首先根据题意得到点到点的最短距离有3种情况，再分别求出最短距离比较即可得到答案.
【详解】
如图所示：在长方体中，
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若按照图①展开，此时为点到点的最短距离，
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，，.
若按照图②展开，此时为点到点的最短距离，
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，，.
若按照图③展开，此时为点到点的最短距离，
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，，.
综上所述：点到点的最短距离为.
故答案为：
例3、正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为______.www.21-cn-jy.com
【答案】
【分析】
将正三棱柱扩大成正三棱柱，其中，再解三角形可得答案.
【详解】
如下图所示，将正三棱柱扩大成正三棱柱，其中，
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则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设 ，则 ，所以过点A、E、F的截面为AEGF，
因为和均为两直角边分别为2， 1的直角三角形，所以，
在中，连接H1F交于，则为的重心，
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所以，因为，所以，
又因为平面，所以三角形为直角三角形，且，所以，所以截面的周长为.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：本题考查几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得以解决.21*cnjy*com
例6、长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则 ．
【答案】2.
例4、在长方体中，下列计算结果一定不等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A中，当四边形为正方形时，，而，所以，此时有；B中，当四边形为正方形时，，则结合,知平面，所以，此时有，；C中，由长方体的性质知平面，所以，此时有；D中，由平面，所以，即为直角三角形，为直角，所以和不可能垂直，又,所以和不可能垂直。所以，故选D【版权所有：21教育】
例5、已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为__________.
【答案】
【分析】
利用正方体的线面关系，判断平面所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.
【详解】
在正方体中，共有3组互相平行的棱，每条棱与平面所成的角都相等，如图所示的正六边形对应的截面面积最大.
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此时正六边形的边长为，其面积为
故答案为：
例6、如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，,，高等于3，点，，，为所在线段的三等分点．
（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；
（2）求异面直线，所成的角的大小．
【参考答案】解:（1） ， ……2分
，到平面的距离等于，即到平面的距离等
于，
三棱柱 的体积等于（立方单位），三棱锥的体积等于（立方单位）……………7分
（2）取线段的三等分点，，连，.
∥，∥， 的大小等于异面直线，所成的角或其补角的大小.…………9分
， ， .
.
异面直线，所成的角的大小等于.………………14分
例7、如图，己知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，．
(1)求直线与平面所成的角的大小；
(2)求四棱锥的侧面积．
【答案】(1) ；(2)．
【解析】
(1)平面且平面
底面是正方形
又且
平面
平面
平面平面
平面，平面，
由题可知，在平面的射影为，故直线与平面所成角为
,，，
故直线与平面所成角的大小为．
(2)
．
巩固练习
1、已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________
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【答案】
【解析】构造如图边长为的正方体，四棱锥即满
足题意的四棱锥，可知最长，
2、如图，正三棱柱的各棱长均为，为棱的中点。
（1）求该三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
(2)取的中点，联结，则，所以（或其补角）是异面直线与所成的角，在中，,
所以,所以异面直线与所成角的大小为
知识点三：棱锥的概念与分类
知识梳理
1、概念：如果一个多面体有一个 ( http: / / www.21cnjy.com )多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面体叫做棱锥. 棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥的侧面都是三角形. 不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱，侧棱的公共点叫做棱锥的顶点，顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高.
2、性质：
（1）侧棱和高被平行于底面的截面分成比例线段；
（2）平行于底面的截面和底面是相似多边形；
（3）平行于底面的截面面积和底面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比.
3、分类：按棱锥的底面多边形的边数分类，底面是几边形，就称该棱锥是几棱锥.
例题精讲
例1．下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．长方体不一定是正四棱柱
C．底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D．正四面体一定是正三棱锥
【答案】BD
【分析】
利用棱柱以及棱锥的定义，判断选项的正误即可.
【详解】
解：四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形,故A不正确；
长方体不一定是正四棱柱，正确，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；
不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；
正四面体一定是正三棱锥，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查棱锥，棱柱的定义的应用，结构特征的判断，是基础题.关键是要准确掌握有关几何体定义.
例2．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是（ ）
A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱锥 D．六面体
【答案】BC
【分析】
利用特例判断选项的正误即可.
【详解】
解：一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意所以选项A可能；
棱台的上底面与下底面的边长不相等，所以不满足题意，所以选项B不可能；
如果正六棱锥的棱长都相等，则正六棱锥的六个顶角都是，所以它们的和为360°，则正六棱锥的所有定点共面，显然不成立，则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以C不可能；2·1·c·n·j·y
六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握几何体的概念，能利用特例和反例判断.
例3、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】
设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【详解】
设圆锥的母线长为l，由底面半径为r＝，侧面展开图为一个半圆，
所以2πr＝πl，
所以该圆锥的母线长为l＝2r＝2.
故选：B.
巩固练习
1、三棱锥成为正三棱锥的一个充分而不必要条件是三棱锥的（ ）
.高经过底面三角形重心； .各侧面都是全等的等腰三角形；
.底面是正三角形且三棱锥的高经过底面中心； .三个侧面与底面都是正三角形；
【答案】D
【解析】本题考查棱锥的概念和性质。答 ( http: / / www.21cnjy.com )案A,B都是必要非充分条件，答案C是充要条件，答案D是充分非必要条件；比如正四面体是正三棱锥，而正三棱锥不一定是正四面体，所以选D.21*cnjy*com
2、判断下列命题的真假：
（1）棱柱的侧面都是平行四边形，且侧棱相互平行；
（2）棱柱的两个底面都是全等的多边形，且两多边形所在平面相互平行；
（3）正棱锥的顶点在底面的射影是底面多边形的中心；
（4）多面体的侧面积就是多面体某个侧面的面积。
【答案】（1）真，（2）真，（3）真，（4）假
解析：根据棱柱和凌锥的性质即可判断。
知识点四：棱锥的表面积、体积与正棱锥
知识梳理
1、侧面积、表面积（全面积）、体积：
（1）棱锥的侧面积等于各侧面面积之和，表面积等于侧面积与底面面积之和；
（2），其中是棱锥的底面积，h是棱锥的高.
2、正棱锥：
（1）定义：如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥.
（2）性质：
1°各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形. 各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；
2°棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；21教育网
3°正棱锥的各侧棱与底面所成的角相等，各侧面与底面所成的二面角相等.
注意：正四面体是特殊的正三棱锥
例题精讲
例1、如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为，E，F分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．4 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
将正四棱柱的侧面展开，利用两点间距离结合三角形知识求得结果.
【详解】
如图，将正四棱柱的侧面展开，则的最小值为．在中，，则．
故选：C.
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例2、如图：正三棱锥中，，侧棱长为2，过点的平面截得．则的周长的最小值为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】
沿正三棱锥的侧棱AC剪开，根据两点间线段最短，由的周长的最小值为求解.
【详解】
由题意，沿正三棱锥的侧棱AC剪开，所得侧面展开图是三个顶角为的等腰三角形，腰长为2，如图所示：
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连接，则，
所以是等腰直角三角形，
则，
由两点间线段最短得：的周长的最小值为两点之间的距离，即，
故选：D
例3、如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，则________.
【答案】
【解析】
例4、正四面体的体积为1，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正四面体旋转过后，我们只需要观察一角，上面的一角，点为其中心，我们可以推出点把正四面体的高分为了的关系，因此上面露出的体积为，由于正四面体为中心对称图形，因此没有重叠的体积，因此公共部分的体积为
例5、如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为2，、分别是直线和平面上的动点，且，则下列判断：①点到棱中点的距离的最大值为；②正四面体在平面上的射影面积的最大值为；其中正确的说法是（ ）21·世纪*教育网
A. ①②都正确 B. ①②都错误
C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确
【答案】C
【解析】对于①，取的中点，由题意可知，点是在以为直径圆上，故，故正确
对于②，当与重合时，投影是一个对角线长为的正方形，此时面积为，故错误
例6、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示．在阳马中，底面．
1）已知，斜梁与底面所成角为，求立柱的长（精确到）；
2）证明：四面体为鳖臑．
【答案】（1）立柱的长约为 （2）略
【解析】（1）解：因为侧棱底面，
则侧棱在底面上的射影是，
所以就是侧棱与底面所成的角，
即． 在中，，
由得，解得． 所以立柱的长约为 ．
（2）由题意知底面是长方形，所以是直角三角形．
因为侧棱底面，得，所以、是直角三角形．
因为，又，平面，所以平面．
又因为平面，所以，所以为直角三角形．
由鳖臑的定义知，四面体为鳖臑．
巩固练习
1、已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】
设正方形的中心为O，则平面，由求出，取的中点，在中由余弦定理求出，在中由勾股定理即可求解.
【详解】
如图，设正方形的中心为O，则平面，连接，
因为底面是边长为的正方形，所以，所以，
设的中点为，连接，则，所以，
所以平面，因为平面，所以，
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，
在中，由勾股定理可得：．
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故选：A.
2、三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是 ．
【答案】．
【点评】当PA⊥平面ABC时体积最大.
3、一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（ ）
. . . .
【答案】
【解析】设截后锥的高度为，原锥高为，由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平行面所截，且截面面积与底面面积的比为
，所以答案选
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1、已知正四棱柱底面边长为，体积为32，则此四棱柱的表面积为_______.
【答案】
【解析】由题意得正四棱柱的高，所以表面积
2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______
【答案】
【解析】由三视图可知，三棱锥高为2,底面为底边长为2的等腰三角形，底边上的高为2，从而可求体积，.
3、如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为_________
【答案】
【解析】考察异面直线的知识点，可先找出与直线共面的直线，排除即可。
4、在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（ ）．
A. B. C. D. www-2-1-cnjy-com
【答案】B
【解析】直线、、、四条
5、在正方体中，下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C. 向量与的夹角是
D. 正方体的体积是
【答案】
【解析】D错误，应为
6、已知四棱锥，底面，，底面是正方形，是的中点，是底面所成角的大小是
（1）求四棱锥的体积
（2）求异面直线与所成角的大小，（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）1；（2）
【解析】解：(1)由底面，得与底面所成角为， …3分
由，得， …………………………4分
所以; ………………………………………………7分
(2)解法一：取中点，连接，因为，所以就是所求角（或其补角） 10分
由计算得，
所以，异面直线所成角为其补角，大小为. ………………………………14分
解法二：如图建系（图略），得，…………10分
设异面直线所成角为 ，则
所以，异面直线所成角大小为. ……………………………14分
7、若直三棱柱，，，是侧棱上一点，设．
（1）若，求多面体的体积；
（2）若异面直线与所成的角为，求的值．
【答案】
【解析】 （1）因为．
三棱锥的体积． …………………2分
三棱柱的体积． ………………4分
所以多面体的体积为． ……………………………………6分
（2）法1：在平面上过点做的平行线与交于，联结，
则就是异面直线与所成的角． …………………8分
显然，，且． ……………………………10分
所以为等边三角形，故………12分
解得：． ……………………………14分
法2：以为坐标原点，以射线分别为轴建立空间直角坐标系，则得到，，，，，． ………8分21世纪教育网版权所有
由异面直线与所成的角为得，，……………10分
即，． …………………………………12分
解得． ………………………………………………………………14分
8、如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为，钉尖为（）.
（1）记（），当、、在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为，要用某种线型材料
复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，两两联结，后得到的四面体为正四面体
延长交平面于,则平面，连接，
则是在平面上的射影，所以即为与平面所成角。
设，则在中，,
即 ( http: / / www.21cnjy.com / )，所以，
故
（其中），所以
故与平面所成角的大小为
（2） ……8分 根据（1）可得，所以cm
m
答：复制100枚这种“钉”，共需材料米
9、如图，在三棱锥中，，，，．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
解法一：
（1）取中点，连结．
，
．
，．
，平面．
平面，．
（2），，
．
又，
．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．
二面角的大小为．
（3）由（Ⅰ）知平面，
平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，
平面．
的长即为点到平面的距离．
由（1）知，又，且，
平面．
平面，
．
在中，，，
．．
点到平面的距离为．
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笔耕不辍
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底面
顶点
侧棱
侧面
B
A
C1
C
A1
B1
M
N
y
x
z
A
C
B
D
P
A
C
B
E
P
A
C
B
D
P
H
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第34讲-棱锥和棱柱（解析版）
学习目标： 掌握棱柱和棱锥的概念和性质；掌握棱柱和棱锥常见的计算问题；会利用棱柱和棱锥的性质解决实际应用问题
教学内容
1．下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
C．棱锥的底面一定是三角形 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
2．在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（ ）
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A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________
4、在正方体的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为________
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克莱因瓶是一个不可定向的二维紧流形，而球面 ( https: / / baike. / item / %E7%90%83%E9%9D%A2" \t "https: / / baike. / item / _blank )或轮胎面 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )是定向的二维紧流形。如果观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑－－克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )空间 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )中的同一个位置。21教育网
我们可以把克莱因瓶放在四维空间中理解：克莱因瓶是一个在四维空间 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维度再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。它并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，我们可以把它理解成处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / item / _blank )。2·1·c·n·j·y
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知识点一：棱柱的概念与分类
知识梳理
1、概念：如果一个多面体有两个全等的多边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的面相互平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做棱柱. 棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面，棱柱的侧面都是平行四边形. 不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高.
2、性质：
（1）侧棱平行且相等，侧面都是平行四边形；
（2）两个底面以及平行于底面的截面是全等的多边形；
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.
3、分类：
（1）按侧棱与底面的关系分类：；
（2）按底面多边形的边数分类：.
4、特殊的棱柱：
（1）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（2）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；
（3）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（4）长方体：底面是矩形的直棱柱；
（5）正四棱柱：底面是正方形的长方体；
（6）正方体：所有棱长都相等的长方体.
例题精讲
例1、下列有关棱柱的命题中正确的是（ ）
.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱；
.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等；
例2、已知下列六种棱柱：①直棱柱;②直平行六面体；③正三棱柱；④正五棱柱；⑤正六棱柱；⑥正方Ｂ形．其中对角线长都相等的棱柱是（）21·世纪*教育网
Ａ．②和④ Ｂ．④和⑤
Ｃ．④和⑥ Ｄ．①和⑥
巩固练习
1、给出下列命题：①平行六面体是四棱柱；② ( http: / / www.21cnjy.com )若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③棱台的侧棱延长后交于一点；④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；其中正确命题的个数是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1 B．2 C．3 D．4
2、判断下列命题是真命题还是假命题.
①侧面是矩形的直四棱柱是长方体；②直平行六面体是长方形；③对角面是全等矩形的四棱柱是长方体；④底面是矩形的棱柱是长方体【出处：21教育名师】
知识点二：棱柱的侧面积与体积
知识梳理
侧面积、表面积（全面积）、体积：
（1）棱柱的侧面积等于各侧面面积之和，表面积等于侧面积与两个底面面积之和；
（2），其中是棱柱的底面积，h是棱柱的高，是棱柱的直截面面积，l是棱柱的侧棱长.
例题精讲
例1、已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为、、，则其体对角线长度为___________.
例2、长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是______．
例3、正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为______.【来源：21·世纪·教育·网】
例6、长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则 ．
例4、在长方体中，下列计算结果一定不等于的是（ ）
A. B.
C. D.
例5、已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为__________.www-2-1-cnjy-com
例6、如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，,，高等于3，点，，，为所在线段的三等分点．【版权所有：21教育】
（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；
（2）求异面直线，所成的角的大小．
例7、如图，己知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，．
(1)求直线与平面所成的角的大小；
(2)求四棱锥的侧面积．
巩固练习
1、已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、如图，正三棱柱的各棱长均为，为棱的中点。
（1）求该三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
【
知识点三：棱锥的概念与分类
知识梳理
1、概念：如果一个多面体有一个多边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面体叫做棱锥. 棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥的侧面都是三角形. 不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱，侧棱的公共点叫做棱锥的顶点，顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高.
2、性质：
（1）侧棱和高被平行于底面的截面分成比例线段；
（2）平行于底面的截面和底面是相似多边形；
（3）平行于底面的截面面积和底面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比.
3、分类：按棱锥的底面多边形的边数分类，底面是几边形，就称该棱锥是几棱锥.
例题精讲
例1．下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．长方体不一定是正四棱柱
C．底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D．正四面体一定是正三棱锥
例2．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是（ ）
A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱锥 D．六面体
例3、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
巩固练习
1、三棱锥成为正三棱锥的一个充分而不必要条件是三棱锥的（ ）
.高经过底面三角形重心； .各侧面都是全等的等腰三角形；
.底面是正三角形且三棱锥的高经过底面中心； .三个侧面与底面都是正三角形；
2、判断下列命题的真假：
（1）棱柱的侧面都是平行四边形，且侧棱相互平行；
（2）棱柱的两个底面都是全等的多边形，且两多边形所在平面相互平行；
（3）正棱锥的顶点在底面的射影是底面多边形的中心；
（4）多面体的侧面积就是多面体某个侧面的面积。
知识点四：棱锥的表面积、体积与正棱锥
知识梳理
1、侧面积、表面积（全面积）、体积：
（1）棱锥的侧面积等于各侧面面积之和，表面积等于侧面积与底面面积之和；
（2），其中是棱锥的底面积，h是棱锥的高.
2、正棱锥：
（1）定义：如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥.
（2）性质：
1°各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形. 各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；
2°棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；21世纪教育网版权所有
3°正棱锥的各侧棱与底面所成的角相等，各侧面与底面所成的二面角相等.
注意：正四面体是特殊的正三棱锥
例题精讲
例1、如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为，E，F分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．4 B．4 C． D．
例2、如图：正三棱锥中，，侧棱长为2，过点的平面截得．则的周长的最小值为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
例3、如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，则________.
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例4、正四面体的体积为1，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）21教育名师原创作品
A. B. C. D. 21*cnjy*com
例5、如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为2，、分别是直线和平面上的动点，且，则下列判断：①点到棱中点的距离的最大值为；②正四面体在平面上的射影面积的最大值为；其中正确的说法是（ ）
A. ①②都正确 B. ①②都错误
C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确
例6、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示．在阳马中，底面．
1）已知，斜梁与底面所成角为，求立柱的长（精确到）；
2）证明：四面体为鳖臑．
巩固练习
1、已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是的中点，则（ ）
A． B． C． D．3
2、三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是 ．
3、一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（ ）21cnjy.com
. . . .
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1、已知正四棱柱底面边长为，体积为32，则此四棱柱的表面积为_______.
2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______
3、如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为_________
4、在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（ ）．
A. B. C. D.
5、在正方体中，下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C. 向量与的夹角是
D. 正方体的体积是
6、已知四棱锥，底面，，底面是正方形，是的中点，是底面所成角的大小是 2-1-c-n-j-y
（1）求四棱锥的体积
（2）求异面直线与所成角的大小，（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）1；（2）
7、若直三棱柱，，，是侧棱上一点，设．
（1）若，求多面体的体积；
（2）若异面直线与所成的角为，求的值．
8、如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为，钉尖为（）.
（1）记（），当、、在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；21*cnjy*com
（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为，要用某种线型材料
复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？
9、如图，在三棱锥中，，，，．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
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底面
顶点
侧棱
侧面
A
C
B
D
P
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